第12章《复数》复习课讲义-2021-2022学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

编号：025 课题:§12.4 复数复习课

目标要求

1、理解并掌握复数的概念． 2、理解并掌握复数的运算．

3、理解并掌握复数的几何意义． 4、理解并掌握复数的方程问题.

学科素养目标

复数一章是数集从正整数集到复数集的推广，复数的几何意义应用广泛.复数与平面向量知识的结合是一大特点.复数的代数形式是数学计算的应用.复数的三角形式和三角函数知识紧密联系.复数知识也是大学复变函数的基础，是承上启下的桥梁，学好复数知识是解决实际应用问题的关键，可以拓宽视野.用复数解决某些数学问题相当见效，介绍几类用复数思想解非复数的问题，诸如求解三角问题、证明三角恒等式、三角定理、解三角方程、证明几何问题以及求解函数问题等，从而刺激学生将要形成或已经形成的固定思维，培养学生的创新思维，增强学生的认知意识.

重点难点

重点：复数的几何意义； 难点：复数的方程问题．

教学过程

基础知识点

1.思维导图·构建网络

2.若规定i21，则1的平方根是____.i4n,i4n1,i4n2,i4n3(nZ).

3．两个复数相等的条件是实部与实部，虚部与虚部对应相等.

4.实数的共轭复数是其本身，两个复数的和、差、积、商的共轭复数是两个复数的共轭复数的和、差、积、商(作为分母的复数不能为零). 5．若123i，则2,21,3.

若1223i，则2,21,3； 26．若zabi,a,bR，则z，两个复数的积与商的模等于这两个复数的模的积与商(作为分母的复数不能为零). zzzz.

22

227．（1）一个重要的复数等式：z1z2z1z2， （2）一个重要的复数不等式：z1z2≤z1z2≤z1z2≤z1z2. 【综合复习演练】

题1．复数z＝12 ＋1

2 i(其中i为虚数单位)的共轭复数为( )

A．－11

B．12 ＋2 i

2 －1

2 i

C．－11

2 －2 i

D．－1－1

2

i

题2．复数z满足z＝7＋i1－2i (i为虚数单位)，则复数z的共轭复数z ＝( )

A．1＋3i B．1－3i C．3－i D．3＋i

题3．已知(3＋i) z＝1－2i(i为虚数单位)，则|z| ＝( ) A．1010 B．10255 C．2 D．2

题4．已知复数z满足|z－i| ＝1，i为虚数单位，则z＋

2－8i1＋i

的最大值是( A．5 B．6 C．7 D．8

z

题5．已知复数z满足z＝－1＋3 i(其中i为虚数单位)，则|z|

＝( )

A．－12 ＋3

2 i

B．－12 －3

2

i

C．12 ＋3

2 i

D．12 －3

2

i

题6．设复数z满足|z＋1|＝|z－i|，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( ) A．x＝0

B．y＝0 C．x－y＝0 D．x＋y＝0

)

题7．(多选)若复数z满足(z＋2) i＝3＋4i(i为虚数单位)，则下列结论正确的有( )

．．

A．z的虚部为3 B．|z| ＝13 C．z的共轭复数为2＋3i

D．z在复平面内对应的点在第三象限

2

题8．(多选)下面是关于复数z＝ (i为虚数单位)的命题，其中真命题为( )

．．－1＋iA．|z|＝2

B．z＝2i

2

C．z的共轭复数为1＋i

D．z的虚部为－1

题9．(多选)已知z1与z2是共轭虚数，以下4个命题一定正确的是( )

．．

2

A．z1 <|z2| C．z1＋z2∈R

2

B．z1z2＝|z1z2|

z1

D． ∈R

z2

题10．已知(1－i) z＝2＋i，其中i是虚数单位，则复数z的模为________．

2－mi2－mi 2 021＝________．

题11．已知i是虚数单位，m∈R，且 是纯虚数，则1＋i2＋mi

题12．如果复数z＝(m＋i) (1＋mi)是实数，则实数m＝

2

________，|z－i|＝________．

题13．设z 为复数z的共轭复数，满足z－z(1)若z为纯虚数，求z； (2)若z－z为实数，求|z| .

6－4mi题14．已知复数z＝ (m∈R，i是虚数单位).

