坐标系与参数方程

2020-02-28 来源：好走旅游网

坐标系与参数方程

第一节坐标系

[基础梳理]

1．坐标系 (1)坐标变换

x（λ>0），x′＝λ·

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的

y（μ>0）y′＝μ·作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系

在平面内取一个定点O，叫作极点；自极点O引一条射线Ox，叫作极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记为M(ρ，θ)． 2．直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)

ρ2＝x2＋y2，

x＝ρcos θ，

和(ρ，θ)，则 y

y＝ρsin θ，tan θ＝x（x≠0）.3．常用简单曲线的极坐标方程曲线圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝2rcos 圆心为(r，0)，半径为r的圆 π圆心为r，2，半径为r的圆  过极点，倾斜角为α的直线过点(a，0)，与极轴垂直的直线 π过点a，2，与极轴平行的直线 

1．明辨两个坐标

x′＝λx（λ＞0），伸缩变换关系式点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的

y′＝μy（μ＞0），曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线方程．

2．极坐标方程与直角坐标方程互化

ρsin θ＝a θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋α(ρ∈R) ππθ－2<θ≤2 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π) 图形极坐标方程 ρ＝r ρcos θ＝a (1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简．

(2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．

[四基自测]

1．点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的极坐标为______． π答案：(2，－3) 2．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________．答案：ρ＝－22 cos θ

3．在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A，B两点，则|AB|＝________．答案：2

4．在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝3(ρ∈R)距离的最大值是________．答案：6

π5．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρsinθ－4－4＝0，则圆C的半径为

________．答案：6

授课提示：对应学生用书第231页

考点一伸缩变换◄考基础——练透

x′＝5x，

[例1] (1)在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后，曲线C变为曲

y′＝3y线2x′2＋8y′2＝1，求曲线C的方程．

x′＝5x

解析：把代入曲线2x′2＋8y′2＝1，可得2(5x)2＋8(3y)2＝1，化为50x2＋

y′＝3y72y2＝1，即为曲线C的方程．

(2)在同一直角坐标系中，求满足下列图形的伸缩变换：由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1.

x′＝λx（λ>0），

解析：法一：设变换为φ：可将其代入x′2＋y′2＝1，得λ2x2

y′＝μy（μ>0），＋μ2y2＝1.

22xy

将4x2＋9y2＝36变形为9＋4＝1，

比较系数得λ＝3，μ＝2.

1x′＝3x，所以

1y′＝2y.

故将椭圆4x2＋9y2＝36上的所有点的横坐标变为原来的3，纵坐标变为原来的122，可得到圆x′＋y′＝1. 2

x2y2

法二：利用配凑法将4x＋9y＝36化为3＋2＝1，与x′2＋y′2＝1对应项比



x′＝3，

较即可得

yy′＝2.

故将椭圆4x2＋9y2＝36上的所有点的横坐标变为原来的3，纵坐标变为原来的122，可得到圆x′＋y′＝1. 2

x′＝λx（λ>0），

1．平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求

y′＝μy（μ>0）

x′x＝λ，y′x′

法是将代入y＝f(x)，得μ＝fλ，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变

y′

y＝μ换之后的方程．

2．应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′)．

x′＝3x，1．(2019·池州模拟)求曲线x＋y＝1经过φ：变换后得到的新曲线

y′＝4y

的方程．

x′x＝，x′＝3x，3

解析：曲线x2＋y2＝1经过φ：变换后，即将代入圆的方程，

y′y′＝4yy＝4x′2y′2

可得9＋16＝1，

x2y2

即所求新曲线方程为：9＋16＝1. 2．求正弦曲线y＝sin x按：φ：1

y′＝2y1x′＝3x，

变换后的函数解析式．

解析：设点P(x，y)为正弦曲线y＝sin x上的任意一点，

x′＝3x，1y′＝2y在变换φ：

的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)．

x＝3x′，

即φ代入y＝sin x得2y′＝sin 3x′，

y＝2y′，

所以y′＝2sin3x′，即y＝2sin 3x为所求．

考点二极坐标与直角坐标的互化◄考能力——知法

[例2] (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.

