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1995考研数三真题及解析

2020-10-08 来源:好走旅游网
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

1x(n),则f(x) . 1xy(2) 设zxyf(),f(u)可导,则xzxyzy . x(1) 设f(x)(3) 设f(lnx)1x,则f(x) .

1001(4) 设A220,A是A的伴随矩阵,则(A) . 345(5) 设X1,X2,,Xn是来自正态总体N(,2)的简单随机样本,其中参数和2未知,

n1n22记XXi,Q(XiX),则假设H0:0的t检验使用统计量t_____. ni1i1

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设f(x)为可导函数,且满足条件limx0f(1)f(1x)1,则曲线yf(x)在点

2x(1,f(1))处的切线斜率为 ( )

(A) 2 (B) 1 (C)

1 (D) 2 2(2) 下列广义积分发散的是 ( )

111dx (A) dx (B) 211sinx1x1 (C)

0ex2dx (D) 21dx xln2x(3) 设矩阵Amn的秩为r(A)mn,Em为m阶单位矩阵,下述结论中正确的是 ( )

(A) A的任意m个行向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零 (C) 若矩阵B满足BA0,则B0

(D) A通过初等行变换,必可以化为(Em,0)的形式

(4) 设随机变量X和Y独立同分布,记UXY,VXY,则随机变量U与V必然

( )

(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 (5) 设随即变量X服从正态分布N(,),则随的增大,概率PX ( )

(A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定

三、(本题满分6分)

22x2(1cosx),x0设f(x)1,x0,试讨论f(x)在x0处的连续性和可导性.

1xcost2dt,x0x0

四、(本题满分6分)

已知连续函数f(x)满足条件f(x)

五、(本题满分6分)

将函数yln(1x2x)展成x的幂级数,并指出其收敛区间.

六、(本题满分5分)

计算

23x0tfdte2x,求f(x). 3min{x,y}e(x2y2)dxdy.

七、(本题满分6分)

设某产品的需求函数为QQ(p),收益函数为RpQ,其中p为产品价格,Q为需求量(产品的产量),Q(p)为单调减函数.如果当价格为p0,对应产量为Q0时,边际收益

dRdRa0,收益对价格的边际效应

dQQQ0dp求p0和Q0.

八、(本题满分6分)

c0,需求对价格的弹性Epb1.

pp0设f(x)、g(x)在区间[a,a](a0)上连续,g(x)为偶函数,且f(x)满足条件

f(x)f(x)A(A为常数).

(1) 证明

aaf(x)g(x)dxAg(x)dx;

0a(2) 利用(1)的结论计算定积分九、(本题满分9分)

2sinxarctanexdx.

2已知向量组(Ⅰ)1,2,3;(Ⅱ)1,2,3,4;(Ⅲ)1,2,3,5,如果各向量组的秩 分别为r(I)r(II)3,r(III)4.

证明:向量组1,2,3,54的秩为4.

十、(本题满分10分)

22已知二次型f(x1,x2,x3)4x23x34x1x24x1x38x2x3.

(1) 写出二次型f的矩阵表达式;

(2) 用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵.

十一、(本题满分8分)

假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂;以概率0.30需进一步调试, 经调试后以概率0.80可以出厂;以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了

n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求:

(1) 全部能出厂的概率;

(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率; (3) 其中至少有两台不能出厂的概率.

十二、(本题满分8分)

已知随机变量X和Y的联合概率密度为

4xy,0x1,0y1, f(x,y)0,其他,求X和Y联合分布函数F(x,y).

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)

2(1)nn!(1)【答案】

(1x)n1【解析】由于f(x)1x212(1x)11, 1x1xf(x)2(1)(1x)2, f(x)2(1)(2)(1x)3,所以 f(n),

(x)2(1)n!(1x)n(n1)2(1)nn!. (1x)n1(2)【答案】2xyfy x【解析】根据复合函数求导法则,

yyyyy2yzf, xyfxyf2yfxxxxxxyy1yyzxfxyfxfyfy. xxxxx所以 xzxyzyxyfy2yyyy2yfxyfyf2xyf.

xxxxx【相关知识点】复合函数求导法则:y(f(x))的导数为y(f(x))f(x). (3)【答案】xeC

【解析】在f(lnx)1x中令lnxt,则f(t)1e,从而

txf(t)1etdttetCf(x)xexC.