1＋i(1)若z是纯虚数，求实数m的值；

(2)设z 是z的共轭复数，复数z －2z在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．

2|| ＝2

3 .

题15．已知复数z1＝(a＋i) ，z2＝4－3i，其中a是实数．

2

(1)若在复平面内表示复数z1·z2的点位于第二象限，求a的取值范围； z1

(2)若 是纯虚数，a是正实数．

z2①求a；

z1z12z13z12 022

②求 ＋ ＋ ＋…＋ .

z2z2z2z2

2＋4i题16．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，存在实数t使a－bi＝ －3ati成立．

t(1)求证：2a＋b为定值；

(2)若|z－2|编号：025 课题:§12.4 复数复习课

目标要求

1、理解并掌握复数的概念． 2、理解并掌握复数的运算．

3、理解并掌握复数的几何意义． 4、理解并掌握复数的方程问题.

学科素养目标

复数一章是数集从正整数集到复数集的推广，复数的几何意义应用广泛.复数与平面向量知识的结合是一大特点.复数的代数形式是数学计算的应用.复数的三角形式和三角函数知识紧密联系.复数知识也是大学复变函数的基础，是承上启下的桥梁，学好复数知识是解决实际应用问题的关键，可以拓宽视野.用复数解决某些数学问题相当见效，介绍几类用复数思想解非复数的问题，诸如求解三角问题、证明三角恒等式、三角定理、解三角方程、证明几何问题以及求解函数问题等，从而刺激学生将要形成或已经形成的固定思维，培养学生的创新思维，增强学生的认知意识.

重点难点

重点：复数的几何意义； 难点：复数的方程问题．

教学过程

基础知识点

1.思维导图·构建网络

2.若规定i21，则1的平方根是 i.i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i(nZ).

3．两个复数相等的条件是实部与实部，虚部与虚部对应相等.

4.实数的共轭复数是其本身，两个复数的和、差、积、商的共轭复数是两个复数的共轭复数的和、差、积、商(作为分母的复数不能为零). 5．若123i，则2,210,31.

若1226．若zabi,a,bR，则z3i，则2,210,31； 2a2b2，两个复数的积与商的模等于这两个复数的模2222的积与商(作为分母的复数不能为零). zzzzab. 7．（1）一个重要的复数等式：z1z2z1z22z12z2，

2222

（2）一个重要的复数不等式：z1z2≤z1z2≤z1z2≤z1z2. 【综合复习演练】

11

题1．复数z＝ ＋ i(其中i为虚数单位)的共轭复数为( )

2211

A．－ ＋ i

2211

C．－ － i

22

11B． － i

22

1

D．－1－ i

2

1111

【解析】选B.复数z＝ ＋ i，则共轭复数与它实部相同虚部互为相反数，故为 － i.

22227＋i

题2．复数z满足z＝ (i为虚数单位)，则复数z的共轭复数z ＝( )

1－2iA．1＋3i B．1－3i C．3－i D．3＋i

(7＋i)(1＋2i)5＋15i7＋i

【解析】选B.z＝ ＝ ＝ ＝1＋3i，则z ＝1－3i.

1－2i(1－2i)(1＋2i)5

题3．已知(3＋i) z＝1－2i(i为虚数单位)，则|z| ＝( ) A．

101025

B． C． D． 10522

【解析】选C.方法一：由题意，复数|z|＝

（1－2i）（3－i） ＝1－7i ＝



（3＋i）（3－i）1010

12＋72 ＝2 . 10102

方法二：两边同时取模得：|3＋i|·|z|＝|1－2i|，所以9＋1 ·|z|＝1＋4 ， 所以|z|＝510 ＝2

. 2

2－8i 的最大值是( )

题4．已知复数z满足|z－i| ＝1，i为虚数单位，则z＋1＋i

A．5 B．6 C．7 D．8

【解析】选B.根据复数的几何意义，|z－i| ＝1表示以(0，1) 为圆心，1为半径的圆，

z＋2－8i ＝ 1＋i

(2－8i)(1－i)

＝|z－(3＋5i)| 表示Z点和(3，5)的距离，其最大值就是(0，1) z＋

(1＋i)(1－i)

和(3，5) 的距离加上半径，故为(3－0)2＋(5－1)2 ＋1＝6.

z

题5．已知复数z满足z＝－1＋3 i(其中i为虚数单位)，则13

A．－ ＋ i

2213

C． ＋ i

22

13

B．－ － i

22

|z|

＝( )

13

D． － i

22

【解析】选B.因为z＝－1＋3 i， 所以|z| ＝

z

(－1)2＋(3)2 ＝2，

因此，

－1－3i13

＝ ＝－ － i.

