2022年高考理数母题题源系列 专题03分段函数

【母题来源一】2022年高考北京理数

【母题原题】设函数f(x)x33x,xa2x,xa.

①若a0，则f(x)的最大值为______________； ②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________.

【答案】2，(,1).

考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.

【名师点睛】1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应依据每一段函数的解析式分别求解，但要留意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在争辩函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为争辩一些熟知的函数的单调性，因此把握一次函数、二次函数、幂函

数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的推断过程． 【母题来源二】 2022高考江苏卷

x 【母题原题】设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[1,1)上，f(x)a,1x0,2 其

5x,0x1,中aR. 若f(5)f(922) ，则f(5a)的值是 ▲ . 【答案】25

考点：分段函数，周期性质

【名师点睛】分段函数的考查方向留意对应性，即必需明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要留意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.

【命题意图】 这类问题主要考查分段函数的概念、分段函数的图象和性质，以及分段函数与其他学问，如方程、不等式等相互联系，意在考查考生的分类争辩思想、数形结合思想、转化与化归思考以及运算求解力量.

【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常基本以选择题、填空题的形式消灭，极个别状况下会消灭在解答题中.考查方向上主要有以下几种题型：（1）给出分段函数求值；（2）给出分段函数的函数值确定相应自变量的值或取值范围；（3）分段函数值域问题；（4）分段函数的单调性；（5）分段函数的奇偶性；（6）含参数分段函数的参数取值范围或值；（7）利用分段函数图象解题；（8）利用分段函数解决确定值函数或不等式；（9）分段函数的应用问题；（10）与分段函数相关的定积分；（11）与分段函数相关的数列问题.

【得分要点】分段函数是高考的热点问题，要对此类问题有更深的了解：

已知分段函数的最值求参数的取值范围的关键在于“对号入座”，即依据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式，留意取值范围的大前提，利用函数的单调性查找关于参数的不等式（组）.若能利用数形结合可加快求解的速度.

【学问链接】1、分段函数的定义域与值域——各段的并集

2、分段函数单调性的推断：先推断每段的单调性，假如单调性相同，则需推断函数是连续的还是断开的，假如函数连续，则单调区间可以合在一起，假如函数不连续，则要依据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

3、分段函数对称性的推断：假如能够将每段的图像作出，则优先接受图像法，通过观看图像推断分段函数奇偶性。假如不便作出，则只能通过代数方法比较fx,fx的关系，要留意x,x的范围以代入到正

确的解析式。

4、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并依据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要留意进行分类争辩

5、假如分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。

【易错警示】分段函数分析要留意的几个问题

（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，推断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。否则是断开的。例如：

fx2x1,x3x24,x3，将x3代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲

fx2x1,x3线，其性质便于分析。再比如

x21,x3中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。

（2）每一个含确定值的函数，都可以通过确定值内部的符号争辩，将其转化为分段函数。例如：

x13,xfxx13fx1，可转化为：

1x3,x1.

【母题1】已知函数f(x)2xa,x1，若logx1f(f(1))4，则a（ 2x,2 ）

A．16 B．15 C．2 D．23

【答案】B 【解析】f121a，当a0时，ff12f(1a)3a24，a230，不成立；

当a0，ff1f(1a)log21a4，得a150成立，所以a15，选B． 2 考点：分段函数与对数运算.

【母题2】设函数f(x)4x,x0,x2,x0,,若f[f(a)]f[f(a)1]，则实数a的取值范围为（ ）

A．(1,0] B．[1,0] C．(5,4] D．[5,4] 【答案】C

考点：分段函数的应用．

lgx,x0, 【母题3】设若f(x)fxa2(f(1))1，则a的值为（ ） 03tdt,x0, A．1 B．2 C．1 D．2 【答案】A

【解析】由于f1lg10,f0a03t2dtt3|a30a 所以由f(f(1))1得：a31a1，故选A． 考点：分段函数与定积分的应用．

 【母题4】已知函数f(x)|log2x|,0x2，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1x2x3sin(4x),2x10x4，且f(x(x2)(x42)1)f(x2)f(x3)f(x4)，则3xx的取值范围是（ ）

12 A．(4,16) B．(0,12) C．(9,21) D．(15,25) 【答案】B．

考点：奇函数的性质．

 【母题5】已知函数f(x)sin(2x)1，x0，的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实logax(a0，且a1)，x0数a的取值范围是（ ）

A.(0，555) B.(5，1)3，

C.(31) D.(0，33) 【答案】A

【解析】原函数在y轴左侧是一段正弦型函数图象，在y轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于y轴对称的点至少有3对，可将左侧的图象对称到y轴右侧，即ysin(x2)1(x0)，

应当与原来y轴右侧的图象至少有3个公共点，如图，a1不能满足条件，只有0a1.

y 0 1 3 5 x －1 －2

此时，只需在x5时，ylog5ax的纵坐标大于－2，即loga52，得0a5.

考点：分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数

 【母题6】设a,bR，已知函数yf(x)是定义域为R的偶函数， 当x0时，f(x)1x,0x22log16x．x2

若关于x的方程[f(x)]2af(x)b0有且只有7个不同实数根，则ba的取值范围是 ． 【答案】(45,18).

考点：1、函数与方程；2、分段函数；

 【母题7】已知函数fxx22xx0，若fxax，则a的取值范围是（ ）

lnx1x0A．,0 B．,1 C．[2,1] D．[2,0] 【答案】D

【解析】当x0时，fxx22x0恒成立，由fxax得，x22xax，整理得

x22ax0，由于fxx22ax0恒成立，f00，2a20，解得a2，

x0时，由于fx最小值是0，若fxax恒成立，满足ax0，即a0，同时满足以上两个

条件2a0，故答案为D

考点：1、一元二次不等式的应用；2、分段函数的应用

【母题8】已知函数f(x)x2x3,x1，则f(f(3)) ，f(x)的最小值是 ． lg(x21),x1 【答案】0，22-3.

【解析】f(f(3))f(1)0，当x1时，f(x)223，当且仅当x2时，等

号成立，当x1时，f(x)0，当且仅当x0时，等号成立，故f(x)最小值为223. 考点：分段函数

【母题9】已知函数f(x)x2(x0)x2(x0)， 若对任意的x[t,t2]，不等式f(xt)2f(x)恒成立，则实

数t的取值范围是 ． 【答案】[2,)

所以在x[t,t2]单调递增，所以要使x22txt20恒成立，等价于(t2)22t(t2)t20，即t2或t2（舍去）．

考点：分段函数．二次函数．

sinx,x0,2 【母题10】对于函数f(x)12f(x2),x(2,)，有下列4个结论：

①任取x1、x20,，都有f(x1)f(x2)2恒成立；

②f(x)2kf(x2k)(kN*)，对于一切x0,恒成立；

③函数yf(x)ln(x1)有3个零点； ④对任意x0，不等式f(x)2x恒成立． 则其中全部正确结论的序号是 ． 【答案】①③④

考点：1．分段函数的最值；2．数形结合思想．