中考数学压轴题十大类型经典题目

中考数学压轴题⼗⼤类型⽬录

第⼀讲中考压轴题⼗⼤类型之动点问题1

第⼆讲中考压轴题⼗⼤类型之函数类问题7

第三讲中考压轴题⼗⼤类型之⾯积问题13

第四讲中考压轴题⼗⼤类型之三⾓形存在性问题19第五讲中考压轴题⼗⼤类型之四边形存在性问题25第六讲中考压轴题⼗⼤类型之线段之间的关系31第七讲中考压轴题⼗⼤类型之定值问题38

第⼋讲中考压轴题⼗⼤类型之⼏何三⼤变换问题44

第九讲中考压轴题⼗⼤类型之实践操作、问题探究50

第⼗讲中考压轴题⼗⼤类型之圆56

第⼗⼀讲中考压轴题综合训练⼀62

第⼗⼆讲中考压轴题综合训练⼆68

第⼀讲中考压轴题⼗⼤类型之动点问题

1.（中招吉林）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD

于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．从初始时刻开始，动点P，Q 分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A-B-C-E⽅向运动，到点E停⽌；动点Q沿B-C-E-D⽅向运动，到点D停⽌，

设运动时间为x s ，△P AQ 的⾯积为y cm 2，（这⾥规定：线段是⾯积为0的三⾓形）解答下列问题：（1） 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =92

s 时，y =_______ cm 2． （2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出154

y S 梯形ABCD时x 的值．

（4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对⾓线平

⾏的所有x 的值．

D C BAP QK E D CBA

2. （中招河北）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =50，AD =75，BC =135．点P 从点B 出发沿折线段BA -AD -DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB ⽅向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK ⊥BC ，交折线段CD -DA -AB 于点E ．点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停⽌运动，点Q 也随之停⽌．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长； （2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ ∥DC ？

（3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的⾯积为S ，分别求出点E 运动到CD 、DA 上时，S 与t 的关系式； （4）△PQE 能否成为直⾓三⾓形？若能，写出t 的取值范围；若不能，请说明理由．备⽤图

3. （中招河北）如图，在Rt ABC △中，∠C=90°，AB =50，AC =30，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，B C 的中点．点P 从点D出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA ⽅向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ，交折线BC -CA

于点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕⾏⼀周回到点D 时停⽌运动，点Q 也随之停⽌．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）．（1）D F ，两点间的距离是 ；

（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成⾯积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由；

（3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P ⼜恰好落在射线QK 上时，求t 的值；（4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值．

4. （中招⼭西太原）如图，在平⾯直⾓坐标系中，四边形OABC 是平⾏四边形．直线l 经过O 、C 两点．点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标GK QP F ED C BA备⽤图FE D C BA

为(11，4)，动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的⽅向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O -C -B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有⼀点到达终点时，另⼀点也随之停⽌运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒(0t )，△MPQ 的⾯积为S ． （1）点C 的坐标为________，直线l 的解析式为__________． （2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．

（3）试求题(2)中当t 为何值时，S 的值最⼤，并求出S 的最⼤值． （4）随着P 、Q 两点的运动，当点M 在线段CB 上运动时，设PM 的延长线与直线l 相交于点N ．试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三⾓形？请直接写出t 的值．yBCQlMPMlQ C B AO xy

5. （中招四川重庆）如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝23，点O 是AB 的中点，点P 在AB 的延长线上，且BP ＝3．⼀动点E 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 匀速运动，到达A 点后，⽴即以原速度沿AO 返回；另⼀动点F 从P 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线P A 匀速运动，点E 、F 同时出发，当两点相遇时停⽌运动．在点E 、F 的运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFGyxOA BCQlM PF E OPDCBAF E OP

D CBAF E OPDCBA

和矩形ABCD 在射线P A 的同侧，设运动的时间为t 秒（t ≥0）． （1）当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时，求运动时间t的值； （2）在整个运动过程中，设等边△EFG 和矩形ABCD 重叠部分的⾯积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应的⾃变量t 的取值范围；

（3）设EG 与矩形ABCD 的对⾓线AC 的交点为H ，是否存在这样的t ，使△AOH 是等腰三⾓形？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．备⽤图1备⽤图2

三、测试提⾼ 1．

（中招⼭东烟台）如图，在直⾓坐标系中，梯形ABCD 的底边AB在x 轴上，底边CD 的端点D 在y 轴上．直线CB 的表达式为41633y x =-+

，点A 、D 的坐标分别为（－4，0），（0，4）．动点P ⾃A 点出发，在AB 上匀速运动．动点Q ⾃点B 出发，在折线BCD上匀速运动，速度均为每秒1个单位．当其中⼀个动点到达终点时，它们同时停⽌运动．设点P 运动t （秒）时，△OPQ 的⾯积为S （不能构成△OPQ 的动点除外）．（1）求出点B 、C 的坐标；（2）求S随t变化的函数关系式；

