知识讲解 机械能复习与巩固 基础

编稿：周军 审稿：吴楠楠

【学习目标】

1.做功的计算方法。

2.动能定理的内容及其应用

3.机械能守恒定律内容及其与其他运动形式的综合应用 4.能量守恒定律及应用 【知识网络】

【要点梳理】 要点一、功 要点诠释： 1．功的概念

（1）定义：物体受到力的作用，并且在力的方向上发生了一段位移，我们说力对物体做了功。 （2）功的定义式：W=Flcosα

（3）功的单位：国际制单位是焦耳，符号J。 （4）功是标量，只有大小，没有方向。 2．关于总功的计算

一个物体往往同时在若干个力作用下发生位移，每个力都可能做功，它们所做的功产生的效果，即是总功产生的效果。

总功的计算一般有两个途径：

（1）对物体受力分析，求合力，再求合力做功——总功。

（2）对物体受力分析，确定每个力的方向（或反方向）上的位移，求出每个力所做的功，然后再求它们的代数和——总功。

要点二、功率 要点诠释： 1．物理意义

功率是表示做功快慢的物理量。所谓做功快慢的实质是物体（或系统）能量转化的快慢。 2．功率的大小

力做的功和做这些功所用时间的比值叫功率，即：P=这两种表达形式在使用中应注意： (1) PW=Fvcosα，其中α是力与速度间的夹角 tW是求一个力在t时间内做功的平均功率。 t(2)P= Fvcosα有两种用法：

①求某一时刻的瞬时功率。这时F是该时刻的作用力大小，v取瞬时值，对应的P为F在该时刻的瞬时功率；

②求某一段时间内的平均功率。当v为某段时间（位移）内的平均速度时，要求在这段时间（位移）内F为恒力，对应的P为F在该段时间内的平均功率。 3.机车启动的两种方式

（1）恒定功率P0（一般以额定功率）的加速

依公式P=Fv可知，P不变，随着汽车速度v的增加，F只能逐渐减小；物体的加速度aFf，尽m管F减小，但F＞f，故汽车做加速度逐渐减小的加速运动，直到a=0；以后汽车做匀速直线运动。 当牵引力F=f（a=0）时，汽车具有最大速度vm（2）恒定牵引力的加速（即恒定加速度启动）

P0。 f

要点三、重力势能 要点诠释： 1.重力势能

EPmgh

2.重力做功跟重力势能变化的关系

重力势能的变化过程，也是重力做功的过程，二者的关系为WGEP1EP2mgh1mgh2，EP1表示

在初位置的重力势能，EP2表示在末位置的重力势能

（1）当物体由高处运动到低处时，WG0,Ep1Ep2，表明重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功。

（2）当物体由低处运动到高处时，WG0,Ep1Ep2，表明重力做负功时（即物体克服重力做功），重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功。

要点四、动能定理 要点诠释： 1.内容

力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这个结论叫动能定理。 另一表述：合外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。 2.表达式

WEK2EK11212mv2mv1 22W是外力所做的总功，EK1、EK2分别表示初、末状态的动能。

要点五、机械能守恒定律

要点诠释： 1.机械能

物体的动能和势能之和称为物体的机械能。（势能包含重力势能和弹性势能） 2.机械能守恒定律

（1）机械能守恒定律的内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变，这叫做机械能守恒定律。 3.机械能守恒定律的三种表达式

（1）守恒的观点：Ek1Ep1Ek2Ep2，即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和。 （2）转化的观点：Ek减Ep增，即动能的减少量等于势能的增加量。

（3）转移观点：EA减 EB增，即由A、B两个物体组成的系统中，A物体的机械能的减少量等于B物体机械能的增加量。

要点六、能量转化和守恒定律 要点诠释： 1.内容

能量既不会消灭，也不会创生，它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。 2.定律的表达式

E初E末；E增E减

3.注意

（1）某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量一定和增加量相等。 （2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 4.功是能量转化的量度。做了多少功就有多少能量发生了转化。

