向前-向后算法(FORWARD-BACKWARD ALGORITHM)

向前-向后算法（forward-backward algorithm）

本文承接上篇博客《隐马尔可夫模型及的评估和解码问题》，用到的概念和例子都是那里面的。 学习问题

在HMM模型中，已知隐藏状态的集合S，观察值的集合O，以及一个观察序列（o1,o2,...,on），求使得该观察序列出现的可能性最大的模型参数（包括初始状态概率矩阵π，状态转移矩阵A，发射矩阵B）。这正好就是EM算法要求解的问题：已知一系列的观察值X，在隐含变量Y未知的情况下求最佳参数θ*，使得：

在中文词性标注里，根据为训练语料，我们观察到了一系列的词（对应EM中的X），如果每个词的词性（即隐藏状态）也是知道的，那它就不需要用EM来求模型参数θ了，因为Y是已知的，不存在隐含变量了。当没有隐含变量时，直接用maximum likelihood就可以把模型参数求出来。

预备知识

首先你得对下面的公式表示认同。

以下都是针对相互独立的事件，

P(A,B)=P(B|A)*P(A)

P(A,B,C)=P(C)*P(A,B|C)=P(A,C|B)*P(B)=P(B,C|A)*P(A)

P(A,B,C,D)=P(D)*P(A,B|D)*P(C|A)=P(D)*P(A,B|D)*P(C|B)

P(A,B|C)=P(D1,A,B|C)+P(D2,A,B|C) D1,D2是事件D的一个全划分

理解了上面几个式子，你也就能理解本文中出现的公式是怎么推导出来的了。

EM算法求解

我们已经知道如果隐含变量Y是已知的，那么求解模型参数直接利用Maximum Likelihood就可以了。EM算法的基本思路是：随机初始化一组参数θ(0)，根据后验概率Pr(Y|X;θ)来更新Y的期望E(Y)，然后用E(Y)代替Y求出新的模型参数θ(1)。如此迭代直到θ趋于稳定。 在HMM问题中，隐含变量自然就是状态变量，要求状态变量的期望值，其实就是求时刻ti观察到xi时处于状态si的概率，为了求此概率，需要用到向前变量和向后变量。

向前变量

向前变量 是假定的参数