一、选择题（共10个小题）
1．已知点M（﹣2，6）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点一定在该图象上的是（ ） A．（2，6）
B．（﹣6，﹣2）
C．（3，4）
D．（3，﹣4）
2．方程2x2﹣8x﹣1＝0的解的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根
3．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是
B．没有实数根 D．有一个实数根
（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度
AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是（ ）
A．9m B．6m C．m D．m
4．下列各组图形中，一定相似的是（ ） A．两个矩形
B．都有内角是80°的两个等腰三角形 C．两个菱形
D．都有内角是100°的两个等腰三角形
5．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（ ）
A．2：3
2
B．3：2 C．4：5 D．4：9
6．方程x﹣4x﹣5＝0经过配方后，其结果正确的是（ ） A．（x﹣2）2＝1
B．（x+2）2＝﹣1
C．（x﹣2）2＝9
D．（x+2）2＝9
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为x＝1，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而增大 C．c＜0
D．x＝3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根
8．某商场从厂家以每件100元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为150元，则平均每天可销售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，每件商品售价为多少元时，商场日盈利可达到2100元？设每件商品售价为x元，下列方程正确的是（ ） A．（50﹣x）（30+2x）＝2100 C．（x﹣100）（330﹣2x）＝2100
B．（50﹣x）（30+x）＝2100
D．（x﹣100）（330﹣x）＝2100
9．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y＝（x＞0）、y＝（x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k值为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
10．如图，已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1＝1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y＝2x于点B1、B2、B3、…、Bn、
Bn+1，连接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．请写出一个图象分布在第二、四象限的反比例函数的解析式为 ．
12．已知3是关于x的方程x﹣5x+c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是 ． 13．把函数y＝x2﹣6的图象向右平移1个单位长度，所得图象的表达式为 ． 14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝
，则sinB的值为 ．
2
15．一组数据2018，2019，2020，2021，2022的方差是 ． 16．若m2+m﹣1＝0，n2+n﹣1＝0，且m≠n，则mn＝ ．
17．已知正比例函数y＝mx图象与反比例函数y＝图象的一个交点是A（3，1），则不等式mx＜的解集是 ．
18．如图，在矩形ABCD中，∠ACB＝30°，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE交BC于点F，连接AF，若AF＝
，线段DE的长为 ．
三、解答题（本题共4个题，19题每小题10分，第20、21、22每题10分，共40分，要有解题的主要过程） 19．（1）计算：
sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；
（2）解方程：（x﹣2）（x﹣3）＝12．
20．如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．求
证：△ABC∽△AED．
21．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为 度． （3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
22．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高
AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．
四、（本题满分12分）
23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当
其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动． （1）P，Q两点出发几秒后，可使△PBQ的面积为8cm2．
（2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．
五、（本题满分12分）
24．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，AD＝2BD，BC＝6． （1）求DE的长；
（2）连接CD，若∠ACD＝∠B，求CD的长．
六、（本题满分14分）
25．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点且与x轴交于点C，二次函数y＝ax+bx+4的图象经过点A、点C． （1）求一次函数和二次函数的函数表达式； （2）连接OA，求∠OAB的正弦值；
（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2
参考答案
一、选择题
1．已知点M（﹣2，6）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点一定在该图象上的是（ ） A．（2，6）
B．（﹣6，﹣2）
C．（3，4）
D．（3，﹣4）
【分析】点M（﹣2，6）在反比例函数y＝的图象上，可求出k＝2×（﹣6）＝﹣12，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，纵横坐标的乘积为定值﹣12，逐个点进行验证即可．
解：点M（﹣2，6）在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝﹣2×6＝﹣12， ∵3×（﹣4）＝12＝k，
∴（3，﹣4）也在反比例函数y＝的图象上， 故选：D．
