人教版八年级上数学章节同步课时作业课时05 三角形全等的判定(解析版)

课时05 三角形全等的判定

一、本节课的知识点 全等三角形的判定定理：

（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.

（2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. （3）角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. （4）角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

（5）斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用于两个直角三角形）

二、对理解本节课知识点的例题及其解析

【例题1】如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．

BCAEDF【答案】见解析

【解析】证明：延长BA、CE，两线相交于点F ∵BE⊥CE

∴∠BEF=∠BEC=90° 在△BEF

和△BEC

中 ∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC

∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE ∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°

又∵∠ADB=∠CDE ∴∠ABD=∠ACF 在△ABD和△ACF中 ∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE

【例题2】（2018•安顺）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）

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A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD 【答案】D．

【解析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．

∵AB=AC，∠A为公共角，

A．如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD； B．如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；

C．如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；

D．如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件． 三、本节课的同步课时作业

1. 如图，点E,F在AB上，ADBC,AB,AEBF. 求证：ADFBCE .

【答案】见解析

【解析】先将AEBF转化为AF＝BE，再利用SAS 证明两个三角形全等 证明：因为AE＝BF，所以，AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE， 在△ADF和△BCE中，

ADBCAB AFBE所以，ADFBCE

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2. 如图，已知ABCD,AEBD,CFBD ，垂足分别为E,F,BFDE .求证ABPCD.

【答案】见解析

【解析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠B=∠D，根据平行线的判定，可得答案． ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°， ∵BF=DE，∴BF+EF=DE+EF，∴BE=DF．

ABCD在Rt△AFB和Rt△CFD中， ，

BEDF∴Rt△AFB≌Rt△CFD（HL）， ∴∠B=∠D，∴AB∥CD．

3.已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DEBF． 求证：AB∥CD． D

F E A

【答案】见解析

【解析】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEC=∠AFB=90°， 在Rt△DEC和Rt△BFA中， DE=BF，AB=CD， ∴Rt△DEC≌Rt△BFA， ∴∠C=∠A， ∴AB∥CD．

4．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

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C

B

【答案】见解析

【解析】证明：（1） ∵BE⊥AC，CF⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC，CN=AB ∴△ABM≌△NAC ∴AM=AN

（2） ∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90°

∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM⊥AN

5.如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。 求证：AM是△ABC的中线。

【答案】见解析 【解析】证明：∵BE‖CF ∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF

∴△BEM≌△CFM

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BEMCFA

∴BM=CM

∴AM是△ABC的中线.

6．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）

A．甲和乙 【答案】B．

B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙

【解析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等． 乙和△ABC全等；理由如下：

在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS， 所以乙和△ABC全等；

在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS， 所以丙和△ABC全等； 不能判定甲与△ABC全等。

7．如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（ ）

A．a+c B．b+c C．a﹣b+c 【答案】D．

D．a+b﹣c

【解析】只要证明△ABF≌△CDE，可得AF=CE=a，BF=DE=b，推出AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c； ∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，

∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°， ∴∠A=∠C，∵AB=CD， ∴△ABF≌△CDE， ∴AF=CE=a，BF=DE=b，

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∵EF=c，

∴AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c

8．如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）

A． B．2 C．2 D．

【答案】B．

【解析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．

∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E=∠ADC=90°， ∴∠EBC+∠BCE=90°． ∵∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠EBC=∠DCA． 在△CEB和△ADC中，

，

∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE=DC=1，CE=AD=3． ∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2

9．如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）

A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC

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【答案】C．

【解析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．

A．∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误； B．∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误； C．∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；

D．AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误。

10．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 ．

【答案】AC=BC．

【解析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC． 添加AC=BC，

∵△ABC的两条高AD，BE， ∴∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°， ∴∠EBC=∠DAC， 在△ADC和△BEC中∴△ADC≌△BEC（AAS）

11．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）．

，

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【答案】AB=ED．

【解析】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF． 添加AB=ED， ∵BF=CE， ∴BF+FC=CE+FC， 即BC=EF， ∵AB∥DE， ∴∠B=∠E， 在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）