1001(4)【答案】220

10345AA1AE,故A【解析】由AAAE,有. AA100而 A22010,

345所以 A1100A1220. A10345n(n1)

(5)【答案】XQ【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题,它是根据具体情况和问题的要求,首先提出原假设H0,再由样本提供的信息,通过适当的方法来判断对总体所作的假设H0是否成立.

首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值的假设检验问题.据此类型应该选取t检验的统计量是

tX0SnX12(XX)in(n1)i1n, 经过化简得 tXn(n1). Q【相关知识点】假设检验的一般步骤: (1) 确定所要检验的基本假设H0;

(2) 选择检验的统计量,并要求知道其在一定条件下的分布;

(3) 对确定的显著性水平,查相应的概率分布,得临界值,从而确定否定域;

(4) 由样本计算统计量,并判断其是否落入否定域,从而对假设H0作出拒绝还是接受的判断.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)

【解析】因 f(1)limx0f(1x)f(1)xxxlimx0f(1x)f(1)

xf(1)f(1x)x0x

f(1)f(1x)2lim2,x02xlim所以应选(D).

(2)【答案】(A)

【解析】由计算知

111x21dxarcsinx1,

1且泊松积分 故应选(A).

2111, dx2xlnxlnx2ln2exdx220,

注:对于本题选项(A),由于当x0时sinx0,故在积分区间[1,1]中x0是瑕点,反常

11sinxdx应分解为两个反常积分之和:

1011111sinxdx1sinxdx0sinxdx,

101111而且dx收敛的充要条件是两个反常积分dx与dx都收敛.

1sinx1sinx0sinx积分

11xdxlntan, 由于广义积分 0sinx2011111即dx发散,故dx发散.

0sinx1sinx111 在此不可误以为是奇函数,于是dx0,从而得出它是收敛的错误结论.

1sinxsinx1(3)【答案】(C)

【解析】r(A)m表示A中有m个列向量线性无关,有m阶子式不等于零,并不是任意的,因此(A)、(B)均不正确.

经初等变换可把A化成标准形,一般应当既有初等行变换也有初等列变换,只用一种不一定能化为标准形.例如确.

关于(C),由BA0知r(B)r(A)m,又r(A)m,从而r(B)0,按定义又有

010,只用初等行变换就不能化成(E2,0)的形式,故(D)不正

001r(B)0,于是r(B)0,即B0.故应选(C).

(4)【答案】(D)

【解析】 Cov(U,V)Cov(XY,XY).

Cov(X,XY)Cov(Y,XY)

Cov(X,X)Cov(X,Y)Cov(Y,X)Cov(Y,Y)

DXDY.

由于X和Y同分布, 因此DXDY,于是有Cov(U,V)0. 由相关系数的计算公式 Cov(X,Y),

DXDY所以U与V的相关系数也为零,应选(D). 【相关知识点】协方差的性质:

Cov(aX,bY)abCov(X,Y);

Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y).

(5)【答案】(C) 【解析】由于XN(,2),将此正态分布标准化,故

XN0,1,

XPXP1211.

计算看出概率PX的值与大小无关.所以本题应选(C).

三、(本题满分6分)

【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题.一般要用连续性与可导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数.

12x22(1cosx)21, limf(x)limlim2x0x0x0xx2x0limf(x)limx0x0cost2dtxcosx2lim1, x01故f(00)f(00)f(0),即f(x)在x0处连续.

1x2costdt1f(x)f(0)0xf(0)limlimx0x0x0xx2214xcostdtxcosx102limlimlim0,x0x0x0x22x2x2(1cosx)12f(x)f(0)xf(0)limlimx0x0x0x

2(1cosx)x22sinx2x2(cosx1)limlimlim0.x0x0x0x33x26x即f(0)f(0)0,故f(x)在x0处可导,且f(0)0.

四、(本题满分6分)

【解析】首先,在变上限定积分中引入新变量st,于是 33x0xtfdt3f(s)ds.

03代入题设函数f(x)所满足的关系式,得 f(x)3x0f(s)dse2x.

在上式中令x0得f(0)1,将上式两端对x求导数得

f(x)3f(x)2e2x.