2．方程2x﹣8x﹣1＝0的解的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根
B．没有实数根 D．有一个实数根
2
【分析】根据根的判别式的值与零的大小关系即可判断． 解：依题意，得
△＝b﹣4ac＝64﹣4×2×（﹣1）＝72＞0， 所以方程有两不相等的实数根． 故选：A．
3．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是
（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度
2
AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是（ ）
A．9m B．6m C．m D．m
【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
解：在Rt△ABC中，BC＝3米，tanA＝1：∴AC＝BC÷tanA＝3∴AB＝故选：B．
4．下列各组图形中，一定相似的是（ ） A．两个矩形
B．都有内角是80°的两个等腰三角形 C．两个菱形
D．都有内角是100°的两个等腰三角形
【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 解：A、任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，A错误；不符合题意；
米， ＝6米．
；
B、都有内角是80°的两个等腰三角形，不一定相似，B错误；不符合题意； C、任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C错误；不符合题意； D、都有内角是100°的两个等腰三角形，一定相似，D正确，符合题意；
故选：D．
5．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9
【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC， ∴△A′B′C′∽△ABC．
∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9， ∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，
∴＝
故选：A．
6．方程x﹣4x﹣5＝0经过配方后，其结果正确的是（ ） A．（x﹣2）＝1
2
2
B．（x+2）＝﹣1
2
C．（x﹣2）＝9
2
D．（x+2）＝9
2
【分析】把常数项﹣5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方． 解：把方程x2﹣4x﹣5＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝5 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝5+4 配方得（x﹣2）＝9． 故选：C．
7．如图，抛物线y＝ax+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为x＝1，则下列结论中正确的是（ ）
2
2
A．a＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而增大 C．c＜0
D．x＝3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根
【分析】根据二次函数图象的开口方向向下可得a是负数，与y轴的交点在正半轴可得
c是正数，根据二次函数的增减性可得B选项错误，根据抛物线的对称轴结合与x轴的
一个交点的坐标可以求出与x轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，从而得解．
解：A、根据图象，二次函数开口方向向下，∴a＜0，故本选项错误；
B、当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误；
C、根据图象，抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，故本选项错误； D、∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），对称轴是x＝1，
设另一交点为（x，0）， ﹣1+x＝2×1，
x＝3，
∴另一交点坐标是（3，0），
∴x＝3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根， 故本选项正确． 故选：D．
8．某商场从厂家以每件100元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为150元，则平均每天可销售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，每件商品售价为多少元时，商场日盈利可达到2100元？设每件商品售价为x元，下列方程正确的是（ ） A．（50﹣x）（30+2x）＝2100 C．（x﹣100）（330﹣2x）＝2100
B．（50﹣x）（30+x）＝2100
D．（x﹣100）（330﹣x）＝2100
【分析】设每件商品售价为x元，则每天可销售[30+2（150﹣x）]件，根据每日的总利润＝每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 解：设每件商品售价为x元，则每天可销售[30+2（150﹣x）]件， 依题意，得：（x﹣100）[30+2（150﹣x）]＝2100， 即（x﹣100）（330﹣2x）＝2100． 故选：C．
9．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y＝（x＞0）、y＝（x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k值为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
【分析】连接OC、OB，如图，由于BC∥x轴，根据三角形面积公式得到S△ACB＝S△OCB，再利用反比例函数系数k的几何意义得到•|3|+•|k|＝2，然后解关于k的绝对值方程可得到满足条件的k的值．
解：连接OC、OB，如图， ∵BC∥x轴， ∴S△ACB＝S△OCB，
而S△OCB＝•|3|+•|k|， ∴•|3|+•|k|＝2， 而k＜0， ∴k＝﹣1． 故选：A．
10．如图，已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1＝1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y＝2x于点B1、B2、B3、…、Bn、
Bn+1，连接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据图象上点的坐标性质得出点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出S1、S2、S3、…、Sn，进而得出答案．
解：∵A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1＝1，分别
