省西安市碑林区西北工大附中
2019-2020学年陕西省西安市碑林区西北工大附中 八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）5的平方根是（）
A．B．﹣C．±D．±25
2．（3分）下列各组数为边长的三角形中，能够成直角三角形的是（）A．2，3，4B．5，12，13C．D．，，
3．（3分）下列计算结果正确的是（）
A．+＝B．3﹣＝3C．2×3＝6D．÷＝2 4．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（a﹣1，3+a）在y轴上，则点A的坐标为（）A．（0，﹣4）B．（0，﹣2）C．（0，4）D．（4，0）
5．（3分）若点P（m，n）满足正比例函数y＝﹣x，则下列各式正确的是（）A．2m+3n＝0B．2m﹣3n＝0C．3m+2n＝0D．3m﹣2n＝0 6．（3分）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（）
A．1.2米B．1.5米C．2.0米D．2.5米
7．（3分）已知点（x1，y1），（x2，y2）在一次函数y＝kx+k的图象上，当x1＜x2时，y1＞y2，则一次函数y＝kx+k的图象大致是（）
A．B． C．D．
8．（3分）一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动．快车离乙地的路程y1（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系，如图中线段AB所示，慢车离乙地的路程y2（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系，如图中线段OC所示，则快、慢车相距225km时，行驶的时间x是（）
A．1h B．3h C．1h或3h D．2h或4h
9．（3分）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9cm，BC＝6cm，BF＝5cm，点M在棱AB上，且AM＝3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（）
A．10cm B．cm C．（6+）cm D．9cm 图象分别交x、y轴于点A、
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣2的B，直线BC与轴正半轴交于点C，若∠ABC＝45°，则直线BC的函数表达式是（）
A．y＝3x﹣2B．y＝x﹣2C．y＝x﹣2D．y＝﹣x﹣2 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11．（3分）在实数中，无理数是．
12．（3分）如果点A（x，y）满足+|y﹣3|＝0，则点A在第象限．
13．（3分）若直线l经过点（0，4），且与直线y＝3x+1平行，则直线l的表达式为．14．（3分）已知关于x、y的方程x a﹣3﹣2y a+b﹣3＝5是二元一次方程，则2a﹣b的立方根是．
15．（3分）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形纸片折叠，使点D 与点B重合，折痕为EF，求△BEF的面积为：．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点E是△ABC内一点，且∠BEC＝90°，连接AE，则线段AE的最小值为．
三、解答题（共7小题，计52分，解答要写出过程） 17．（6分）计算： （1）； （2）．
18．解下列方程组： （1）； （2）．
19．（6分）△ABC在平面直角坐标系中如图所示．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标． （2）作出△ABC向右平移6个单位后的△A2B2C2，并写出A2的坐标．
（3）作出△A1B1C1和△A2B2C2的对称轴l，并写出l与x轴的交点坐标．
20．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠ACD＝90°，BE⊥AC于E．（1）求证：BE＝AC；
（2）若AB＝10，CD＝6，求四边形ABCD的面积．
21．（8分）每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，王阿姨在“双11”到来之前准备在两家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子2条和原价均为600元/个的颈椎枕若干个，已知两家店铺在活动期间分别给子以下优惠；
A店铺：“双11”当天购买所有商品可以享受8折优惠； B店铺：买2条被子，可赠送1个颈椎枕．同时“双11”当天下单，还可立减160元；
设购买颈椎枕x（个）若王阿姨在“双11”当天下单，A，B两个店铺优惠后所付金额分别为y A（元）、y B（元）．
（1）试分别表示y A、y B与x的函数关系式；
（2）王阿姨准备在“双11”当天购买4个颈椎枕，通过计算说明在哪家店铺购买更省钱？22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，过点B（0，4）的直线AB与直线OC相交于点C （4，）．
（1）分别求出直线OC、直线AB的表达式；
（2）在直线BC上是否存在一点P，使得S△OCP＝S△OCB？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
23．（10分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，C 为AB中点．
（1）如图1，点A的坐标为，点B的坐标为，∠OAB＝； （2）如图2，若D是经过点A，且与y轴平行的直线上的一动点，求OD+CD的最小值；
（3）如图3，M是线段AB上一动点，以OM为边在OM下方作等边△OMN，连接CN，求ON+CN的最小值．
2019-2020学年陕西省西安市碑林区西北工大附中八年级（上） 期中数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）5的平方根是（）
A．B．﹣C．±D．±25
【分析】利用平方根定义即可得到结果． 【解答】解：5的平方根是±， 故选：C．