由此可见f(x)是一阶线性方程f(x)3f(x)2e满足初始条件f(0)1的特解.

用e3x3x同乘方程两端,得f(x)e2x2ex,积分即得f(x)Ce3x3x2e2x.

由f(0)1可确定常数C3,于是,所求的函数是f(x)3e

五、(本题满分6分)

【解析】由1x2x(12x)(1x)知

22e2x.

ln(1x2x2)ln(12x)ln(1x).

x2x3因为 ln(1x)x23其收敛区间为(1,1);

(1)n1xnn,

(2x)2(2x)3又 ln(12x)(2x)23其收敛区间为(1)n1(2x)nn,

11,. 222nn(1)n12nnn1xn1(2x)(1)x, 于是有 ln(1x2x)(1)nnn1nn1其收敛区间为11,. 22【相关知识点】收敛区间:若幂级数

axnn0n的收敛半径是正数R,则其收敛区间是开区间

(R,R);若其收敛半径是,则收敛区间是(,).

六、(本题满分5分)

【解析】方法一:本题中二重积分的积分区域D是全平面,设a0,

Da(x,y)|axa,aya,

则当a时,有DaD.从而

Imin{x,y}e(x2y2)dxdylima(xmin{x,y}eDa2y2)dxdy.

注意当xy时,min{x,y}x;当xy时,min{x,y}y.于是

(xmin{x,y}eDa2y2)dxdydyxe(xaaay2y2)dxdxye(xaaax2y2)dy,

aadxyeax(x2y2)x1a1a(x2a2)2x2(x2y2)22dydxed(xy)eedxa2a2a

1a2ax21a2x2eedxedx.a22a由于

exdx,从而可得

aa2limadxye(xax2y2)dy0a21lime2xdx 2aat2xay122a2alim2aetdt222.

同理可得limaadyxe(xa2y2)dx22. 于是 I22. 2方法二:设R0,则圆域DR(x,y)|xyR222当R时也趋于全平面,从而

min{x,y}eDR(x2y2)Imin{x,y}e(x2y2)dxdylimRdxdy.

引入极坐标系xrcos,yrsin,则

当045当时,min{x,y}xrcos. 44于是

(xmin{x,y}eDR2与

52时,min{x,y}yrsin; 4y2)dxdy

5404sindredrcosdr2erdr5sindr2erdr

04040R2r2R22R2R052R244redrsindcosd5sind22r2erdr.

00442r2由此可得 I22limR0RreR02r2dr2limRr2R0Rrd(er2)

r22limreR

七、(本题满分6分)

e02r2dr2edr2.

022【解析】本题的关键在于p和Q之间存在函数关系,因此RpQ既可看作p的函数,也可看作Q的函数,由此分别求出问题的解.

由QQ(p)是单调减函数知

dRdRpdQ及,并将它们与弹性Ep联系起来,进而求得

QdpdpdQdQpdQ0,这表明0,从而需求对价格的弹性EpQdpdp题设Epb1应理解为EpEpb1.又由QQ(p)是单调减函数知存在反函数

pp(Q)且

dp1.由收益RpQ对Q求导,有 dQdQdpdRdpp1pQpp(1),

pdQdQdQEpQdp从而

dR1abp0(1)a,得p0.

dQQQ0bb1由收益RpQ对p求导,有

dRdQpdQQpQ(1)Q(1Ep), dpdpQdp从而

八、(本题满分6分)

【解析】(1)由要证的结论可知,应将左端积分化成0,a上的积分,即

dRdpQ0(1b)c,于是Q0pp0c. 1b再将

aaf(x)g(x)dxf(x)g(x)dxf(x)g(x)dx,

a00a0af(x)g(x)dx作适当的变量代换化为在0,a上的定积分.

方法一:由于 在

aaf(x)g(x)dxf(x)g(x)dxf(x)g(x)dx,

a00a0af(x)g(x)dx中令xt,则由x:a0,得t:a0,且

所以

0aaf(x)g(x)dxf(t)g(t)d(t)f(t)g(t)dtf(x)g(x)dx,

a000aaaf(x)g(x)dxa0f(x)f(x)g(x)dxA0g(x)dx.

aaaa方法二:在 所以

aaaf(x)g(x)dx中令xt,则由x:aa,得t:aa,且

aaf(x)g(x)dxf(t)g(t)d(t)f(t)g(t)dtf(x)g(x)dx.

a0aaa1af(x)g(x)dxf(x)g(x)dxf(x)g(x)dx

aa2a1aAaf(x)f(x)g(x)dxg(x)dxAg(x)dx.

