2018学年高中数学北师大版选修4-4学案：1.2.1 极坐标

1.了解极坐标系，理解极坐标的概念.(重点) 2.能在极坐标系中用极坐标判定点的位置.(难点) 3.能进行点坐标和极坐标的互化.(易错易混点)

[基础·初探]

教材整理 极坐标系与极坐标 1.极坐标系的概念

如图1-2-1所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系.

图1-2-1

2.极坐标的概念

对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ).

特别地，当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值. 3.点与极坐标的关系

一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R).和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数

种表示.

如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)极轴是以极点为端点的一条射线.( ) (2)极角θ的大小是唯一的.( )

π5π

(3)点3，6与点3，6是同一个点.( )



【解析】 (1)√ 极轴是以极点为端点的一条射线.

(2)× 因为极角是以极轴为始边，终边是过极点与目标点的射线，可正、可负，相差2kπ.

(3)× 因为极角不相差2π的整数倍，故不表示同一个点. 【答案】 (1)√ (2)× (3)×

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

[小组合作型]

根据点的位置确定点的极坐标 π

2， 设点A3，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于

极轴、直线l、极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,0<θ≤2π).

【精彩点拨】 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值. 5

【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为B2，3π.

2

关于直线l的对称点为C2，3π.

4π2，关于极点O的对称点为D. 3

四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2为半径的圆上.

1.点的极坐标不是唯一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的.

2.写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序.

[再练一题]

1.若使正六边形的一个顶点为极点且边长为a，极轴通过它的一边，试求正六边形各顶点的极坐标.

【导学号：12990004】

【解】 建立如图所示的极坐标系，则正六边形各顶点的极坐标为：

πππ2

A(0,0)，B(a,0)，C3a，6，D2a，3，E3a，2，Fa，3π.



极坐标确定点的位置 5π6， 已知点A的极坐标是，分别在下列给定条件下，画出点A关于3

极点O的对称点A′的位置，并写出A′的极坐标：

(1)ρ＞0，－π＜θ≤π； (2)ρ＜0,0≤θ＜2π； (3)ρ＜0，－2π＜θ≤0.

【精彩点拨】 本题以极坐标系中点的对称为载体，主要考查极坐标系中点的极坐标的确定，同时考查应用极坐标系解决问题的能力.

【自主解答】 如图所示， |OA|＝|OA′|＝6， 2π

∠xOA′＝3，

5π

∠xOA＝3，即A与A′关于极点O对称，由极坐标的定义知： 2π

(1)当ρ＞0，－π＜θ≤π时，A′点的坐标为6，3；

5π

(2)当ρ＜0,0≤θ＜2π时，A′点的坐标为－6，3；

π

(3)当ρ＜0，－2π＜θ≤0时，A′点的坐标为－6，－3.



由极坐标确定点的位置的步骤： (1)取定极点O；

(2)作方向为水平向右的射线Ox为极轴；

(3)以极点O为顶点，以极轴Ox为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox确定出极角的终边；

(4)以极点O为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置.

[再练一题]

2.在同一个极坐标系中，画出以下各点： π3π9

1，2，π3，－4，A4，B，C，D. 244π【解】 如图所示.

[探究共研型]

极坐标系的建立及应用 探究1 建立极坐标系需要哪几个要素？这几个要素间有什么关系？ 【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径ρ表示点M与极点O的距离|OM|，因此ρ≥0.但必要时，允许ρ＜0.

探究2 为什么点的极坐标不唯一？能用三角函数的概念解释吗？

【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z).

某大学校园的部分平面示意图如图1-2-2所示.

图1-2-2

用点O，A，B，C，D，E，F分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0)).

【精彩点拨】 解答本题先选定极点作极轴，建立极坐标系，再求出各点的极径和极角，即可得出各点的极坐标.

【自主解答】 以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示.

由|OB|＝600 m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，得

|AB|＝300 m，|OA|＝3003 m， 同样求得|OD|＝2|OF|＝3002m， 所以各点的极坐标分别为

ππ

O(0,0)，A(3003，0)，B600，6，C300，2，

3π3π

3002，1502，D，E(300，π)，F. 44

在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在ρ＞0，θ∈[0,2π)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的.

[再练一题]

π

3.在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A2 ，3，B(2，π)，

5π

C2，3. 

(1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积.

π5π

【解】 (1)如图所示，由A2，3，B(2，π)，C2，3得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，

2π

∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝3. ∴△AOB≌△BOC≌△AOC， ∴AB＝BC＝CA， 故△ABC为等边三角形.

π3

(2)由上述可知，AC＝2OAsin 3＝2×2×2＝23， 3

∴S△ABC＝4×(23)2＝33.

[构建·体系]

π

1.在极坐标系中与点P2，3表示同一点的是( )

π

A.－2，3 4π

C.－2， 3 

π

B.2，－3 π

D.－2，－3 

【解析】 在极坐标系中将点P确定，再逐个验证知C正确. 【答案】 C

5π

2.已知极坐标平面内的点P2，－3，则P关于极点的对称点的极坐标为

( )

π

2， A.

32π

C.2，3 

π

2，－B. 32π

D.2，－3 

5π2π

【解析】 点P2，－3关于极点的对称点的极坐标为2，－3.

【答案】 D

4ππ

3.若A3，3，B5，6，O为极点，则△AOB的面积为________.

π1514

【解析】 S△AOB＝2×3×5×sin3π－6＝4. 15

【答案】 4 4.关于极坐标系的下列叙述： ①极轴是一条射线；

②极点的极坐标是(0,0)； ③点(0,0)表示极点；

π5π

④点M4，4与点N4，4表示同一个点.

其中，叙述正确的序号是________.

【导学号：12990005】

【解析】 设极点为O，极轴就是射线Ox，①正确；极点O的极径ρ＝0，极角θ是任意实数，极点的极坐标应为(0，θ)，②错误；给定极坐标(0,0)，可以在极π

坐标平面内确定唯一的一点，即极点，③正确；点M与点N的极角分别是θ1＝，

45π

θ2＝4，二者的终边互为反向延长线，④错误.

【答案】 ①③

5.已知边长为2的正方形ABCD的中心在极点，且一组对边与极轴Ox平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π).

【解】 如图所示，由题意知|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝2， π3π∠xOA＝4，∠xOB＝4， 5π7π

∠xOC＝4，∠xOD＝4.

π3π5π7π∴正方形的顶点坐标分别为A2，4，B2，4，C2，4，D2，4.



我还有这些不足：

(1) (2) 我的课下提升方案：

(1) (2)