【点评】此题考查了平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．熟练掌握定义是解本题的关键．
2．（3分）下列各组数为边长的三角形中，能够成直角三角形的是（）A．2，3，4B．5，12，13C．D．，，
【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【解答】解：A、∵22+32＝13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵52+122＝169＝132，∴能够构成直角三角形，故本选项符
合题意；
C、∵（）2+（）2＝7≠（）2，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵（）2+（）2＝≠（）2，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．（3分）下列计算结果正确的是（）
A．+＝B．3﹣＝3C．2×3＝6D．÷＝2【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）与不是同类二次根式，故不能合并，故A不正确．
（B）原式＝2，故B错误． （C）原式＝6×2＝12，故C错误． （D）原式＝＝2，故D正确． 故选：D．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
4．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（a﹣1，3+a）在y轴上，则点A的坐标为（）A．（0，﹣4）B．（0，﹣2）C．（0，4）D．（4，0）
【分析】首先由已知点A（a﹣1，3+a）在y轴上，则横坐标为0，即a﹣1＝0，求出a，再代入3+a，求出纵坐标．
【解答】解：已知点A（a﹣1，3+a）在y轴上， ∴a﹣1＝0， 解得a＝1， ∴3+a＝3+1＝4，
所以点A的坐标为（0，4）． 故选：C．
【点评】此题考查的知识点是点的坐标，关键是由已知明确横坐标为0，求出a，再求出纵坐标．
5．（3分）若点P（m，n）满足正比例函数y＝﹣x，则下列各式正确的是（）A．2m+3n＝0B．2m﹣3n＝0C．3m+2n＝0D．3m﹣2n＝0
【分析】将点P的坐标代入解析式后变形即可确定正确的选项． 【解答】解：∵点P（m，n）满足正比例函数y＝﹣x， ∴n＝﹣m，
两边同时乘以3得：3n＝﹣2m， 移项得：3n+2m＝0， 故选：A．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是代入后正确的变形，难度不大．6．（3分）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（）
A．1.2米B．1.5米C．2.0米D．2.5米
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米， ∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．
7．（3分）已知点（x1，y1），（x2，y2）在一次函数y＝kx+k的图象上，当x1＜x2时，y1＞y2，则一次函数y＝kx+k的图象大致是（）
A．B． C．D．
【分析】由当x1＜x2时，y1＞y2可得出y随x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出k＜0，再利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y＝kx+k的图象经过第二、
三、四象限，对照四个选项即可得出结论． 【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＞y2， ∴y随x的增大而减小， ∴k＜0，
∴一次函数y＝kx+k的图象经过第二、三、四象限． 故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＜0?y＝kx+b的图象在二、三、四象限”是解题的关键．
8．（3分）一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动．快车离乙地的路程y1（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系，如图中线段AB所示，慢车离乙地的路程y2（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系，如图中线段OC所示，则快、慢车相距225km时，行驶的时间x是（）
A．1h B．3h C．1h或3h D．2h或4h
【分析】根据题意结合图象可分别求出快车与慢车的速度，再根
据题意列方程解答即可．【解答】解：由题意可知，甲乙两地的距离为450千米，
快车的速度为：450÷3＝150（km/h）， 慢车的速度为：450÷6＝75（km/h），
由题意得：（150+75）x＝450﹣225或75x＝225， 解得x＝1或3． 故选：C．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
9．（3分）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9cm，BC＝6cm，BF＝5cm，点M在棱AB上，且AM＝3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（）
A．10cm B．cm C．（6+）cm D．9cm 出MN的长即可．【解答】解：如图1，
∵AB＝9cm，BC＝6cm，BF＝5cm， ∴BM＝9﹣3＝6，BN＝5+3＝8， ∴MN＝＝10； 如图2，
∵AB＝9cm，BC＝GF＝6cm，BF＝5cm， ∴PM＝9﹣3+3＝9，NP＝5， ∴MN＝＝， ∵10＜，
∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为10． 故选：A．
【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求
