一元二次函数、方程和不等式单元检测试卷

一、单选题

1.若ab

B.

a1 bC.ab D.

11 ab222.关于x的不等式x2ax8a0(a0)的解集为(x1,x2)，且：x2x115，则a=

（ ） A.

5 2B.

7 2C.

15 4D.

15 23.若a,b,c为实数，则下列命题错误的是（ ）

A.若ac2bc2，则ab B.若ab0，则a2b2 C.若ab0，则

11 D.若ab0,cd0，则acbd ababx1a24．在R上定义运算:adbc ，若不等式1 对任意实数x恒成

cda1x立，则实数a的最大值为（ ） A．1 2B．3 2C．

1 2D．

3 25．已知ta2b，sab21，则t和s的大小关系为（ ） A．ts B．ts C．ts D．ts

6．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为P1602x，生产x件所需成本为C（元），其中C50030x元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（ ） A．20x30

B．20x45

C．15x30

D．15x45

227．函数yx2ax8a(a0)，记y0的解集为A，若1,1A，则a的取值范围

（ ） A．,

12B．,

14C．11, 42D．,

42118.关于x的不等式xba1x1b0的解集为xx1或x3，则关于x的不等式x2bx2a0的解集为（ ）

A.x2x5

B.x11x 251x1 2C.x2x1

D.x9.已知命题p:xR，x2xa0，若p是真命题，则实数a的取值范围是（ ）

1,A. 410.若不等式axA.a0a9 C.aa21B.0, 411C., 421D., 21x2123aa0恒成立，则实数a的取值范围是（ ） 3B.aa9 D.a0a1 91 911.已知集合Mx4x2，N{xxx60，则MN=（ ）

2A．{x4x3

2

B．{x4x2 C．{x2x2 D．{x2x3

12.已知函数f（x)=x+（4-k)x，若f（x)7) 214C.（-∞，)

3A.（-∞，

二、填空题

7，+∞) 214D.（，+∞)

3B.（

13.已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_______. 14.武广铁路上，高速列车跑出了350km/h的高速度，但这个速度的2倍再加上100 km/h，还不超过波音飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，设高速列车速度为v1，波音飞机速度为v2，普通客车速度为v3.则三种交通工具速度的不等关系分别为______. 15.已知正实数a，b满足a＋b＝4，则三、解答题

16.设函数fxmxmx1

211的最小值为________. a1b3（1）若对一切实数x，fx0恒成立，求m的取值范围； （2）若对于x1,3，fxm5恒成立，求m的取值范围：

17．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：x2千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油2升，司机的工资是每小

360时14元.

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.

18．1若x0，求函数yx4的最小值，并求此时x的值； x2设0x3，求函数y4x32x的最大值；

23已知x2，求x4的最小值； x219y04，且1，求xy的最小值. 已知x0，

xy

19．如图，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx1(1k2)x2(k0)表20示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由。

答案

一、单选题

1.若ab 答：A

∵a＜0，∴|a|＝﹣a，∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞﹣b，故结论A成立； 取a＝﹣2，b＝﹣1，则 ∵

B.

a1 bC.ab D.

11 aba2＞1，∴B不正确； ba2，b1，∴a＞b，∴C不正确；

11111，1，∴＞，∴D不正确. a2bab故选：A.

222.关于x的不等式x2ax8a0(a0)的解集为(x1,x2)，且：x2x115，则a=

（ ） A.

5 2B.

7 2C.

15 4D.

15 2答：A

因为关于x的不等式x2ax8a0(a0)的解集为(x1,x2)，

222所以x1x22a,x1x28a，又x2x115，

所以(x2x1)(x2x1)4x2x136a15， 解得a故选：A.

3.若a,b,c为实数，则下列命题错误的是（ ） A.若ac2bc2，则ab B.若ab0，则a2b2 C.若ab0，则答：B

222255，因为a0，所以a.

2211 D.若ab0,cd0，则acbd abac2bc2对于A，若acbc，则c0，22，即ab，故正确；

cc22对于B，根据不等式的性质，若ab0，不妨取a2,b1， 则a2b2，故题中结论错误； 对于C，若ab0，则

ab11，即，故正确；

ababab对于D，若ab0,cd0，则ab0，故acbd，acbd，故正确. 故选：B.

abx1a24．在R上定义运算:adbc ，若不等式1 对任意实数x恒成

xcda1立，则实数a的最大值为（ ） A．1 2B．3 2C．

1 2D．

3 2答：D

x1a222xxaa21，所以1由定义知，不等式等价于xa1133x2x1a2a对任意实数x恒成立.因为x2x1x，所以

2442a2a1333，解得a ，则实数a的最大值为.

2242故选：D.

5．已知ta2b，sab21，则t和s的大小关系为（ ） A．ts C．ts 答：D

s﹣t=a+b2+1﹣a﹣2b=b2﹣2b+1=（b﹣1）2≥0， 故有 s≥t， 故选D．

6．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为P1602x，生产x件所需成本为C（元），其中C50030x元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（ ）

B．ts D．ts

A．20x30 答：B

B．20x45 C．15x30 D．15x45

设该厂每天获得的利润为y元，

2则y(1602x)x(50030x)2x130x500，(0x80)，

根据题意知，2x2130x5001300，解得：20x45， 所以当20x45时，每天获得的利润不少于1300元，故选B．

227．函数yx2ax8a(a0)，记y0的解集为A，若1,1A，则a的取值范围

（ ） A．, 答：A

函数yx2ax8ax2ax4a，抛物线开口向上，又a0，所以2a4a,

2212B．,

14C．11, 42D．,

42112a11 y0则的解集为A2a,4a，得，解得a，所以正确选项为A．

24a18.关于x的不等式xba1x1b0的解集为xx1或x3，则关于x的不等式x2bx2a0的解集为（ ） A.x2x5

11xxB.