①M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

π

②设点A的极坐标为2，3，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

解析：①设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 4

由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝cos θ. 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． ②设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．

由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积 1

S＝2|OA|·ρB·sin∠AOB π＝4cos α·|sinα－3|

π3

＝2|sin2α－3－2|

≤2＋3.

当α＝－12时，S取得最大值2＋3. 所以△OAB面积的最大值为2＋3.

(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝acos t，(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极y＝1＋asin t，

坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.

①说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

②直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

解析：①消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.

②曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

22ρ－2ρsin θ＋1－a＝0， ρ＝4cos θ.

若ρ≠0，由方程组得16cos2 θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2 θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．所以a＝1.

2π将本例(2)曲线C1变为ρ＝cos θ＋sin θ，曲线C2变为ρsinθ－4＝2. (1)求C1和C2的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求C1与C2公共点的一个极坐标．解析：(1)曲线C1：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，

曲线C1的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，曲线C2：2πρsinθ－4＝2，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则曲线C2的直角坐标方程为：y－x＝1，

即x－y＋1＝0.

22x＋y－x－y＝0，x＝0，π(2)由得C1与C2公共点的一个极坐标为1，2.

x－y＋1＝0，y＝1，

1．极坐标方程与普通方程的互化技巧

(1)将极坐标方程两边同乘ρ或同时平方，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．

(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．

(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ，将y换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．

2．涉及圆的极坐标方程的解决方法

方法一：先把涉及的直线或圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据直角坐标系中的相关知识进行求解；

方法二：直接利用极坐标的相关知识进行求解，其关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系．这一过程需要用到解三角形的知识，并需要掌握直线和圆的极坐标方程．

(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

解析：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.

(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.

由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

|－k＋2|

当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，

k＋14

故k＝－3或k＝0.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；

当k＝－3时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以4故k＝0或k＝3. 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点； 4

当k＝3时，l2与C2没有公共点． 4

综上，所求C1的方程为y＝－3|x|＋2.

考点三极坐标方程的应用◄考基础——练透

[例3] (2019·山西太原模拟)点P是曲线C1：(x－2)2＋y2＝4上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2. (1)求曲线C1，C2的极坐标方程；

|k＋2|

＝2，

k＋1

(2)射线θ＝3(ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，定点M(2，0)，求△MAB的面积．

解析：(1)由曲线C1的直角坐标方程(x－2)2＋y2＝4可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.

π

设Q(ρ，θ)，则Pρ，θ－2，

π则有ρ＝4cosθ－2＝4sin θ.



所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.

ππππ

(2)M到射线θ＝3(ρ＞0)的距离d＝2sin3＝3，|AB|＝ρB－ρA＝4sin3－cos 3＝

2(3－1)，

则S△MAB＝2|AB|×d＝2×2(3－1)×3＝3－3.

判断位置关系和求最值问题的方法

(1)已知极坐标方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程，化陌生为熟悉再进行解答．

(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，比直角坐标系中求最值的运算量小．

提醒：在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．

在极坐标系中，判断直线4ρcos(θ－6)＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数．解析：直线方程可化为2ρsin θ＋23ρcos θ＋1＝0，即23x＋2y＋1＝0，圆为

x2＋(y－1)2＝1，因为圆心到直线的距离d＝4＜1，所以有两个交点．

课时规范练

单独成册：对应学生用书第347页

A组基础对点练

π1．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－4＝2.

(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程． (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解析：(1)ρ＝2⇒ρ2＝4，所以x2＋y2＝4； π因为ρ2－22ρcosθ－4＝2，



ππ2

cos θcos ＋sin θsin所以ρ－22ρ＝2， 44所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.

(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 2π

即ρsinθ＋4＝2. 

2．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C的极坐标方程．

(2)直线OP：θ＝6(ρ∈R)与圆C交于点M，N，求线段MN的长．解析：(1)(x－3)2＋(y＋1)2＝9可化为x2＋y2－23x＋2y－5＝0，故其极坐标方程为ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0. π

(2)将θ＝6代入ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0，得 ρ2－2ρ－5＝0，

所以ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5，所以|MN|＝|ρ1－ρ2|＝

4＋20＝26.