【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，直线BC与轴正半轴交于点C，若∠ABC＝45°，则直线BC的函数表达式是（）
A．y＝3x﹣2B．y＝x﹣2C．y＝x﹣2D．y＝﹣x﹣2【分析】根据已知条件得到A（1，0），B（0，﹣2），求得OA＝1，OB＝2，过A作AF ⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的性质得到AE ＝OB＝1，EF＝OA＝1，求得F（3，﹣1），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组即可得到结论．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，则x＝1， ∴A（1，0），B（0，﹣2）， ∴OA＝1，OB＝2，
如图，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AB＝AF，
∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°， ∴∠ABO＝∠EAF， ∴△ABO≌△F AE（AAS）， ∴AE＝OB＝2，EF＝OA＝1， ∴F（3，﹣1），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b， ， ∴，
∴直线BC的函数表达式为：y＝x﹣2， 故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11．（3分）在实数中，无理数是．
【分析】根据有理数包括整数和分数，无理数包括无限不循环小数和开方开不尽的数，找出其中无理数即可解答．
【解答】解：0，，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数；
3.14是有限小数，属于有理数； 无理数有． 故答案为：．
【点评】本题主要考查了无理数，掌握无理数包括无限不循环小数和开方开不尽的数，能快速准确的找出无理数．
12．（3分）如果点A（x，y）满足+|y﹣3|＝0，则点A在第二象限．【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，再利用点的坐标特点得出答案．
【解答】解：∵+|y﹣3|＝0， ∴x+2＝0，y﹣3＝0， 解得：x＝﹣2，y＝3， 故A（﹣2，3）在第二象限． 故答案为：二．
【点评】此题主要考查了非负数的性质以及点的坐标，正确得出x，y的值是解题关键．13．（3分）若直线l经过点（0，4），且与直线y＝3x+1平行，则直线l的表达式为y＝3x+4．【分析】根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，再把经过的点的坐标代入函数解析式计算求出b，从而得解．
【解答】解：设直线l的函数解析式为一次函数y＝kx+b， ∵它的图象平行于直线y＝3x+1， ∴k＝3，
∵直线l经过点（0，4）， ∴b＝4，
∴这个一次函数的解析式为y＝3x+4． 故答案为：y＝3x+4．
【点评】本题考查了两直线平行的问题，熟记两平行直线的解析式的k值相等是解题的关键．
14．（3分）已知关于x、y的方程x a﹣3﹣2y a+b﹣3＝5是二元一次方程，则2a﹣b的立方根是2．
【分析】根据二元一次方程的定义，可得x和y的指数分别都为1，列关于a、b的方程组，再求出a和b的值，代入可得到2a﹣b的值，最后根据立方根的定义可得结果．【解答】解：由题意，得，
解得，
∴2a﹣b＝2×4﹣0＝8， ∵，
∴2a﹣b的立方根是2． 故答案为：2．
【点评】本题考查了立方根以及二元一次方程的定义，二元一次
方程必须符合以下三个条件：方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．15．（3分）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形纸片折叠，使点D
与点B重合，折痕为EF，求△BEF的面积为：7.5．
【分析】由将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，易得△BEF是等腰三角形，即BE＝BF＝DE，然后设BF＝x，由勾股定理得方程32+（9﹣x）2＝x2，继而求得答案．
【解答】解：∵长方形纸片ABCD中，AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE，
∵将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF， ∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF， ∴∠BEF＝∠BFE， ∴BE＝BF，
设BF＝x，则BE＝DE＝BF＝x， ∵AB＝3，AD＝9， ∴AE＝AD﹣DE＝x﹣9，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2， ∴32+（9﹣x）2＝x2， 解得：x＝5，
∴S△BEF＝BF?AB＝×5×3＝7.5． 故答案为：7.5．
【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理的应用．注意利用方程思想求解是关键．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点E是△ABC内一点，且∠BEC＝90°，连接AE，则线段AE的最小值为﹣2．
【分析】找到BC的中点D，连结AD交BC为直径的圆于E，AE的长即为所求中点线段AE的最小值，先根据直角三角形斜边上的中线的性质可求DE，再根据勾股定理可求AD，再相减即可求解．
【解答】解：找到BC的中点D，连结AD交BC为直径的圆于E， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4， ∴BD＝DE＝BC＝2，
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AB＝3，BD＝2， ∴AD＝＝＝， ∴DE＝BC＝2，
∴线段AE的最小值为﹣2． 故答案为：﹣2．