重力做功等于重力势能的变化； 合外力做功等于物体动能的变化。

【典型例题】

类型一、功的计算问题

例1、如图所示，两物体与水平地面间动摩擦因数相同，他们的质量相等，用力F1拉甲物体，用力F2

推乙物体。两种情况下两物体均做匀速运动，经相同位移，则F1和F2对物体所做的功W1和W2它们的关系为（ ） A．W1W2

F1 α B．W1W2

C．W1W2

D．无法比较

甲 α F2 乙 思路点拨：比较F1与F2做功的大小，根据做功的两个要素，力和力的方向上的位移，已知位移相等，只须比较F1与F2在水平位移方向上的分量。

解析：对甲、乙两物进行受力分析，如图所示。

∵两物体均做匀速运动，处于平衡态。 ∴F1cosf甲 F2cosf乙

N甲F1sinmg

N甲mgF1sin

N乙mgF2sin

∴N乙N甲 ∵相同 ∴f乙f甲

∴F2cosF1cos ∴W2W1

正确的选项：C 答案：C

总结升华：判断做功问题先要进行受力分析，注意力的方向与位移的关系，并分清哪些力做功哪些力不做功等问题。

例2、在足球比赛中，甲队队员在乙队禁区附近主罚定位球，并将球从球门右上角贴着球门射入．如图所示，已知球门高度为h，足球飞入球门时的速度为v，足球质量为m，不计空气阻力和足球的大小，则该队员对足球做的功为( )

A．

1211mv B．mghmv2 C．mgh D．mv2mgh 22212mv0，2 【答案】B

【解析】对被踢出去的足球运用动能定理，队员对足球做的功等于足球动能的变化，即W而足球在运动过程中，只有重力做功，足球机械能守恒，即

1212mv0mvmgh．故选B． 22举一反三

【高清课程：机械能复习与巩固 例题1】

【变式】如图所示，子弹水平射入木块，在射穿前的某时刻，子弹进入木块深度为d，木块位移为s，设子弹与木块相互作用力大小为f，则此过程中 木块对子弹做功Wf子= ；子弹对木块做功Wf木= ；一对作用力与反作用力f对系统做功Wf系= ；

答案：-f(s+d)；fs；-fd

类型二、机车启动问题

例3、质量为m＝4000 kg的卡车，额定输出功率为P＝60 kW．当它从静止出发沿坡路前进时，每行驶100 m，升高5 m，所受阻力大小为车重的0.1倍，g取10 m/s2，试求： (1)卡车能否保持牵引力为8000 N不变在坡路上行驶?

(2)卡车在坡路上行驶时能达到的最大速度为多大？这时牵引力为多大?

(3)如果卡车用4000 N的牵引力以12 m/s的初速度上坡，到达坡顶时，速度为4 m/s，那么卡车在这一段路程中的最大功率为多少？平均功率是多少？

【思路点拨】汽车能否保持牵引力为8000 N上坡要考虑两点：第一，牵引力是否大于阻力？第二，汽车若一直加速，其功率是否将超过额定功率，依P＝F·v解．

【解析】分析汽车上坡过程中受力情况如图所示：牵引力F，重力mg＝4×104 N，Ff＝kmg＝4×103 N，支持力FN，依题意sin5． 100

(1)汽车上坡时，若F＝8000 N，而Ffmgsin410N410341N6×103N，即20FFfmgsin，汽车将加速上坡，速度不断增大，其输出功率P＝Fv也不断增大，长时间后，将超

出其额定输出功率．所以，汽车不能保持牵引力为8000 N不变上坡．

(2)汽车上坡时，速度越来越大，必须不断减小牵引力保证输出功率不超过额定输出功率．当牵引力F＝Ff + mgsinθ时，汽车加速度为零，速度增大到最大，设为vmax，则

PFv(Ffmgsin)vmax，

vmaxP60103m/s10m/s， Ffmgsin6000 这时牵引力F＝Ff + mgsinθ＝6×103 N．

(3)若牵引力F＝4000 N，汽车上坡时，速度不断减小，所以，最初的功率即为最大， P＝Fv＝4000×12 W＝4.8×104 W． 整个过程中，平均功率为 PFv4000124W3.2104W． 2【总结升华：】本题考查了汽车牵引力恒定时功率的计算．不少同学在得到F(Ffmgsin)后，立即作出结论：汽车可以保持牵引力8000 N不变上坡，而没有考虑到汽车由于加速，速度不断增大，其功率不断增大，如果坡路足够长，这种运动方式是不允许的．

举一反三

【高清课程：机械能复习与巩固 例题2】

32

【变式1】一质量为4.010kg的汽车从静止开始以加速度a = 0.5m/s做匀加速直线运动，其发动机

2

的额定功率P = 60kW，汽车所受阻力为车重的0.1倍，g = 10m/s，求： (1)启动后2s末发动机的输出功率 (2)匀加速直线运动所能维持的时间 (3)汽车所能达到的最大速度