π3π3．在极坐标系中，已知圆C经过点P(2，4)，圆心为直线ρsinθ－3＝－2

与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

ππ

解析：因为点P(2，4)，所以x＝2cos 4＝1，

y＝2sin 4＝1，所以点P(1，1)．

3133π

因为直线ρsinθ－3＝－2，展开为2ρsin θ－2ρcos θ＝－2，所以y－3x

＝－3，

令y＝0，则x＝1，所以直线与x轴的交点为C(1，0)．所以圆C的半径r＝|PC|＝

（1－1）2＋（1－0）2＝1，

所以圆C的方程为(x－1)2＋y2＝1，展开为x2－2x＋1＋y2＝1，化为极坐标方程ρ2－2ρcos θ＝0，即ρ＝2 cos θ，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

4．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； x＝tcos α，

(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，

y＝tsin α求l的斜率．

解析：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.

(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．

设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.

于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.

|AB|＝|ρ1－ρ2|＝

（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos2α－44.

315

由|AB|＝10得cos2α＝8，tan α＝±3. 1515

所以l的斜率为3或－3.

B组能力提升练

5．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l的参数方程为25

x＝1－t，5

(t为参数)． 5

y＝1＋5t

(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；

x＝2cos α，π(2)若曲线C2的参数方程为(α为参数)，曲线C1上点P的极角为4，

y＝sin αQ为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．解析：(1)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，即ρ2＝4ρcos θ，

可得直角坐标方程：C1：x2＋y2－4x＝0. 25

x＝1－5t，

直线l的参数方程为(t为参数)，

y＝1＋5t消去参数t可得普通方程：x＋2y－3＝0.

π1

(2)P22，4，直角坐标为(2，2)，Q(2cos α，sin α)，M1＋cos α，1＋2sin α，

∴M到l的距离为d＝|1＋cos α＋2＋sin α－3|

π1010

α＋＝5sin≤45， 

从而最大值为5.

x＝tcos α，6．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α≤π，y＝tsin α在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝23cos θ.

(1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

解析：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程x2＋y2－23x＝0.

22x＋y－2y＝0，联立

22x＋y－23x＝0，

x＝x＝0，2，

解得或

3y＝0y＝2.

33

所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和，.

22

(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α≤π. 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(23 cos α，α)． π

所以|AB|＝|2sin α－23cos α|＝4sinα－3.



5π

当α＝6时，|AB|取得最大值，最大值为4.

第二节参数方程

授课提示：对应学生用书第233页

[基础梳理]

1．曲线的参数方程

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x＝f（t），并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)y＝g（t），都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，

y的变数t叫做参变数，简称参数．

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化

(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与x＝f（t），参数的关系y＝g(t)，则得曲线的参数方程

y＝g（t）.3．直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程轨迹直线普通方程 πy－y0＝tan α(x－x0) (α≠2，点斜式) (x－a)＋(y－b)＝r x2y2a2＋b2＝1(a＞b＞0) 222参数方程 x＝x0＋tcos α，(t为参数) y＝y0＋tsin αx＝a＋rcos θ，(θ为参数) y＝b＋rsin θx＝acos φ，(φ为参数) y＝bsin φ圆椭圆

1．参数方程化普通方程

(1)常用技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等． 1

(2)常用公式：cos2θ＋sin2θ＝1，1＋tan2θ＝cos2θ. 2．直线参数方程的标准形式的应用

过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是

x＝x0＋tcos α，若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 y＝y0＋tsin α.(1)|M1M2|＝|t1－t2|.

t1＋t2

(2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝2，中点M到定点M0

t1＋t2

. 的距离|MM0|＝|t|＝

2(3)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.