【点评】考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，关键是理解找到BC的中点D，连结AD交BC为直径的圆于E，AE的长即为所求中点线段AE的最小值．
三、解答题（共7小题，计52分，解答要写出过程） 17．（6分）计算： （1）； （2）．
【分析】（1）首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．（2）应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1） ＝2﹣3+4﹣1﹣3
＝2﹣3． （2） ＝5+10﹣4 ＝5+6．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．解下列方程组： （1）； （2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：（1）， 把①代入②得：x+2x＝6， 解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝4， 则方程组的解为； （2），
①×4+②得：7x＝7， 解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝0， 则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．（6分）△ABC在平面直角坐标系中如图所示．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标（2，2）．
（2）作出△ABC向右平移6个单位后的△A2B2C2，并写出A2的
坐标（6，4）．（3）作出△A1B1C1和△A2B2C2的对称轴l，并写出l与x轴的交点坐标（3，0）．
【分析】（1）利用轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）依据平移的方向和距离，即可得到△ABC向右平移6个单位后的△A2B2C2；
（3）依据轴对称的性质，即可得到△A1B1C1和△A2B2C2的对称轴l．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为（2，2）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（6，4）； （3）如图所示，直线l即为所求，l与x轴的交点坐标为（3，0）．
故答案为：（2，2）；（6，4）；（3，0）．
【点评】本题主要考查了轴对称变换，平移变换等知识，平移作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
20．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠ACD＝90°，BE⊥AC于E．（1）求证：BE＝AC；
（2）若AB＝10，CD＝6，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据AAS可证△AEB≌△DCA，再根据全等三角形的性质即可求解；
（2）根据已知条件可求AD，再根据勾股定理可求AC，进一步得到BE，再根据三角形面积公式可求四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠ABE+∠BAE＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠DAE+∠BAE＝90°， ∴∠DAC＝∠ABE， 在△AEB与△DCA中， ，
∴△AEB≌△DCA（AAS）， ∴BE＝AC； （2）∵AB＝10， ∴AD＝AB＝10，
在Rt△ACD中，AC＝＝＝8， ∴BE＝AC＝8，
∴四边形ABCD的面积＝×AC×CD+×AC×BE＝×8×6+×8×8＝56．
【点评】考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，关键是根据AAS证明△AEB≌△DCA．
21．（8分）每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，王阿姨在“双11”到来之前准备在两家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子2条和原价均为600元/个的颈椎枕若干个，已知两家店铺在活动期间分别给子以下优惠；
A店铺：“双11”当天购买所有商品可以享受8折优惠；
B店铺：买2条被子，可赠送1个颈椎枕．同时“双11”当天下单，还可立减160元；
设购买颈椎枕x（个）若王阿姨在“双11”当天下单，A，B两个店铺优惠后所付金额分
别为y A（元）、y B（元）．
（1）试分别表示y A、y B与x的函数关系式；
（2）王阿姨准备在“双11”当天购买4个颈椎枕，通过计算说明在哪家店铺购买更省钱？
【分析】（1）根据两个店铺的优惠方案即可得出y A、y B与x的函数关系式；
（2）把x＝4代入（1）的结论解答即可．
【解答】解：（1）由题意得：y A＝1000×2×0.8+0.8×600x＝480x+1600；
y B＝1000×2+600（x﹣1）﹣160＝600x+1240； （2）当x＝4时，y A＝480×4+1600＝3520； y B＝600×4+1240＝3640； ∵3520＜3640， ∴在A店铺购买更省钱．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，理清题意，正确写出y A、y B与x的函数关系式是解答本题的关键．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，过点B（0，4）的直线AB与直线OC相交于点C （4，）．
（1）分别求出直线OC、直线AB的表达式；
（2）在直线BC上是否存在一点P，使得S△OCP＝S△OCB？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先求出△OCB和△AOC的面积，进而求出△OCP的面积，根
据S△OCP＝S△OP A﹣S
或S△OCP＝S△OP A+S△OAC即可求出点P的纵坐标，再代入直线解析式中即可得出结△OAC
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