过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y＝2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1， ∴依题意得：B1（1，2），B2（2，4），B3（3，6），…，Bn（n，2n） ∵A1B1∥A2B2， ∴△A1B1P1∽△A2B2P1， ∴
＝，
∴△A1B1P1与△A2B2P1对应高的比为：1：2， ∵A1A2＝1，
∴A1B1边上的高为：， ∴同理可得：∴Sn＝故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．请写出一个图象分布在第二、四象限的反比例函数的解析式为 y＝﹣（答案不唯一） ．
【分析】根据函数图象分布在第二、四象限可得出k＜0，进而可得出结论． 解：∵函数图象分布在第二、四象限， ∴k＜0，
∴反比例函数的解析式可以为：y＝﹣（答案不唯一）． 故答案为：y＝﹣（答案不唯一）．
12．已知3是关于x的方程x﹣5x+c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是 x＝2 ． 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝3代入原方程求得c值，然后利用因式分解法解方程即可求得方程的另一根．
解：∵3是关于x的方程x2﹣5x+c＝0的一个根， ∴32﹣5×3+c＝0，即﹣6+c＝0， 解得，c＝6；
2
＝××2＝，
＝，
．
＝，
∴由原方程，得
x2﹣5x+6＝0，即（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得，x＝2或x＝3， ∴方程的另一个根是x＝2； 故答案是：x＝2．
13．把函数y＝x2﹣6的图象向右平移1个单位长度，所得图象的表达式为 y＝（x﹣1）2
﹣6 ．
【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
解：把函数y＝x﹣6的图象向右平移1个单位长度，所得图象的表达式为y＝（x﹣1）﹣6，
故答案为：y＝（x﹣1）﹣6． 14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝
，则sinB的值为
．
2
2
2
【分析】作出草图，根据∠A的正切值设出两直角边分别为5k，12k，然后利用勾股定理求出斜边，则∠B的正弦值即可求出．
解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝∴设AC＝12k，BC＝5k， 则AB＝∴sinB＝故答案为：
＝．
＝
＝13k， ．
，
15．一组数据2018，2019，2020，2021，2022的方差是 2 ．
【分析】据平均数的计算公式先算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可． 解：这组数据的平均数是：（2018+2019+2020+2021+2022）÷5＝2020，
则这组数据的方差为：[（2018﹣2020）2+（2019﹣2020）2+（2020﹣2020）2+（2021
﹣2020）+（2022﹣2020）]＝2． 故答案为：2
16．若m2+m﹣1＝0，n2+n﹣1＝0，且m≠n，则mn＝ ﹣1 ． 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 解：由题意可知：m、n是方程x+x﹣1＝0的两根， ∴mn＝﹣1． 故答案为：﹣1．
17．已知正比例函数y＝mx图象与反比例函数y＝图象的一个交点是A（3，1），则不等式mx＜的解集是 0＜x＜3或x＜﹣3 ．
【分析】由正比例和反比例函数的对称性即可得出另一个交点坐标．根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 解：∵正比例函数y＝mx图象与反比例函数y＝图象的一个交点是A（3，1）， ∴另一交点B为（﹣3，﹣1）．
观察函数图象，发现：当x＜﹣3或0＜x＜3时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，
∴mx＜的解集是0＜x＜3或x＜﹣3 故答案为0＜x＜3或x＜﹣3．
2
22
18．如图，在矩形ABCD中，∠ACB＝30°，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE交BC于点F，连接AF，若AF＝
，线段DE的长为
．
【分析】由直角三角形的性质得出AD＝＝CD＝
CD，EF＝CF，CD＝CF，设CF＝x，则ABx，BC＝AD＝CD＝3x，得出BF＝BC﹣CF＝3x﹣x＝2x，在Rt△ABF中，由勾
），解得x＝＝
2
股定理得（3
x）2+（2x）2＝（，得出CF＝，EF＝，AD＝
，证明△ADE∽△CFE，得出，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB＝30°， ∴AD＝
CD，∠DCE＝60°，
∵DF⊥AC，
∴EF＝CF，∠CDF＝30°， ∴CD＝
CF，
x，BC＝AD＝
CD＝3x，
设CF＝x，则AB＝CD＝
∴BF＝BC﹣CF＝3x﹣x＝2x， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：（解得：x＝∴CF＝
，
，AD＝3
，
x）2+（2x）2＝（）2，
，EF＝
∵AD∥BC， ∴△ADE∽△CFE， ∴
＝
，即
＝
，
∴DE＝故答案为：
；
．
三、解答题（本题共4个题，19题每小题10分，第20、21、22每题10分，共40分，要
有解题的主要过程） 19．（1）计算：
sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；
（2）解方程：（x﹣2）（x﹣3）＝12．
【分析】（1）根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案； （2）根据因式分解法即可求出答案． 解：（1）原式＝＝
﹣3；
×
﹣4×+
×
（2）∵（x﹣2）（x﹣3）＝12， ∴（x﹣6）（x+1）＝0， ∴x＝6或x＝﹣1
20．如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．求证：△ABC∽△AED．
【分析】根据相似三角形的判定解答即可．
【解答】证明：∵AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5． ∴AE＝5，AD＝6， ∴∴
，，
，
∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△AED．
21．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为 108 度． （3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
【分析】（1）根据B的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数； （2）根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整，求得在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据可以计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名． 解：（1）56÷28%＝200， 即本次一共调查了200名购买者；
