广西来宾高级中学2015-2016学年高二数学下学期第二次月考(6月)试题 理

数 学 试 题（理科）

时间：120分钟 分值：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的. 1.已知复数z满足z12i63i，（i为虚数单位），则复数z的虚部为 ( ) 2i A. 2 B. 2 C. 2i D.3

2.命题“若ab，则bab的逆否命题为 ( ) A. 若ab，则ab或ab B. 若ab，则ab或ab C. 若ab或ab，则ab D.若ab或ab，则ab

22222ˆ0.7x10.3，且变量x,y之间的一组相关数据如下表所示，3.已知变量x,y之间的线性回归方程为y则下列说法错误的是 ( )

x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A. 变量x,y之间呈现负相关关系 B. m4

C. 可以预测，当x11时，y2.6 D.由表格数据知，该回归直线必过点9,4 4.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=﹣6，S18﹣S15=18，则S18= （ ）

A．36 B．18 C．72 D．9

ax5. 的展开式中，常数项为15，则正数a ( )

x A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设曲线y6x12)处的切线与直线axy10垂直，则a （ ） 在点(3，x1 A. 2 B. 2 C.11 D. 22 7.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，若bc2a，3sinA5sinB， 则角C （ ） A.

253 B. C. D. 33648.从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有 （ ）

A．180种 B．280种 C． 96种 D．240种

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9.已知函数fx是定义在R上的偶函数，且当x0时，fxlog3x1，若fa211，则实数

a的取值范围是 ( )

A. 3,3 B. 1,1 C. ,33, D. ,11,

9yx,23310.已知x,y满足x2y6,，若z4xy的最大值为，则a的值为 ( )

4y3xaaz, A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

x2x2y22y1,双曲线C2:221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2，M是双11.已知双曲线C1:4ab曲线C2的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若SOMF216，且双曲线C1,C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长为 ( ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 32

12.若关于x的不等式xeaxa0的解集为m,nn0，且m,n中只有一个整数，则实数a的取

x值范围是 ( ) A. 11122121,,,, B. C. D. 2222eeee3e2e3ee二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在题中横线上.

x216y213．已知双曲线21的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p 3p14.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是概率为42，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上风又下雨的15151，设事件A为下雨，事件B为刮四级以上的风，那么P（B|A）=________. 10f(x1)f(x2)122 x(a0)，对任意两个不等的正实数x1、x2都有

xx212

15.若f(x)alnx恒成立，则a的取值范围是 ．

16.已知数列an中，a11，其前n项和为Sn，且Sn则n .

1199anan1，若数列，的前n项和Tn21002Sn三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

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17.（本小题满分10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴.已知点P的极坐标为（5，0），点M的极坐标为(4,2).若直线l过点P，且倾斜角为

，圆C以M为圆心，4为半径. 3（I）求直线l和圆C的极坐标方程； （II）试判断直线l和圆C的位置关系.

18.（本小题满分12分）在△ABC中，已知C（I）求A的值；

π，向量m(sinA,1)，n(1,cosB)，且mn． 6（II）若点D在边BC上，且3BDBC，AD13，求△ABC的面积．

19.（本小题满分12分）

某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表： 员工编号 年薪（万元） 1 3 2 3．5 3 4 4 5 5 6 7 7 8 7．5 9 8 10 50 5．5 6．5 （I）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为，求的分布列和期望； （II）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、万元4.2、5.6万元、7.2万元，预测该员工第五年的年薪为多少？

ˆxaˆbˆ中系数计算公式分别为： 附：线性回归方程y b(xx)(yii1nii1niy)2ˆx，其中x、y为样本均值． ˆyb，a(xx)

20.（本小题满分12分）

如图，四棱锥PABCD的底面是菱形，PA平面ABCD，ACBC，E,F分别是BC,PC的中点.

- 3 -

（I）证明：平面AEF平面PAD；

（II）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为余弦值.