12．如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC．求证：△ABC≌△EDC．

，

【答案】见解析

【解析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进行判断． 证明：∵在△ABC和△EDC中，

，

∴△ABC≌△EDC（ASA）．

13．如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC．

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【答案】见解析

【解析】根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，利用SAS定理判断即可． 证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC， 在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC．

14．如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C．

【答案】见解析

【解析】欲证明∠F=∠C，只要证明△ABC≌△DEF（SSS）即可； 证明：∵DA=BE， ∴DE=AB，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠C=∠F．

15．如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE． （1）求证：△ABE≌△DCE；

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（2）当AB=5时，求CD的长．

【答案】见解析

【解析】根据AE=DE，BE=CE，∠AEB和∠DEC是对顶角，利用SAS证明△AEB≌△DEC即可．根据全等三角形的性质即可解决问题． （1）证明：在△AEB和△DEC中，

，

∴△AEB≌△DEC（SAS）． （2）解：∵△AEB≌△DEC， ∴AB=CD， ∵AB=5， ∴CD=5．

16．如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．

【答案】见解析

【解析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以AB=CD，证明△ABO与△CDO全等，所以有OB=OC． 证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中

，

∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴∠OBC=∠OCB， ∴BO=CO．

17．如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．

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求证：∠C=∠E．

【答案】见解析

【解析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△BAC≌△DAE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E． ∵∠BAE=∠DAC，

∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ∵

，

∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠C=∠E．

18．如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．

【答案】见解析

【解析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论． 证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF， ∴BF=CE，

在△ABF和△DCE中

∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠GEF=∠GFE，

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∴EG=FG． 19．已知：∠AOB．

求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB

（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D； （2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径间弧，交O′A′于点C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′； （4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB． 根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．

【答案】见解析

【解析】由基本作图得到OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，则根据“SSS“可证明△OCD≌△O′C′D′，然后利用全等三角形的性质可得到∠A'O'B′=∠AOB． 证明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′， 在△OCD和△O′C′D′中

，

∴△OCD≌△O′C′D′， ∴∠COD=∠C′O′D′， 即∠A'O'B′=∠AOB．

20．如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C．

【答案】见解析

【解析】根据AE=EC，DE=BE，∠AED和∠CEB是对顶角，利用SAS证明△ADE≌△CBE即可． 证明：在△AED和△CEB中，

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，

∴△AED≌△CEB（SAS），

∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）．

21．已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．

【答案】见解析

【解析】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF； 证明：∵AD=BC，∴AC=BD， 在△ACE和△BDF中，∴△ACE≌△BDF（SSS） ∴∠A=∠B， ∴AE∥BF

22．如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．

，

【答案】见解析

【解析】结论：DF=AE．只要证明△CDF≌△BAE即可； 结论：DF=AE． 理由：∵AB∥CD， ∴∠C=∠B， ∵CE=BF，

∴CF=BE，∵CD=AB， ∴△CDF≌△BAE，

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∴DF=AE．

23．如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：BC∥EF．

【答案】见解析

【解析】由全等三角形的性质SAS判定△ABC≌△DEF，则对应角∠ACB=∠DFE，故证得结论． 证明：∵AB∥DE， ∴∠A=∠D， ∵AF=DC， ∴AC=DF．

∴在△ABC与△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB=∠DFE， ∴BC∥EF．

24．已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D． （1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．

【答案】见解析

【解析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可； （2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可． 证明：（1）∵AB∥DC， ∴∠A=∠C，

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在△ABE与△CDF中∴△ABE≌△CDF（ASA）；

，

（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD， ∵EG=5，∴CD=10，

∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．

25．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF． （1）求证：△ABC≌DEF；

（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数．

【答案】见解析

【解析】求出AC=DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF．由（1）中全等三角形的性质得到：∠A=∠EDF，进而得出结论即可．

证明：（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF ∴AC=DF

在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS） （2）由（1）可知，∠F=∠ACB ∵∠A=55°，∠B=88°

∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣（55°+88°）=37° ∴∠F=∠ACB=37°

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