25D.xC.x2x1 答：A

1x1 2由题意分析，知方程xba1x1b0的两根为-1和3，

b1b3a5所以b1或b1，解得，

b331a1a1则不等式x2bx2a0为x23x100，解得2x5， 即不等式x2bx2a0的解集为x2x5.

故选A

9.已知命题p:xR，x2xa0，若p是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A.,

41B.0,

41C.11, 42D.,

12答：A

已知命题p:xR，x2xa0，若p是真命题，则不等式x2xa0有解，

14a0，解得a1. 41因此，实数a的取值范围是,.

4故选：A. 10.若不等式axA.a0a9

21x2123aa0恒成立，则实数a的取值范围是（ ） 3B.aa9

1aaC.

9答：C

原不等式转化为ax1又a0，则ax11a0aD.

921x212， 321x212ax2112a x2111，当且仅当ax12，即2x1x122a时等号成立，

则根据恒成立的意义可知2a故选C

21，解得a. 3911.已知集合Mx4x2，N{xxx60，则MN=（ ）

2A．{x4x3 答：C

B．{x4x2 C．{x2x2 D．{x2x3

由题意得，Mx4x2,Nx2x3，则

MNx2x2．故选C．

12.已知函数f（x)=x2+（4-k)x，若f（x)7) 214C.（-∞，)

3A.（-∞，答：D

7，+∞) 214D.（，+∞)

3B.（

由f（x)

g1）0，7-2k0，（即

g2）0，14-3k0，（14. 3故选:D.

二、填空题

13.已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_______. 答：（0,8）

因为不等式x2-ax+2a＞0在R上恒成立. ∴△=（-a）-8a＜0，解得0＜a＜8， 故答案为（0，8）

14.武广铁路上，高速列车跑出了350km/h的高速度，但这个速度的2倍再加上100 km/h，还不超过波音飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，设高速列车速度为v1，波音飞机速度为v2，普通客车速度为v3.则三种交通工具速度的不等关系分别为______.

2

100v2，v13v3 答：2v1＋100v2，v13v3 根据题意得到三者的速度关系得到：2v1＋故答案为：2v1100v2，v13v3. 15.已知正实数a，b满足a＋b＝4，则答：

11的最小值为________. a1b31 2解：∵正实数a，b满足a+b＝4， ∴a+1＞1，b+3＞3，a+1+b+3＝8，

∴

111111a1b3（2） ）[（a+1）+（b+3）]（a1b38a1b38b3a111a1b3（22）.

28b3a1a1b3时，取等号， b3a1当且仅当∴

111的最小值为.

2a1b31. 2三、解答题

故答案为：

16.设函数fxmxmx1

2（1）若对一切实数x，fx0恒成立，求m的取值范围； （2）若对于x1,3，fxm5恒成立，求m的取值范围： 答：（1）4,0.（2）,

（1）mx2mx10对xR恒成立， 若m0，显然成立，

6 7m0

若m0，则，解得4m0.

0

所以，m4,0.

（2）对于x1,3，fxm5恒成立，即

m(x2x1)6对x1,3恒成立 x2x10对x1,3恒成立

∴m6对x1,3恒成立， 2xx1即求g(x)6在1,3的最小值，

x2x11， 2yx2x1的对称轴为x1311466yminy()，ymaxy(3)7，2[,]2[,8]，

24xx173xx17可得gmin(x)66,即m,.

7717．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：x2千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油2升，司机的工资是每小

360时14元.

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 答：(1) y＝

130182130234013＋x，x∈[50，100] (或y＝＋x，x∈[50，100]).(2)

18x360x当x＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. (1)设所用时间为t＝

130 (h)， xx2130130y＝×2×2，x∈[50，100]. ＋14×

360xx所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝

130182130＋x，x∈[50，100] x360234013＋x，x∈[50，100]). 18x130182130(2)y＝＋x≥2610，

x360130182130当且仅当＝x，

x360(或y＝

即x＝1810时等号成立.

故当x＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 18．1若x0，求函数yx4的最小值，并求此时x的值； x2设0x3，求函数y4x32x的最大值；

23已知x2，求x4的最小值； x219y04，且1，求xy的最小值. 已知x0，

xy答：1x2时,取得最小值4；2

9；36；416. 21当x0时，x42x当且仅当xx44， x4，即x2时取等号. x4所以函数yx的最小值为4，当x2时，有最小值.

x20x3，32x0，

22x32x9y4x32x2. 2x32x222当且仅当2x32x，即x23时，等号成立. 4330,， 4239函数y4x32x0x的最大值为.

223xx2，x20，

44x222x2x2x2426， x2当且仅当x2 x4，即x4时，等号成立. x24的最小值为6. x24x0，y0且

1x191， xyxyxy99xy9xy1021016， yyxyx9xy19，1， 当且仅当yxxy即x4，y12时，上式取等号.

故当x4，y12时，xymin16.

19．如图，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx1(1k2)x2(k0)表20示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 答：（1）炮的最大射程是10千米．

（2）当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．

（1）求炮的最大射程即求ykx11k2x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基20本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解 （1）令y＝0，得kx－

1 （1＋k2）x2＝0， 20由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，

2020k201故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米． 22k1kk（2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标 ⇔存在k＞0，使3.2＝ka－

122

（1＋k）a成立 20⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0 ⇔a≤6.

所以当a不超过6（千米）时，可击中目标。