基本不等式知识点

1、不等式的基本性质 ①（对称性）abba ②（传递性）ab,bcac ③（可加性）abacbc

（同向可加性）ab,cdacbd （异向可减性）ab,cdacbd ④（可积性）ab,c0acbc ⑤（同向正数可乘性）ab0,cd0acbd （异向正数可除性）

ab0,0cdabcd

nn⑥（平方法则）ab0ab(nN,且n1)

nn⑦（开方法则）ab0ab(nN,且n1)

ab0⑧（倒数法则）2、几个重要不等式

1111;ab0abab

a2b2ab.a2b22aba，bR2①,（当且仅当ab时取\"\"号）. 变形公式：

ababa，bR②（基本不等式） 2 ,（当且仅当ab时取到等号）.

变形公式： ab2abab.2ab

2用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、

三相等”.

abc3abc(a、b、cR)（当且仅当3③（三个正数的算术—几何平均不等式）

abc时取到等号）.

④

a2b2c2abbccaa，bR

（当且仅当abc时取到等号）.

333abc3abc(a0,b0,c0) ⑤

（当且仅当abc时取到等号）.

ba若ab0,则2ab⑥（当仅当a=b时取等号） ba若ab0,则2ab（当仅当a=b时取等号）

bbmana1bnb，⑦aam（其中ab0，m0，n0)

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧

当a0时，xax2a2xa或xa;

⑨绝对值三角不等式3、几个着名不等式

ababab.2aba2b2ab11（a,bRab22①平均不等式：，，当且仅当ab时取\"\"号）.

（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.

变形公式： ②幂平均不等式：

③二维形式的三角不等式：

④二维形式的柯西不等式：

22222(ab)(cd)(acbd)(a,b,c,dR).当且仅当adbc时，等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式： ⑥一般形式的柯西不等式： ⑦向量形式的柯西不等式： 设

,,是两个向量，k时，则当且仅当是零向量，或存在实数k，使

等号成立.

⑧排序不等式（排序原理）： 设

a1a2...an,b1b2...bn为两组实数.

c1,c2,...,cn是

b1,b2,...,bn的任一排列，则

a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancna1b1a2b2...anbn.顺序和），当且仅当

（反序和乱序和a1a2...an或

b1b2...bn时，反序和等于顺序和.

⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)).22则称f(x)为凸（或凹）函数.

4、不等式证明的几种常用方法

常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：

131(a)2(a)2;242 ①舍去或加上一些项，如

②将分子或分母放大（缩小），

11112212,,,22kk(k1)kk(k1)kkkkk1 如 2k12(kN*,k1)kkk1等.

5、一元二次不等式的解法

2axbxc0(或0) 求一元二次不等式

(a0,b24ac0)解集的步骤：

一化：化二次项前的系数为正数.

二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.

规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法.

分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.

7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)0f(x)g(x)0g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0“或” （时同理）

规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解

⑴

f(x)0f(x)a(a0)2f(x)a

⑵

f(x)0f(x)a(a0)2f(x)a

f(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或f(x)[g(x)]2g(x)0 f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]2 f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)

⑶

⑷

⑸

规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.

9、指数不等式的解法： ⑴当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x)

f(x)g(x)aaf(x)g(x) 0a1⑵当时,

规律：根据指数函数的性质转化.

10、对数不等式的解法

⑴当a1时,

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.f(x)g(x)0a1⑵当时,

规律：根据对数函数的性质转化.

11、含绝对值不等式的解法：

a(a0)a.a(a0)⑴定义法：

⑵平方法：

f(x)g(x)f2(x)g2(x).

⑶同解变形法，其同解定理有： ①②

xaaxa(a0);

xaxa或xa(a0);③

f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)

④f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)

规律：关键是去掉绝对值的符号.

12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：

规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法

2axbxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：解形如

⑴讨论a与0的大小； ⑵讨论与0的大小； ⑶讨论两根的大小.

14、恒成立问题

2axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ⑴不等式

①当a0时 b0,c0;

a00. ②当a0时

⑵不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当a0时b0,c0;

2a00. ②当a0时

f(x)maxa;⑶f(x)a恒成立

f(x)a恒成立f(x)maxa; f(x)mina;⑷f(x)a恒成立

f(x)a恒成立f(x)mina.

15、线性规划问题

常见的目标函数的类型： ①“截距”型：zAxBy;

z②“斜率”型：

yybz;x或xa

2222zxy; zxy③“距离”型：或22z(xa)2(yb)2或z(xa)(yb).

在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.