[四基自测]

x＝3cos α，

1．直线y＝x与曲线(α为参数)的交点个数为( )

y＝3sin αA．0 C．2 答案：C

x＝1＋t，

2．若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为________．

y＝2－3t答案：－3

x＝sin θ，

3．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为

y＝cos 2θ－1________．

答案：y＝－2x2(－1≤x≤1)

x＝5cos φ，

4．椭圆C的参数方程为(φ为参数)，过左焦点F1的直线l与C相

y＝3sin φ交于A，B两点，则|AB|min＝________． 18答案：5

x＝2cos θ，

5．椭圆(θ为参数)的离心率为________．

y＝5sin θ21

答案：5

授课提示：对应学生用书第234页

B．1 D．3

考点一直线的参数方程◄考基础——练透

[例1] (2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x＝－2＋m，x＝2＋t，(t为参数)，直线l2的参数方程为m(m为参数)．设l1与

y＝ky＝ktl2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C. (1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．

解析：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通1

方程l2：y＝k(x＋2)．

y＝k（x－2），

设P(x，y)，由题设得1消去k得x2－y2＝4(y≠0)．

y＝k（x＋2），

所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．

(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．

222ρ（cosθ－sinθ）＝4，联立得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．

ρ（cos θ＋sin θ）－2＝0

191

故tan θ＝－3，从而cos2θ＝10，sin2θ＝10.

代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为5.

1．直线的参数方程有两种常见形式： x＝x0＋tcos α

(1)点角式(α为倾斜角)．

y＝y0＋tsin α

x＝x0＋at

(2)点斜式(参数都是t)

y＝y0＋bt

2．使用方法：消参数(三角公式法、相除法)化为普通方程或者利用参数法 →

(1)若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则|M→0M1||M0M2|＝|t1t2|，|M→1M2|＝|t2－t1|＝

（t2＋t1）2－4t1t2.

(2)若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，t1＋t2则t3＝2.

(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0.

x＝3－2t，

(2019·唐山模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为

y＝5＋2t参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C的直角坐标方程；

(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|. 解析：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x2＋y2＝25y，即x2＋(y－5)2＝5.

2222

(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程．得3－t＋t＝5，

22即t2－32t＋4＝0.

由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以

t1＋t2＝32， t2＝4.t1·

又直线l过点P(3，5)，

故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32.

考点二圆的参数方程◄考能力——知法

[例2] 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极π

坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈0，2.

(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．

解析：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)． x＝1＋cos t，

可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．

y＝sin t

(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝3，tπ

＝3.

ππ33

故D的直角坐标为(1＋cos3，sin3)，即(2，2)．

1．圆的参数方程可利用三角公式消参数后再应用．

2．解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．

3．求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．

(2019·河北保定一中模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝－5＋2cos t，(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建y＝3＋2sin t

2π

立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2ρcos(θ＋4)＝－1. (1)求圆C的普通方程和直线l的直线坐标方程；

(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．

x＝－5＋2cos t，

解析：(1)由消去参数t，得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，所以圆C

y＝3＋2 sin t的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.

2π

由2ρcos(θ＋4)＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.

(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2，0)，B(0，2)，则点A，B的极坐标π

分别为(2，π＋2kπ)(k∈Z)，(2，2＋2kπ)(k∈Z)．

设点P的坐标为(－5＋2cos α，3＋2 sinα)，则点P到直线l的距离d＝π

|－6＋2cos（α＋|－5＋2cos α－3－2sin α＋2|4）|＝，

224

所以dmin＝＝22，又|AB|＝22，

所以△PAB面积的最小值S＝2×dmin×|AB|＝2×22×22＝4.

考点三椭圆的参数方程◄考基础——练透

[例3] (2017·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cos θ，x＝a＋4t，(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)． y＝sin θy＝1－t(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a. x22

解析：(1)曲线C的普通方程为9＋y＝1.

当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，

由x2

2＋y9＝1

x＋4y－3＝0，

x＝－25，x＝3，

解得或

24y＝0y＝25.2124

从而C与l的交点坐标为(3，0)，－25，25.



(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离|3cos θ＋4sin θ－a－4|

为d＝.

17当a≥－4时，d的最大值为

a＋917

a＋917.

由题设得＝17，所以a＝8；

－a＋117

当a<－4时，d的最大值为综上，a＝8或a＝－16.

.由题设得＝17，所以a＝－16.

