上海市南洋模范中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题1．终边落在x轴负半轴的角a的集合为______.tana=2cos2a=________(sina-cosa)22．已知,则tan(a+b)p1p3．已知tan(a+)=，tan(b-)=3，则=_____6264．若cosx=m2m，则的取值范围是______.m+15．一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．6．方程lg(3sinx=lg(-cosx)的解集为______.)7．在(0,2p)内，使sinx£cosx成立的x的取值范围为____________3pp0sosqy+x边，若终点经过点P(x0,y0)，且OP=r（），定义：sosq=00，称“r”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y=sosq”，有同学得到以下性质，其中正确的是______.（填上所有正确的序号）ù①该函数的值域为éë-2,2û；②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于试卷第11页，共33页

直线x=2π3π对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为.410．函数f(x)=x2-2x+4-sinpx(1£x£6)的值域为________.411．已知3sin2a+2sin2b=5sina，则sin2a+sin2b的取值范围是______.12．已知函数f(x)=2sinw>0xÎRww），若函数f(x)在区间xcosx-coswx，（22(π,2π)内没有零点，则w的取值范围为_______.二、单选题13．若在VABC中，\"A>B\"是\"sinA>sinB\"的（ ）条件B．必要非充分D．既非充分又非必要A．充分非必要C．充要14．已知知 △ABC 内接于单位圆.则长为sin A 、sin B 、sin C 的三条线段（ ） .A．能构成一个三角形， 其面积大于△ABC 面积的12B．能构成一个三角形， 其面积等于△ABC 面积的12C．能构成一个三角形， 其面积小于△ABC 面积的12试卷第21页，共33页

D．不一定能构成三角形15．把asinq+bcosq(ab¹0)化成不正确的是（ ）ja2+b2sin(q+j)时，下列关于辅助角j的表述中，A．辅助角一定同时满足sinj=ba2+b2，cosj=aa2+b2B．满足条件的辅助角一定是方程tanx=jb的解ajxbC．满足方程tanx=的角一定都是符合条件的辅助角aD．在平面直角坐标系中，满足条件的辅助角j的终边都重合16．有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=3，B=45°，______，求角A.”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A=60°.在同学的相互讨论中，甲同6+2学认为应该填写的条件为：“b=2”；乙同学认为应该填写条件为“c=”，2则下列判断正确的是（ ）A．甲正确，乙不正确C．甲、乙都正确B．甲不正确，乙正确D．甲、乙都不正确三、解答题pö1.17．已知tanæq+ç÷=4ø3è（1）求tanq的值；pö（2）求sin2q-sin(p-q)sinæç-q÷+cos2q的值.è2ø试卷第31页，共33页

18．在VABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足3ccosA=3acosC.(2b-(1)求)A的大小；(2)现给出三个条件：（1）a=2；（2）B=π；（3）c=3b.试从中选出两个可以确4定VABC的条件写出你的选择，并以此为依据求VABC的面积.（需写出所有可行的方案）19．如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin(wx+f)(A>0,w>0,fÎ(0,p))，xÎ[-4,0]的图象，图象的最高点为B(-1,2).边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD//EF.游乐场的后部分边界是以O为圆心的一段圆弧DE».(1)求曲线段FGBC的函数表达式；(2)如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE»上，且ÐPOE=q，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时q的值.20．己知函数f(x)=sin(wx+j)（w>0，0ππöf(x)图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），为æç,0÷，将函数è4ø再将所得图像向右平移π个单位长度后得到函数g(x)的图象.2(1)求函数f(x)的解析式；(2)若y=f(x)与y=g(x)在y轴右侧的前三个交点分别为A、B、C，求VABC的面积S的值；(3)当a³1，求实数a与正整数n，使F(x)=f(x)+ag(x)在(0,πn)恰有2023个零点.21．已知函数f(x)=sinkxsinkx+coskxcoskx-cosk2x，（其中kÎN*，xÎR）(1)当k=1时，求函数f(x)的严格递增区间；(2)当k=1时，求函数g(x)=a>0f(x)æπù0,ú上的最大值（其中常数在）；ç23èûa+f(x)(3)若函数f(x)为常值函数，求k的值.试卷第51页，共33页