6，求二面角FAEB的2x2y2121.（本题满分12分）已知椭圆C：22=1（a>b>0）的离心率为，以原点为圆点，椭圆的短半轴为

ab2半径的圆与直线x-y+6=0相切。 （I）求椭圆的标准方程；

（II）设P（4，0），A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；

22.（本小题满分12分）

已知函数f(x)ln(xa)xx在x0处取得极值. （I）求函数f(x)的单调区间；

25xb在区间(0,2)有两个不等实根，求实数b的取值范围； 2234n1 （III）对于nN，证明：2222ln(n1)

123n（II）若关于x的方程f(x)

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来宾高级中学2016年春季学期2017届6月考

数学试题（理科答案）

一、选择题 (每题5分， 12小题共60分)

1 B 2 C 3 B 4 A 5 A 6 B 7 A 8 D 9 A 10 D 11 C 12 B 二、填空题：13． 4 14．三、解答题： 17.

15． [1，+∞） 16．99

解：（1）直线的极坐标方程为，圆C的极坐标方程为

……………………………………4分

（2）因为对应的直角坐标为（0，4），……………………………6分

，…………………………………8分

直线化为普通方程为

圆心到的距离18.

解析：（1）由题意知

所以直线与圆C相离.…………10分

，

又，，所以，…………2分

即，即， ……………………………4分

又 （2）设

，所以，由

，得

，所以

，

，即． …………… 6分

由（1）知，所以，，……………………………………7分

在△

中，由余弦定理，得， ………………9分

- 5 -

解得，所以， …………………………10分

所以．………………………12分

19. 【解析】（1）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；

取值为0，1，2． ……………………………………1分

，……………………………………2分

，……………………………………3分

，……………………………………4分

∴

的分布列为

0 1 2 ∴

（2）设

．……………………………………6分

分别表示工作年限及相应年薪，则

，……………………………………7分

，……………………………………8分

，

……………………………9分

………

，

由线性回归方程为

……11分

．可预测该员工年后的年薪收入为

万

- 6 -

元． …………………………………… 12分 20.

解：（I）由四边形又∵∵∵∴∴平面（II）设由（I）知则在

为中，∥平面平面平面

，∴

，，，而平面，平面与平面

为

是菱形，

，可得

为正三角形.，∴

.

……………………………………1分 平面平面平面

，∴，且，

， ，

. …………………4分 上任意一点，连接，

所成的角. …………5分 ，∴当

最短时，

最大，即当

时，

最大，此

，

时∴由（I）知又

分别是

，又

. …………………6分

，∴两两垂直，以的中点，∴

，∴

. ………………8分

为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

，

，

，

，，，. ………………9分

∴设平面

，的法向量为

. ，

则取

∴，则

为平面

………10分 的一个法向量.

- 7 -

又平面，∴为平面的一个法向量.

∴，

故所求二面角的余弦值为. ………………………12

21.

解：（Ⅰ）由题意知e==，所以e2

=

==．即a2

=

b2

．

又因为b==，所以a2=4，b2

=3．故椭圆的方程为

=1.…4分

（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k(x-4)．

由,得（4k2+3）x2-32k2x+64k2

-12=0． ①…6分

设点B(x1,y1)，E(x2,y2)，则A(x1,-y1)．直线AE的方程为y-y2=(x-x2)．令y=0，得

x=x2-．将y1=k(x1-4)，y2=k(x2-4)代入，

整理，得x=． ②…8分

由①得x1+x2=，x1x2=…10分 代入②整理，得x=1．

所以直线AE与x轴相交于定点Q(1,0)．……12分 22.

解：（I）由已知得， ……………1分

∵，∴，∴.

因此

， ………………………2分

于是

，

- 8 -

由∴

得；由，得，

. …………………4分

的单调递增区间是，单调递减区间是

（II）令，

则当

时，

；当

时

，令

，即

，得

在

或（舍），

上单调递增，在

上单调递

减. ………………………7分

方程在区间有两个不等实根等价于函数在上有两个不同的零点.

∴即亦即

∴，

故所求实数的取值范围为（III）由（I）可得，当

时

. ………………………9分 （当且仅当

时等号成立），

设，则，即 ① ………………………10分

∴

将上面个式子相加得：

，

,

故

. ………………………12

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