222|z|

题6．设复数z满足|z＋1|＝|z－i|，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( ) A．x＝0

B．y＝0 D．x＋y＝0

C．x－y＝0

【解析】选D.复数z满足|z＋1|＝|z－i|，

所以（x＋1）＋y ＝x＋（y－1） ，化简，得x＋y＝0.

题7．(多选)若复数z满足(z＋2) i＝3＋4i(i为虚数单位)，则下列结论正确的有( )

2

2

2

2

．．

A．z的虚部为3 B．|z| ＝13 C．z的共轭复数为2＋3i

D．z在复平面内对应的点在第三象限 【解析】选BC.因为(z＋2) i＝3＋4i， 3＋4i

所以z＝ －2＝－3i＋2，

i

所以，复数z的虚部为－3，|z| ＝13 ，共轭复数为2＋3i，复数z在复平面对应的点在第四象限．

2

题8．(多选)下面是关于复数z＝ (i为虚数单位)的命题，其中真命题为( )

．．－1＋iA．|z|＝2

B．z＝2i

2

C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1

2

【解析】选BD.因为z＝

－1＋i2（－1－i）

＝ ＝－1－i， （－1＋i）（－1－i）所以|z|＝2 ，A错误；

z＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，C错误；z的虚部为－1，D正确． 题9．(多选)已知z1与z2是共轭虚数，以下4个命题一定正确的是( )

2

．．

2

A．z1 <|z2| C．z1＋z2∈R

2

B．z1z2＝|z1z2|

z1

D． ∈R

z2

2

【解析】选BC.z1与z2是共轭虚数，设z1＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，则z2＝a－bi(a，b∈R).z1 ＝a－b＋2abi，|z2|＝a＋b不能比较大小，因此A不正确；z1z2＝(a＋bi)(a－bi)＝a＋b，z1a＋bi（a＋bi）所以|z1z2|＝a＋b，B正确；z1＋z2＝2a∈R，C正确； ＝ ＝ ＝

z2a－bi（a－bi）（a＋bi）

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a－b2ab22 ＋22 i不一定是实数，因此D不一定正确． a＋ba＋b

题10．已知(1－i) z＝2＋i，其中i是虚数单位，则复数z的模为________．

22

(2＋i)(1＋i)1＋3i132＋i【解析】(1－i) z＝2＋i⇒z＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i，

1－i222(1－i)(1＋i)

所以|z| ＝

10

2

12＋32 ＝10 . 222

答案：

2－mi2－mi 2 021＝________．

题11．已知i是虚数单位，m∈R，且 是纯虚数，则1＋i2＋mi2－mi（2－mi）·（1－i）（2－m）－（2＋m）i【解析】 ＝ ＝ ，

1＋i（1＋i）·（1－i）22－mi

因为 是纯虚数，所以有m＝2，

1＋i所以＝－i

2－2i 2 021＝1－i 2 021＝－i（i＋1） 2 021＝(－i)2021

1＋i1＋i2＋2i

2 021

＝－i

505×4＋1

＝－i.

答案：－i

题12．如果复数z＝(m＋i) (1＋mi)是实数，则实数m＝

2

________，|z－i|＝________．

【解析】由题意可得，(m＋i) (1＋mi)＝m－m＋(m＋1)i，因为复数(m＋i) (1＋mi)是

2

2

3

2

实数，所以m＋1＝0，解得m＝－1，所以z＝2，|z－i|＝|2－i|＝5 . 答案：－1

5

3

题13．设z 为复数z的共轭复数，满足z－z(1)若z为纯虚数，求z；

|| ＝2

3 .

(2)若z－z为实数，求|z| .

【解析】(1)设z＝bi，b∈R，则z ＝－bi， 因为z－z

2|| ＝2

3 ，

则|2bi| ＝23 ，即|b| ＝3 ， 所以b＝±3 ，所以z＝±3 i.