参考答案：1．{x|x=2ππ,k+kZ}Î.【分析】根据终边相同角的表示方法，即可求解.【详解】根据终边相同角的表示方法，可得终边x轴负半轴的角a的集合为{x|x=2ππ,k+kZ}Î..故答案为：{x|x=2ππ,k+2．-3kZ}Î【分析】先根据二倍角余弦公式化简，再利用弦化切，代入切的值计算得结果.22cos2acosa-sinacosa+sina1+tana1+2【详解】=====-3(sina-cosa)2(sina-cosa)2cosa-sina1-tana1-2故答案为：-3【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及切化弦方法，考查基本分析求解能力，属基础题.3．-7pp【分析】a+b=(a+)+(b-),然后由两角和的正切公式可得.66【详解】根据两角和的正切公式可得:pppptan(a+b)=tan[(a+)+(b-)]tan(a+)+tan(b-)66=66pp1-tan(a+)tan(b-)66=-71+3=2.11-´32故答案为:-7.答案第11页，共22页

【点睛】本题考查了两角和的正切公式,属于基础题.解题关键是将a+b拆成两个已知角a+pp+b-之和.664．é-1,1ùêë3úû【分析】通过讨论cosxmm的取值范围，即可得出，进而求出的取值范围.m+1【详解】由题意，xÎRcosx=-1£cosx£12m，而，m+1则-1£2m£1，m+1当m<-112m或m³-；³-1时，解得m+13-1【详解】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为a，则2R+l=4．①11由扇形的面积公式S=lR，得lR=1．②22由①②得R=1，l=2，∴a=l=2rad．R∴扇形的圆心角为2rad．故答案为：2radü5π6．ìk+kÎZýíxx=2π,6îþ【分析】根据题意，由对数函数的单调性化简，再结合三角函数的运算，即可得到结果.\\Qy=lgx(0,+¥)【详解】在上単调递增，由lg(3sinx=lg(-cosx)，)15πkÎZ得3sinx=-cosx，即tanx=-，所以x=kπ+，，63sinx>0-cosx>0kÎZπ，\\+2π2ππ，kpùé5pö7．æç0,úÈê,2p÷è4ûë4ø【分析】把不等式变形为sinx-cosx£0,不等式的左边用辅助角公式变形为正弦型函数的形式,运用正弦型函数的正负性,.可以求出x的取值范围.p4p£2kp+2p(kÎZ),即4【详解】sinx£cosxÞsinx-cosx£0Þ2sin(x-)£0Þ2kp+p£x-59pùé5pö2kp+p£x£2kp+p(kÎZ),又因为xÎ(0,2p),所以xÎæ0,úÈê,2p÷.ç44è4ûë4øpùé5pö故答案为æç0,úÈê,2p÷è4ûë4ø【点睛】本题考查了三角不等式的解法,应用辅助角公式是解题的关键.本题还可以在同一直角坐标系内画出函数y=sinx、y=cosx,xÎ(0,2p)的图象,运用数形结合思想可以解出, 还可以画出单位圆,利用正弦线和余弦线的知识也可以解答出来.8．-8t=tan2x【详解】试题分析：Qpxp\anx1\an2x1,设42t=22(t-1)+4(t-1)+22t22当且仅当时成立\\y==-=-2(t-1)--4£-2´2-4=-81-tt-1t-12考点：函数单调性与最值9．①④【分析】利用三角函数的定义得到x0=rcosx，y0=rsinx，答案第41页，共22页

y=sosx=y0+x0πöæ=sinx+cosx=2sinçx+÷，再逐项判断.r4øè【详解】对于①：由三角函数的定义可知x0=rcosx，y0=rsinx，y0+x0πöæ，故①正确；=sinx+cosx=2sinçx+÷Îé-2,2ùëûr4øè\\y=sosx=πöπöæ对于②：由于y=sosx=2sinæ，x+\\f0=2sin0+()ç÷ç÷=1¹0，4ø4øèè\\函数关于原点对称是错误的，故②错误；对于③：当x=3π时，4æ3π3ππöæöfç÷=2sinç+÷=2sinπ0=¹±2444èøèø，\\图象关于x=3π对称是错误的，故③错误：42ππö\\æ对于④：由于y=sosx=2sinçx+÷，函数为周期函数，且最小正周期为，故④正确，4øè综上，故正确的是①④.故答案为：①④10．[3,29]【分析】分析函数y=f(x)在区间[1,6]的单调性，利用单调性得出函数y=f(x)的最大值和最小值，由此可得出函数y=f(x)(1£x£6)的值域.2px【详解】设g(x)=x-2x，h(x)=4-sin，作出函数y=g(x)在区间[1,6]上的图象如4下图所示：答案第51页，共22页