【答案】(1)6000W；（2）20s；（3）15m/s

【变式2】质量M210吨的机车，沿长为10米、坡度为0.015的斜面向上运动，受阻力为车重的0.003倍，列车上坡后速度由20m/s减到10m/s，求机车的平均功率？

2

（g取10米/秒）

解析：据题意，坡长10，坡度是0.015，坡高为15米。以机车为研究对象。

333 沿坡面上行：速度减小，动能损失，必然是外力做功的结果，车共受四个力，如图。其中两个力做负功，一个力做正功、一个力不做功。

设：机车的平均功率为P，发动机施于车的牵引力所做的功WFP·t 根据动能定理：W合Ek

就有：P·tmgh0.003mgl机车匀减速上行：∵v就有 t1212 mv2mv1

22

∴t ①

s t

s v

L2L

v1v2v1v22 ②

②代入①得：

1212mv2mv1mgh0.003mgL22P2Lv1v2121061022022106101030.0150.003 22100010209105瓦 答案：平均功率为9×10瓦特。 类型三、动能定理的应用

例4、（2015 玉溪一中期末考）如图所示装置由AB、BC、CD三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接，其中轨道AB、CD段是光滑的，水平轨道BC的长度s＝ 5 m，轨道CD足够长且倾角θ＝37°，A、D两点离轨道BC的高度分别为h1＝4.30 m、h2＝1.35 m．现让质量为m的小滑块自A点由静止释放．已知小滑块与轨道BC间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：

(1)小滑块第一次到达D点时的速度大小； (2)小滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔． (3) 小滑块最终停止的位置距B点的距离。 A h1 vD 5

B s θ h2 C D 【答案】（1）vc=6m/s （2）2s （3）1.4m 【解析】（1）小物块从A→B→C→D过程中，由动能定理得

将、、s、μ、g代入得：=3m/s

（2）小物块从A→B→C过程中，由动能定理得

将、s、μ、g代入得：=6m/s

=6m/s2 =1s

小物块沿CD段上滑的加速度大小=g小物块沿CD段上滑到最高点的时间

由于对称性可知小物块从最高点滑回C点的时间故小物块第一次与第二次通过C点的时间间隔

=1s =2s

，有：

（3）对小物块运动全过程利用动能定理，设小滑块在水平轨道上运动的总路程为

将

、μ、g代入得：

=8.6m

=1.4m

故小物块最终停止的位置距B点的距离为2s－

【总结升华】确定小物块的位置时，基本思路是，先用动能定理求出小物块在BC上滑行的总路程，再结合几何关系确定物体最终静止位置。

举一反三

【高清课程：机械能复习与巩固 例题7】

【变式1】一质量 m=2kg的物块，放在高h=2m的平台上，现受一水平推力F=10N ，由静止开始运动，物块与平台间的动摩擦因数μ=0.2。当物块滑行了s1= 5m 时撤去F ，继续向前滑行s2=5m 后飞出平台，不计空气阻力，求物块落地时速度的大小?

【答案】52m/s 【变式2】有一研究性学习小组研究了这样一个课题：人从高处跳下超过多大高度时容易造成骨折．他

8-42

们查得这样一些资料；一般成人的胫骨的极限抗压强度为p=1. 5×10 Pa，胫骨的最小面积S=3.2×10 m.

-2

假若一个质量为50 kg的人，从一定的高度直膝双足落地，落地时其重心又下降了约h=l. 0×10 m，请

2

你估算一下：当这个高度H超过多少米时，就可能导致胫骨骨折（计算结果保留两位有效数字，取g=10 m/s）．

解析：人的胫骨能承受的最大作用力

Fm2pS,F弹Fm，

由动能定理得F弹hmg(Hh),

解得H=1.9 m

3

【变式3】一辆汽车的质量是5×10 kg，发动机的额定功率为60 kW,汽车所受阻力恒为5 000 N，如

2

果汽车从静止开始以0. 5 m/s的加速度做匀加速直线运动，功率达到最大后又以额定功率运动了一段距离后汽车达到了最大速度，在整个过程中，汽车运动了125 m．问在这个过程中，汽车发动机的牵引力做功多少？

下面是甲、乙两位同学的解法：

甲同学：t2sa2125s22.36s 0.5WPt610422.361.34106J

乙同学：F=ma＋f=7500 N.

5

W=Fs=7 500×125 J =9. 375×10 J.