（3）当t为何值时S有最⼤值？并求出最⼤值．

备⽤图

第⼆讲 中考压轴题⼗⼤类型之函数类问题

1. （中招浙江温州）如图，在平⾯直⾓坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标为（-4，0），点B 的坐标为（0，b ）(b ＞0)．P 是直线AB 上的⼀个动点，作PC ⊥x 轴，垂⾜为 C ，记点P 关于y 轴的对称点为P ′ (点P ′不在y 轴上)，连结P P ′，P ′A，P ′C ，设点P 的横坐标为a ． （1） 当b =3时，① 直线AB 的解析式；

② 若点P ′的坐标是（-1，m ），求m 的值；

（2）若点P 在第⼀象限，记直线AB 与P ′C 的交点为D ．当P ′D :DC =1:3时，求a 的值；

（3）是否同时存在a ，b ，使△P ′CA 为等腰直⾓三⾓形？若存在，请求出所有满⾜要求的a ，b 的值；若不存在，请说明理由．

yP'D B P

2. （中招武汉）如图，抛物线212y ax ax b =-+经过A （－1，0），C （2，32）两点，与x 轴交于另⼀点B ． （1）求此抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上⼀动点 (不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上移动，且∠MPQ =45°，设线段OP=x ，MQ =222

y ，求y 2与x 的函数关系式，并直接写出⾃变量x 的取值范围； （3）在同⼀平⾯直⾓坐标系中，两条直线x =m ，x =n 分别与抛物线交于点E ，G ，与(2)中的函数图象交于点F ，H ．问四边形EFHG 能否为平⾏四边形? 若能，求m ，n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．

备⽤图

3. (中招江苏镇江)在平⾯直⾓坐标系xOy 中，直线1l 过点A (1，0)且与y 轴平⾏，直线2l 过点B (0，2)且与x 轴平⾏，直线1l 与2l 相交于点P ．点E 为直线2l 上⼀点，反⽐例函数ky x

(k >0)的图象过点E 且与直线1l 相交于点F ．（1）若点E 与点P 重合，求k 的值；

（2）连接OE 、OF 、EF ．若k >2，且△OEF 的⾯积为△PEF 的⾯积2倍，求点E 的坐标；

（3）是否存在点E 及y 轴上的点M ，使得以点M 、E 、F 为顶点的三⾓形与△PEF 全等？若存在，求E 点坐标；若不存在，请说明理由．

4. （中招浙江⾈⼭)△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB =23．把△ABC 放在

平⾯直⾓坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O （如图），△ABC 可以绕点O 作任意⾓度的旋转． （1）当点B 在第⼀象限，纵坐标是62

时，求点B 的横坐标；

（2）如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴经过点C ，请你探究： ①当54a =，12b =-，355

c =-时，A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；

②设b =-2am ，是否存在这样的m 值，使A ，B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．

5. （湖北黄冈）已知⼆次函数的图象如图所⽰． （1）求⼆次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标；（2）若点N 为线段BM 上的⼀点，过点N 作x 轴的垂线，垂⾜为点Q ．当O y xCBA1 1 -1-1M AxyB C-12-2OO-22-1C B yxA MNQ

点N 在线段BM 上运动时(点N 不与点B ，点M 重合)，设OQ 的长为t ，四边形NQAC ⾯积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及⾃变量t 的取值范围；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△P AC 为直⾓三⾓形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）将△OAC 补成矩形，使得△OAC 的两个顶点成为矩形⼀边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这⼀边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程)．三、测试提⾼

1． （中招⼭东东营）如图所⽰，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐

标分别为(30-，)，(0，1)，点D 是线段BC 上的动点(与端点B 、C 不重合)，过点D 作直线12y x b =+交折线OAB 于点E ．

(1)记△ODE 的⾯积为S ．求S 与b 的函数关系式；O yxE DCB A

(2)当点E 在线段OA 上时，且tan ∠DEO =12．若矩形OABC 关于直线

DE 的对称图形为四边形1111O A B C ．试探究四边形1111O A B C 与矩形OABC 的重叠部分的⾯积是否发⽣变化，若不变，求出该重叠部分的⾯积；若改变，请说明理由．第三讲 中考压轴题⼗⼤类型之⾯积问题1. （中招辽宁⼤连）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （－1，0）、B （3，

0）、C （0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ．（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在⼀点Q ，使△QMB 与△PMB 的⾯积相等，若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第⼀象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在⼀点R ，使△RPM 与△RMB 的⾯积相等，若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．

2. （中招湖北⼗堰）如图，⼰知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，

0）和点 B ，与y 轴交于点C （0，-3）．y xMPOCBA

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图（1），⼰知点H（0，-1）．问在抛物线上是否存在点G（点G在y轴的左侧），使得S△GHC=S△GHA？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由：

（3）如图（2），抛物线上点D在x轴上的正投影为点E（﹣2，0），F 是OC的中点，连接DF，P为线段BD上的⼀点，若∠EPF=∠BDF，求线段PE的长．

3.（中招天津）在平⾯直⾓坐标系中，已知抛物线2=-+

y x bx c+与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为E．（Ⅰ）若2

c=，求此时抛物线顶点E的坐标；b=，3

（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满⾜S△BCE= S△ABC，求此时直线BC的解析式；（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC 中满⾜S△BCE=2S△AOC，且顶点E恰好落在直线43=-+上，求此时抛y x

物线的解析式．