可知函数y=g(x)在区间[1,2]上单调递减，在区间[2,6]上单调递增，当1≤≤x6时，1£x£2pp3pppxpppx3p2£x£6£x£，由££，得，由££，得，442442242所以，函数y=h(x)在区间[1,2]上单调递减，在区间[2,6]上单调递增，则函数f(x)=g(x)+h(x)在区间[1,2]上单调递减，在区间[2,6]上单调递增，2p=3，4所以，f(x)min=f(2)=22-2´2+4-sin6p又f(1)=12-2´1+4-sinp=5-2，f(6)=62-2´6+4-sin=29，442f(1)11．é0,13ùÈ{2}êë9úû532sina=1【分析】根据题意得到0£sin2b=sina-sin2a£1，求得0£sina£或，结合22351sin2a+sin2b=sina-sin2a，即可求解.222253【详解】因为3sina+2sinb=5sina，可得0£sin2b=sina-sin2a£1，22解得0£sina£2sina=1或，351又由sin2a+sin2b=sina-sin2a22因为0£sina£sina=125113ù，或，所以sina-sin2aÎé0,È{2}.êú322ë9û13ù故答案为：é0,È{2}.êú9ëû1ùé15ù12．æç0,úÈê,úè8ûë48ûπöf(x)=0，得到【分析】先由二倍角公式和辅助角公式得到f(x)=2sinæ，再令wx-ç÷4øèx=kÎZkππkππ+，，根据函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，得到x=+Ï(π,2π)，w4ww4w答案第71页，共22页

然后由kππfx+Î(π,2π)，得到k的范围，然后将函数()在区间(π,2π)内没有零点，转w4w11ö化为在æw-,2w-ç÷内没有整数求解.44øèπö【详解】解：f(x)=sinwx-coswx=2sinæwx-ç÷，4øèf(x)=0由，得wx-kÎZkπππ.+，=kπ，即x=w4w4Q函数fx在区间()(π,2π)内没有零点，\\x=kππkππ+Ï(π,2π)，若+Î(π,2π).w4ww4w则w-111ï8î答案第81页，共22页

k=1若当时，由w-11<1<2w-445555ìï8îk=2当时，由11w-<2<2w-44w999ìï8î11511ö即若æ内有整数，则或B，根据大角对大边可得边a>b，由正弦定理absinA>sinB=，得．sinAsinB若sinA>sinB，则正弦定理a>bA>Bab=，得，根据大边对大角，可知．sinAsinB所以，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件．故选：C．14．Cabc===2【详解】由正弦定理得sinAsinBsinC，故以sin A、sin B 、sin C 组成的三角形与答案第91页，共22页

△ABC 相似， 其面积为△ABC 面积的14, 选C.15．C【分析】首先利用辅助角公式对式子化简，得到辅助角的正弦值、余弦值.选项A、B可直接代入来说明是正确的；选项C通过所求解的不确定性来说明是错误的；选项D根据三角函数的定义来说明是正确的.【详解】因为asinq+bcosqæöab=a2+b2çsinq+cosq÷22a2+b2èa+bø =a2+b2sin(q+j)，其中，cosj=aa+b22，sinj=ba+b22，ab¹0.选项A：由上述解答知，选项A正确.jbsinjb选项B：因为tanj==，所以满足条件的辅助角一定是方程tanx=的解，故选acosja项B正确.batanx=选项C： 因为由b-bììsinx=,sinx=,ïï2222a+ba+b可以得到ï，但也可以得到ï，íía-aïcosx=ïcosx=ïïa2+b2a2+b2îîjxb所以满足方程tanx=的角不一定都是符合条件的辅助角，故选项C不正确.a选项D：因为当一个角的正弦值、余弦值都确定时，它与单位圆的交点就确定了，所以当两个角的正弦值、余弦值都相等时，它们与单位圆的交点必在同一点，所以它们的终边相同，故选项D正确.答案第101页，共22页

故选：C.16．B【分析】根据A=60°，B=45°，得到C=75°，再利用正弦定理求得边b，c，验证即可.【详解】可得QA=60°，B=45°，\\C=75°，又sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=6+2，4ab=，sinAsinB由正弦定理得则3bc，==sin60°sin45°sin75°6+2.解得b=2，c=2若条件为b=2，3则由正弦定理得：sinA=32sinA=2，2，解得2\\A=60°或A=120°，答案不唯一，不符合题意，若条件为c=6+2，22+63sinA=则由正弦定理得：3，解得22，==2sinAsin75°答案第111页，共22页