(2)设z＝a＋bi，(a，b∈R) ，则z ＝a－bi， 因为z－z

|

2| ＝2

3 ，

则|2bi| ＝23 ，即|b| ＝3 .

z－z＝a＋bi－(a－bi) ＝a－a＋b＋(b＋2ab) i.

2

2

2

因为z－z为实数，所以b＋2ab＝0. 1

因为|b| ＝3 ，所以a＝－ ，

2所以|z| ＝

2－12＋(±3)2 ＝13 . 22

6－4mi

题14．已知复数z＝ (m∈R，i是虚数单位).

1＋i(1)若z是纯虚数，求实数m的值；

(2)设z 是z的共轭复数，复数z －2z在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围． 【解析】(1)z＝

(6－4mi)(1－i)

＝3－2m－(3＋2m) i，

(1＋i)(1－i)3－2m＝03

因为z为纯虚数，所以 ，解得m＝ . 23＋2m≠0

(2)因为z 是z的共轭复数， 所以z ＝3－2m＋(3＋2m) i， 所以z －2z＝2m－3＋(9＋6m) i.

因为复数z －2z在复平面上对应的点位于第二象限，

2m－3<033

所以 ，解得－ 0

题15．已知复数z1＝(a＋i) ，z2＝4－3i，其中a是实数．

2

(1)若在复平面内表示复数z1·z2的点位于第二象限，求a的取值范围； z1

(2)若 是纯虚数，a是正实数．

z2①求a；

z1z12z13z12 022

②求 ＋ ＋ ＋…＋ .

z2z2z2z2

【解析】(1)由题意可得z1＝(a＋i)＝a－1＋2ai，z1·z2＝(4a＋6a－4) ＋(3＋8a－3a) i，

2

2

2

2

因为复数z1·z2在复平面内对应的点位于第二象限，

4a＋6a－4<011所以 ，解得－ 323＋8a－3a>0

2

z1（a＋i）（a＋i）（4＋3i）

(2)①依题意得： ＝ ＝

z24－3i（4－3i）（4＋3i）＝

22

(a2＋2ai＋i2)（4＋3i）

4－（3i）

2

2

2

22

2

3

4a＋8ai＋4i＋3ai＋6ai＋3i

＝

16－（－9）＝

(4a2－6a－4)＋(3a2＋8a－3)i

25

，

z1

因为 是纯虚数，

z2

4a－6a－4＝0则2 ， 3a＋8a－3≠0

2

1a＝2或a＝－2即，

1

a≠－3且a≠3

又因为a是正实数，则a＝2.

z14a－6a－4＋8ai＋3ai－3i②当a＝2时， ＝ ＝

z22516i＋12i－3i

＝i，

25

i(1－iz1z12z13z12 022232 0212 022

方法一： ＋ ＋ ＋…＋ ＝i＋i＋i＋…＋i＋i＝

z2z21－iz2z2i（1－i）2i2i（1＋i） ＝ ＝ ＝i(1＋i)＝－1＋i.

1－i1－i（1－i）（1＋i）方法二：因为i＋i＋i＋i＝0，

z12 022z1z12z13所以 ＋ ＋ ＋…＋ z2z2z2z2

1

2

3

4

2

2 022

2

2

)

＝

＝(i＋i＋i＋i)＋(i＋i＋i＋i)＋…＋i＝i＋i＝－1＋i.

2

123456782 021

＋i

2 022

2＋4i

题16．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，存在实数t使a－bi＝ －3ati成立．

t(1)求证：2a＋b为定值；

(2)若|z－2|2＋4i

【解析】(1)因为存在实数t使a－bi＝ －3ati成立，

t所以ta－tbi＝2＋(4－3at)i，且t≠0，

ta＝2，所以 2

－tb＝4－3at，

2

24

所以－b· ＝4－3a·2 ，

aa即－2b＝4a－12， 化简可得2a＋b＝6， 即2a＋b为定值．

(2)若|z－2|0，且（a－2）＋（6－2a） 2

2222222

2

1236

5a－＋ ，a∈(2，5)，

55

2

2

363612当a∈(2，5)时，5a－ ＋ ∈，41 ，

555所以|z|的取值范围为

65，41 . 5