试题8(天津大学线性代数试题)

试题8(天津大学线性代数试题)

一、单项选择题（本题12分，每小题3分）

2221．二次型f(x1,x2,x3)2x15x25x34x1x24x1x38x2x3的标准形为 2222222222（A）10y3；（B）y1；（C）y1；（D）y1. y210y3y210y3y210y32．若1,2,,m(m2)线性相关，那么向量组内（ ）可由向量组的其余向量线性表示. （A）任何一个向量;（B）没有一个向量 ;（C）至少有一个向量; （D）至多有一个向量. 3．设A为正交矩阵，j是A的第j列，则j与j的内积为 （A）0 ;（B） 1 ;（C） 2 ;（D）3. 4．设A12*

，则A等于 3412134242（A）;（D）. ;（B）;（C）31313424二、填空题（本题12分，每小题4分）

1．设向量(1,a,b)与向量1(2,2,2),2(3,1,3)都正交，则a_____，b____.

'122．设A,B为3阶方阵，且A1,B2，则2(AB)____.

1213．设矩阵A231，则齐次线性方程组AX0的解空间的维数是____.

411422'1三、（本题15分）设A242，求一正交矩阵C，使得CACCAC为对角形.

224四、（本题8分）已知三阶方阵A的特征值为3，2，1，它们对应的特征向量为

220X12,X22,X32，求A.

022五、（本题15分）问a,b为何值时，下列方程组有解，并求出方程组的通解.

x1x2x3x4x51,3x2xxx3x0,12345 x2x2x6x3,23455x14x23x33x4x5b.六、（本题10分）设向量组

1(1,2,1,2,2),2(4,1,2,1,3),13(2,5,4,1,0),4(1,1,1,1,).3（1）证明向量组1,2,3,4线性相关；

（2）求向量组1,2,3,4的一个极大线性无关组；

（3）将其余向量表示成此极大线性无关组的线性组合. 七、（本题12分）

10010000设E11,E12,E21,E22和

0000100111111110B1,B2,B3,B4

11100000是R221022的两组基，定义(A)A,AR.

0222（1）试证：是R上的线性变换.

（2）求由基E11,E12,E21,E22到基B1,B2,B3,B4的过渡矩阵. （3）求在基B1,B2,B3,B4下的矩阵.

八、（本题8分）设B是n阶可逆矩阵，A是n阶方阵，且满足AABB0，试证明A与AB均为可逆矩阵. 九、（本题8分）设三阶实对称矩阵A的特征值为12（1） 证明：2EA是可逆矩阵；

（2） 设B(A)4A4E，试证B是正定矩阵.

*2**221,34. 2