02a2ax(2)令f(x)arctane,g(x)sinx,可以验证f(x)和g(x)符合(1)中条件,从而可以用(1)中结果计算题目中的定积分.

方法一:取f(x)arctane,g(x)sinx,a由于f(x)f(x)arctanearctane满足

xxx2.

arctanexxarctanexexex0, 2x2x1e1e故 arctanearctane令x0,得2arctan1AAxA.

2,即f(x)f(x)2.于是有

2sinxarctanedxxx2022sinxdx202sinxdx2.

方法二:取f(x)arctane,g(x)sinx,a2,于是

f(x)f(x)arctanexarctan(这里利用了对任何x0,有arctanxarctan以下同方法一.

九、(本题满分9分)

1. ex21) x2【解析】因为r(I)r(II)3,所以1,2,3线性无关,而1,2,3,4线性相关, 因此4可由1,2,3线性表出,设为4l11l22l33. 若 k11k22k33k4(54)0,

即 (k1l1k4)1(k2l2k4)2(k3l3k4)3k450, 由于r(III)4,所以1,2,3,5线性无关.故必有

k1l1k40,klk0,224 klk0,334k40.解出k40,k30,k20,k10.

于是1,2,3,54线性无关,即其秩为4.

十、(本题满分10分)

【解析】(1)因为f(x1,x2,x3)对应的矩阵为

022A244,

243故f(x1,x2,x3)的矩阵表示为

022x1x.

f(x1,x2,x3)xTAx(x1,x2,x3)2442243x3(2)由A的特征方程

224102224220

EA244

2424300144(1)(236)0,

21得到A的特征值为11,26,36.

T由(EA)x0得基础解系X1(2,0,1),即属于1的特征向量. T由(6EA)x0得基础解系X2(1,5,2),即属于6的特征向量. T由(6EA)x0得基础解系X3(1,1,2),即属于6的特征向量.

对于实对称矩阵,特征值不同特征向量已正交,故只须单位化,有

211X3XX2111110,5,1, 23X1X2X3530612225那么令 Q(123)015130530230161, 626x1y1经正交变换x2Qy2,二次型化为标准形 x3y322f(x1,x2,x3)xTAxyTyy126y26y3.

十一、(本题满分8分)

【解析】对于新生产的每台仪器,设事件A表示“仪器需要进一步调试”,B表示“仪器能出厂”,则A“仪器能直接出厂”,AB“仪器经调试后能出厂”.且BA互不相容,应用加法公式与乘法公式,且由条件概率公式

AB,A与ABP(B|A)P(AB)P(AB)P(B|A)P(A), P(A)有 PBPAPAPB|A0.70.30.80.94.

设X为所生产的n台仪器中能出厂的台数,则X服从二项分布Bn,0.94.由二项分 布的概率计算公式,可得所求概率为

(1) PXn0.94n;

2(2) PXn2Cn0.94n20.062;

(3) PXn21PXn1PXn10.06n0.94【相关知识点】二项分布的概率计算公式:

若YB(n,p),则PYkCnp(1p)kknkn10.94n

, k0,1,,n.

十二、(本题满分8分)

【解析】将整个平面分为五个区域(如右图).

当(x,y)D1时,F(x,y)0, 其中D1{(x,y)x0或y0}.

当(x,y)D4,即x1且y1时,F(x,y)1. 当(x,y)D时,即0x1,0y1时,

D1OyD2 D4 D3 D x F(x,y)x0y04stdtds2sy2dsx2y2.

0x当(x,y)D2,即0x1,y1时,

F(x,y)xy004stdtdsds4stdt2sdsx2.

0002x1x当(x,y)D3,即x1,0y1时,与D2类似,有F(x,y)y.

x0或y0,0,x2y2,0x1,0y1,综上分析,(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)y2,1x,0y1,

x2,0x1,1y,1x,1y.1,

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