请对上述两位同学的解法做出评价，若都不同意请给出你的解法． 解析：甲、乙两位同学的解法都不正确． 甲同学把125 m全部当做匀加速直线运动的位移，求出运动时间t，这一步就错了，然后又用公式W=Pt来求牵引力做功，而汽车在做匀加速运动的过程中功率是逐渐变大的，这一步骤又错了．

而乙同学的做法中，第一步是正确的，但力F是汽车做匀加速运动时的牵引力，当汽车以额定功率行驶时，牵引力是变力，做功不能用W=Fs来计算．

P6104m/s12m/s 正确的解法是：汽车行驶的最大速度为vf5000根据动能定理得Wfs12mv0， 2W12mvfs9.85105J。 2类型四、功能关系

例5、（2016 东安二中模拟）如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ=30°，皮带在电动机的带动下，始终保持v0=2 m／s的速率运行。现把一质量m=10 kg的工件（可看做质点）轻轻放在皮带的底端，经时间t=1.9 s，工件被传送到h=1.5 m的高处，取g=10 m／s2。求：

（1）工件与皮带间的动摩擦因数；

（2）电动机由于传送工件多消耗的电能。

【解析】（1）由题意可知皮带长为s=h／sin30°=3 m

工件速度达到v0前，做匀加速运动的位移为s1v0t1 2工件速度达到v0后做匀速运动的位移为s―s1=v0(t―t1) 解得t1=0.8 s

工件的加速度为a=v0／t1=2.5 m／s2 工件受的支持力为N=mgcosθ

对工件应用牛顿第二定律，得μmgcosθ－mgsinθ=ma， 解得动摩擦因数为3 2 （2）当皮带空转时，电动机会消耗一定的电能。现将一工件置于皮带上，在摩擦力作用下，工件的动能和重力势能都要增加；另外滑动摩擦力做功还会使一部分机械能转化为热能，这两部分能量之和，就是电动机多消耗的电能。

在时间t1内，皮带运动的位移为s2=v0t1=1.6 m

工件相对皮带的位移为Δs=s2－s1=0.8 m

在时间t1内，皮带与工件的摩擦生热为Q=μmgcosθ·Δs=60 J 工件获得的动能为Ek12mv020J 2工件增加的势能为Ep=mgh=150 J

电动机多消耗的电能为W=Q+Ek+Ep=230 J

【点评】由功能关系知道电动机多消耗的电能都用来对系统做功了，而多做的功一定转化成了系统的能量，从题意中分析出系统增加的能量有物体的动能、重力势能和由于摩擦产生的热量，它们的和与多消耗的电能相等。 举一反三

【高清课程：机械能复习与巩固 例题2】

【变式】一质量为m的物体以某一速度从A点冲上一个倾角为30°的斜面，其运动的加速度为3g/4。这个物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这过程中（ ） A．物体的重力势能增加了3mgh/4 B．物体的机械能损失了mgh/2 C．物体的动能损失了mgh

D．物体的重力势能增加了mgh 【答案】BD

类型五、机械能、能量守恒问题

例6、如图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径r＝0.40 m，轨道在C处与动摩擦因数μ＝0.20的水平地面相切．在水平地面的D点放一静止的质量m＝1.0 kg的小物块，现给它施加一水平向左的恒力F，当它运动到C点时，撤去恒力F，结果小物块恰好通过A点而不对轨道产生作用力．已知CD间的距离s＝1.0 m，g取10 m/s2．求： (1)小物块通过A点时的速度大小；

(2)恒力F的大小．

【思路点拨】分析清楚物块在每一阶段的运动形式和适用的规律是关键。

2vA【解析】(1)小物块通过A点时，只有重力提供向心力，有mgm，解得vAgr2m/s．

r (2)小物块从C到A的过程，由机械能守恒定律，有 mg2r1212mvAmvC． 2212mvC，解得F＝12 N． 2 小物块从D到C的过程，由动能定理，有 (Fmg)s【总结升华】在解决这类问题时，首先要分清物体的运动过程，做好受力分析，把多过程分解为多个单过程，注意每个单过程的连接点。 举一反三

【变式】 如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连结，A的质量为4m，B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A沿斜面下滑S 距离后，细线突然断了。求物块B上升离地的最大高度H.

解析：对系统由机械能守恒定律

14mgssinmgs5mv2

222∴ vgs

5细线断后，B做竖直上抛运动，由机械能守恒定律

∴ H =s+0.2s=1.2 s

1mghmv22h0.2s