\\A=60°或A=120°，Qc>a，\\A=60°，答案唯一，符合题意，故答案为c=故选：B.6+2，21117．（1）-；（2）.25pöpù，然后利用两角差的正切公式可得答案；【解析】（1）化tanq=tanéæq+÷-úêç4èø4ûë（2）先利用二倍角公式、诱导公式化简，然后弦化切可得答案.1pöpæ-1tançq+÷-tan1éæpöpù4ø4=3è=-；【详解】（1）tanq=tanêçq+÷-ú=2pöp1+1´14ø4ûæëè1+tançq+÷tan34ø4èp=2sinqcosq-sinqcosq+cos2q-sin2qö（2）sin2q-sin(p-q)sinæç-q÷+cos2qè2øsinqcosq+cos2q-sin2qtanq+1-tan2q1===.222sinq+cosqtanq+15π；618．(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角相互转化即可得到结果.（2）根据题意，分别选（1）（3），（1）（2），（2）（3），结合正弦定理与余弦定理以及三角形的面积公式即可得到结果.【详解】（1）因为2b-3ccosA=3acosC，结合正弦定理可得，()答案第121页，共22页

(2sinB-3sinCcosA=3sinAcosC，)化简可得2sinBcosA=3sinCcosA+3sinAcosC，即2sinBcosA=3sin(A+C)=3sinB，又sinB¹0，π得cosA=3，AÎ[0,π]，即A=.62（2）①②③①若选择（1）（3），a2=b2+c2-2bccosA由余弦定理可得，，即4=b2+(3b)2-2b´3b´32解得b=2，则c=23，1\\S=bcsinA=32②若选择（1）（2）aba22=Þb=sinB=´=22，由正弦定理可得，sinAsinB12sinA2又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=1´2+3´2=6+2，22224\\S=1absinC=3+12ππ7π,-=6412③若选择（2）（3），则C=ππ-A-B=-由正弦定理可得，cbcsinC=Þ=sinCsinBbsinB答案第131页，共22页

且c=3b，sinC=sinB6+24，即3¹226+24，22所以这样的三角形不存在.p6xÎ[-40]2pp)，，；（2）q=时，平行四边形面积最大值为23．36319．（1）y=2sin(x+【分析】（1）由题意可得A=2，T=12，代入点求f，从而求解析式；（2）作图求得æö2343æpö23，从而求得最值．SYOMPQ=OM×PP2cosq-sinq÷×2sinq=sinç2q+÷-1=çç÷336ø3èèø【详解】（1）由已知条件，得A=2，QT又4=3，T=\\p2p=12，w=．6w又当Qx=-1p2p时，有y=2sin(-+j)=2，\\j=．63\\曲线段FGBC的解析式为y=2sin(x+p6xÎ[-40]2p)，，．3CD=1\\OD=2p（2）如图，OC=3，，，ÐCOD=，6作PP轴于P点，在RtDOPP1中，PP1=OPsinq=2sinq，11^xDOMPOPOM=，sin120°sin(60°-q)在中，\\OM=OP×sin(60°-q)423=×sin(60°-q)=2cosq-sinq．sin120°33答案第141页，共22页

æö23SYOMPQ=OM×PP=2cosq-sinq×2sinqç÷1ç÷3èø=4sinqcosq-4322323sinq=2sin2q+cos2q-33343p23 qÎ(0,p)．=sin(2q+)-3363当2q+ppp=时，即q=时，平行四边形面积最大值为23．6623【点睛】本题主要考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了学生的作图能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．20．(1)f(x)=cos2xπ2.(2)S=(3)a=1，n=1349【分析】（1）由周期为求得πwjπöæ，再根据图象的一个对称中心为ç,0÷求得；è4ø（2）利用伸缩变换和平移变换得到g(x)，再令f(x)-g(x)=0得到A，B，C，然后利用三角形面积公式求解；（3）由F(x)=0，得到2sin2x-asinx-1=0，设sinx=t1或sinx=t2（t1¹t2），再分答案第151页，共22页

t1Î(-1,1)，t1=-1，t1=1求解.2πÞw=，w【详解】（1）解：T=π2=当x=πkÎZππö时，sinæ（），+j=0πÞ+j=kç÷42è2ø取j=ππæöÞf(x)=sinç2x+÷=cos2x；22øè（2）将函数f(x)图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx，再将所得图像向右平移ππö个单位长度后得到函数g(x)=cosæx-÷=sinx，ç22øè由cos2x=sinx，得1-2sin2x=sinx，即2sin2x+sinx-1=0，1-1或.2解得sinx=π1öæ5π1ö、æ3πö得Aæ、,Bç÷ç,÷Cç,-1÷，è62øè62øè2ø\\S=12π3π××=；2322（3）由F(x)=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+1，xÎ(0π,n2sin2x-asinx-1=0a1³，44).令，对称轴sinx=不妨设sinx=t1或sinx=t2（t1¹t2），显然t1¹0，t2¹0，答案第161页，共22页