1．区分椭圆的参数方程的参数的几何意义是离心角，与圆的参数方程的参数不同．

2．椭圆的参数方程消参数时，先变为a＝cos θ，b＝sin θ，再利用cos2θ＋sin2θ＝1求解．

x＝2＋t，x2y2

已知曲线C：4＋9＝1，直线l：(t为参数)．

y＝2－2t(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

x＝2cos θ解析：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．

y＝3sin θ直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为

d＝5|4cos θ＋3sin θ－6|.

d254

则|PA|＝sin 30°＝5|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝3.

225

当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为5.

当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为5.

课时规范练

单独成册：对应学生用书第349页

A组基础对点练

x＝t，x＝cos α，

1．已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为

y＝mty＝1＋sin α(α为参数)．

(1)若直线l与圆C的相交弦长不小于2，求实数m的取值范围．

(2)若点A的坐标为(2，0)，动点P在圆C上，试求线段PA的中点Q的轨迹方程．

x＝t，

解析：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，普通方程为y＝mx，

y＝mt

x＝cos α，

圆C的参数方程为(α为参数)，

y＝1＋sin α普通方程为x2＋(y－1)2＝1.圆心到直线l的距离d＝

1m＋11－2

1m＋1

，相交弦长＝

21－， 1

所以2

m2＋1

≥2，所以m≤－1或m≥1.

(2)设P(cos α，1＋sin α)，Q(x，y)，则 11

x＝2(cos α＋2)，y＝2(1＋sin α)，

消去α，整理可得线段PA的中点Q的轨迹方程(x－1)2＋(y－2)2＝4. 2．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是x＝1＋tcos α，(t是参数)． y＝tsin α

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．

(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝14，求直线l的倾斜角α的值．

解析：(1)因为ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，

所以曲线C的极坐标方程ρ＝4cos θ可化为ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2＝4x，所以(x－2)2＋y2＝4.

x＝1＋tcos α，(2)将代入圆的方程(x－2)2＋y2＝4得：(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝

y＝tsin α4，

化简得t2－2tcos α－3＝0.

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2， t1＋t2＝2cos α，则 t1t2＝－3，所以|AB|＝|t1－t2|＝因为|AB|＝14，所以4cos2α＋12＝14.

（t1＋t2）2－4t1t2＝

4cos2α＋12，

2所以cos α＝±2. 因为α∈[0，π)， π3

所以α＝4或α＝4π.

π3

所以直线的倾斜角α＝4或α＝4π.

x＝cos α

3．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数，α∈R)，

y＝1＋sin απ在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρsinθ－4＝2.

(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程； (2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值．

x＝cos α，x＝cos α，

解析：(1)由⇒⇒x2＋(y－1)2＝1，

y＝1＋sin αy－1＝sin α

22π

由ρsinθ－4＝2⇒2ρsin θ－2ρcos θ＝2⇒y－x＝2，即C2：x－y＋2＝0.

(2)∵直线x－y＋2＝0与圆x2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，又x2＋(y－1)2＝1的圆心(0，1)，半径为1，

故圆心到直线的距离d＝

|0－1＋2|12＋（－1）

2＝2， 2

∴|AB|＝2

22

1－＝2.

2

B组能力提升练

4．(2019·合肥模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cos θ，(θ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，y＝2sin θ

曲线C2的极坐标方程为ρ－2cos θ＝0. (1)求曲线C2的直角坐标方程；

(2)若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值．解析：(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0，由ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，得x2＋y2－2x＝0，即曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)由(1)可知，圆C2的圆心为C2(1，0)，半径为1.

设曲线C1上的动点M(3cos α，2sin α)，易知点M在圆C2外，由动点N在圆C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1. 因为|MC2|＝

（3cos α－1）2＋4sin2α＝

5cos2α－6cos α＋5＝

3165（cos α－5）2＋5，

345

所以当cos α＝5时，|MC2|min＝5，

4545

所以|MN|min＝|MC2|min－1＝5－1，即|MN|的最小值为5－1.

x＝3sin α－cos α，

5．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为2

y＝3－23sin αcos α－2cosα(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的2π

极坐标方程为ρsinθ－4＝2m.