名师指导：2012考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学(八)

之高等数学（八）

万学海文

一、不等式的证明

证明：f(x)g(x),xa，这个问题等价于F(x)f(x)g(x)0,xa.

不等式的证明经常会出现在大题中，主要方法如下 1.单调性； 2.最大最小值； 3.拉格朗日中值定理； 4.泰勒定理. 【例1】设常数bab,证明当x0时, 4fx2x33abx26abxab20

(1)选题依据：导数研究函数的形态 . (2)讲解过程：

1)分析：证明不等式,一般可以用单调性来证明.. 2)书写： 证明：由bab知,ba0, 4 fx6x26abx6ab,令fx0,得xa,xb. 当x0,a时,fx0,所以函数单调递增,因此fxf00, 当xa,b时,fx0,所以函数单调递减,因此fxfb0, 当xb时,fx0,所以函数单调递增,因此fxfb0. 综上,函数fx2x33abx26abxab20.

b2(ba) (0ab) aba【例2】求证: ln证：只要证(ba)(lnblna)2(ba)

令 f(x)(xa)(lnxlna)2(xa) x[a, b]

xa1axa2; f(x)220 xxxx f(x)(lnxlna) f(x)单调增，且f(a)0  f(x)0  f(x)单调增且

f(a)0  f(x)0

即ln二

b2(ba). aba1.存在性： (1) 零点定理； (2) 罗尔定理.

2.根的个数的讨论：单调性＋零点定理． 【例1】试讨论方程lnxx10的实根个数. e解 令f(x)lnxx1 ef(x)11，令f(x)0 得 xe. xe当x(0,e)时，f(x)0，f(x)单调增.

当x(e,)时，f(x)0，f(x)单调减.

又f(e)10

x0limf(x)，limf(x)

x则f(x)在(0,e)和(e,)内各有一个零点，故原方程有两个实根。

【例2】试确定方程xaex(a0)实根个数.

解 将原方程变形得xexa0

令 f(x)xexa(x0)

f(x)exxex(1x)ex

令 f(x)0，得x1.

当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调增.

当x(1,)时，f(x)0，f(x)单调减.

x0limf(x)a0，limf(x)lim(xxxa)a0 exf(1)1a则 e1时，原方程有两个实根. e1) 当a2) 当a1时，原方程有唯一实根. e1时，原方程无实根. e3) 当a