若sinx=tÎ(-1,1)，则F(x)在(0,πn1当t=-1，则a=-1（舍去）；1)上必有偶数个零点，得sinx=t1=1或-1，10,2π)当t1=1，则a=1Þt2=-，此时F(x)在(上有3个零点，2故n=2022´2+1=1349，3综上所述，a=1，n=1349.πùkÎZ21．(1)ékπ,π，；k+êú2ëûìa9,09ï4î4a+9(2)g(x)max(3)k=3.【分析】（1）当k=1时，化简为f(x)=sinxsinx+cosxcosx-cos2x=1-cos2x，再由2π2k£2ππx£k+，kÎZ，求解即可；2（2）由（1）得f(x)=2sinx， 从而g(x)=f(x)2sin2x，令t=2sin2x，先求=a+f2(x)a+4sin4x91æ9ùæ3ùæ3ùg(x)=h(t)=aÎç0,úa>tÎç0,útÎç0,úa得è2û，则转化为求，è2û的最大值，分4两è4û和+tt种情况求解即可；答案第171页，共22页

（3）由函数f(x)为常值函数，采用赋值法求得k的值，再代入验证即可.【详解】（1）当k=1时，f(x)=sinxsinx+cosxcosx-cos2x=1-cos2x由2π2k£2ππx£k+，kÎZ，得kππ£x£k+πkÎZ.，2πùkÎZ.故f(x)的严格递增区间为ékπ,π，k+êú2ûë（2）由（1）可知，当k=1时，f(x)=1-cos2x=2sin2x，22sinx，则g(x)==a+f2(x)a+4sin4xf(x)2t=2sinx，当令æ2πùæπùé1öxÎç0,ú时，则2xÎç0,ú，所以cos2xÎê-,1÷，è3ûè3ûë2ø3ùæ3ù.则1-cos2xÎæ，即tÎ0,ç0,úçúè2ûè2ûæ3ùtÎç0,úa，è2û+tt1于是g(x)=h(t)=1111æ9ùt=ah(t)=£=aÎç0,úa①当，当且仅当时，最大值为2a；è4û时，+t2a×t2att②当a>9a3ùh(t)在æ3ù上是增函数，则当t=3时，最大时，y=+t在æ上递减，则0,ç0,úçú24tè2ûè2û值为6，4a+9答案第181页，共22页

综上所述，g(x)maxìa9,09ï4î4a+9（3）由函数f(x)为常值函数，令x=0，则原式=0，令x=nπkπk，则原式=sin-(-1)=0Þk=4n-1（为正整数）；22ππ2ππ2π，则原式=-cosk-cosk，=0，即cosk=-coskkkkkk令x=因为k=4n-1nkπ2π（为正整数），即为正奇数，所以cos=-cos，kk即cosπ2πππ+cos=0，则2cos2+cos-1=0，kkkk解得cosππ1=-1或cos=，kk2又因为k=4n-1（n为正整数），所以k=3.当k=3时，原式为sin3xsin3x+cos3xcos3x-cos32x=sin3xsinxsin2x+cos3xcosxcos2x-cos32x=sin3xsinx(1-cos2x)+cos3xcosx(1-sin2x)-cos32x=sin3xsinx+cos3xcosx-sin3xsinxcos2x-cos3xcosxsin2x-cos32x=cos2x-sinxcosx(sin3xcosx+cos3xsinx)-cos32x=cos2x-sinxcosxsin4x-cos32x=cos2x-sin22xcos2x-cos32x=cos2x(1-sin22x)-cos32x=cos32x-cos32x=0.所以当k=3时，函数f(x)为常值函数.答案第191页，共22页

【点睛】关键点睛：第三问的关键是抓住函数f(x)为常值函数，因此可以采用赋值法先确

定k的值，再代入验证即可.

答案第201页，共22页