（2）D方式支付的有：200×20%＝40（人），
A方式支付的有：200﹣56﹣44﹣40＝60（人），
补全的条形统计图如右图所示，
在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×故答案为：108； （3）1600×
＝928（名），
＝108°，
答：使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．
22．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高
AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．
【分析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD＝CH+HD＝CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长． 解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°， ∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6， 在Rt△ACH中，tan∠CAH＝∴CH＝AH•tan∠CAH，
∴CH＝AH•tan∠CAH＝6tan30°＝6×∵DH＝1.5， ∴CD＝2
+1.5，
＝2
（米），
，
在Rt△CDE中，
∵∠CED＝60°，sin∠CED＝∴CE＝
＝（4+
，
）（米）， ）米．
答：拉线CE的长为（4+四、（本题满分12分）
23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动． （1）P，Q两点出发几秒后，可使△PBQ的面积为8cm．
（2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm，请写出S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．
2
2
【分析】（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm，则PB＝6﹣t，BQ＝2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ＝BP×BQ，列出表达式，解答出即可； （2）利用三角形面积公式表示S＝×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，利用二次函数的性质解题．
解：（1）设经过t秒后，△PBQ的面积等于8cm． ×（6﹣t）×2t＝8， 解得：t1＝2，t2＝4，
答：经过2或4秒后，△PBQ的面积等于8cm．
（2）依题意，得S＝×PB×BQ＝×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9， ∴在移动过程中，△PBQ的最大面积是9cm． 五、（本题满分12分）
24．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，AD＝2BD，BC＝6． （1）求DE的长；
（2）连接CD，若∠ACD＝∠B，求CD的长．
2
2
2
2
【分析】（1）设AD＝2x，BD＝x，所以AB＝3x，易证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可求出DE的长度；
（2）证明△ADE∽△ACD，利用相似三角形的性质即可求出得出的长度．
解：设AD＝2x，BD＝x， ∴AB＝3x， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴∴
＝，
，
，从而可求出CD∴DE＝4，
（2）∵∠ACD＝∠B， ∠ADE＝∠B， ∴∠ADE＝∠ACD， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACD， ∴
，
设AE＝2y，AC＝3y， ∴∴AD＝∴∴CD＝2
，
y，
， ．
六、（本题满分14分）
25．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点且与x轴
交于点C，二次函数y＝ax+bx+4的图象经过点A、点C． （1）求一次函数和二次函数的函数表达式； （2）连接OA，求∠OAB的正弦值；
（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2
【分析】（1）将A、B的坐标代入直线AB的解析式中，即可得出所求，代入抛物线的解析式中，可求出a，b的值，也就确定了抛物线的解析式；
（2）过O作OH⊥BC，可得到OB＝OC，且OC与OB垂直，得到三角形OBC为等腰直角三角形，利用勾股定理求出BC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出
OH的长，再由A与O的坐标，求出AO的长，在直角三角形AOH中，利用锐角三角函数
定义即可求出∠OAB的正弦值；
（4）由三角形BOC为等腰直角三角形，得到BH＝OH，在直角三角形AOH中，由AO与OH的长，利用勾股定理求出AH的长，由AH﹣BH求出AB的长，可得出D在C的右侧，利用邻补角定义求出∠OBA＝∠DCB＝135°，根据对应边成比例分两种情况考虑，分别求出
CD的长，由C的横坐标即OC的长求出OD的长，即可确定出满足题意D的坐标．
解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点， ∴﹣5＝﹣k+b，b＝﹣4，k＝1， ∴一次函数解析式为：y＝x﹣4， ∵一次函数y＝x﹣4与x轴交于点C， ∴y＝0时，x＝4， ∴C（4，0），
∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A（﹣1，﹣5）、点C（4，0），
∴，
解得a＝﹣2，b＝7，
∴二次函数的函数表达式为y＝﹣2x+7x+4； （2）过O作OH⊥BC，垂足为H，
2
∵C（4，0），B（0，﹣4），
∴OB＝OC＝4，即△BOC为等腰直角三角形， ∴BC＝∴OH＝BC＝2
＝，
， ；
＝4
，
由点O（0，0），A（﹣1，﹣5），得：OA＝在Rt△OAH中，sin∠OAB＝（3）存在，
＝
＝
由（2）可知，△OBC为等腰直角三角形，OH＝BH＝2在Rt△AOH中，根据勾股定理得：AH＝∴AB＝AH﹣BH＝
，
＝
，
＝3
，
∴当点D在C点右侧时，∠OBA＝∠DCB＝135°， ①当
，即
时，解得CD＝2，
∵C（4，0），即OC＝4， ∴OD＝OC+CD＝2+4＝6， 此时D坐标为（6，0）； ②当
，即
时，
解得CD＝16，
∵C（4，0），即OC＝4，∴OD＝OC+CD＝16+4＝20， 此时D坐标为（20，0），
综上所述，若△BCD与△ABO相似，此时D坐标为（6，0）或（20，0）．
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