八年级上数学教案

2020-10-24 来源：好走旅游网

第十一章全等三角形 11.1全等三角形

教学设计思想：本节主要学习一些概念和性质，通过大量生活中的图形的观察，让学生体会一些概念，经历重叠图形等过程通过小组讨论总结出全等图形的特征。

教学目标知识与技能

通过实例表述全等图形的概念和特征，并能找出全等图形；

能叙述全等三角形的定义及其相关概念，并能找出两个全等三角形的对应边和对应角；总结出全等三角形的性质，并能进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。过程与方法

通过全等三角形角有关概念的学习，提高对数学概念的辨析能力；经历找全等三角形的对应元素的过程，提高识图能力。情感态度价值观

通过感受全等三角形的对应美激发热爱科学勇于探索的精神；

把两个三角形变换其中一个的位置，使它们呈现各种不同位置，从中了解并体会图形变换的思想，逐步树立动态的研究几何图形的思想。

教学重、难点

重点：全等三角形的概念、性质。难点：对应边和对应角的确定。教学方法：启发式教学，学生探索为主课时安排：1课时教学过程设计（一）生活导入

我们身边经常看到“一模一样”的图形，比如同一版面的记念邮票，同一版面的人民币、用两张纸叠在一起剪出的两张窗花等，请大家举出这类图形的例子。

说明：通过一些生活中常见的图片，使学生感受到我们的生活中存在着大量相等的事物，引起学生的思考，激发学生的学习兴趣。让学生在举出实际例子以及对所举例子的辨析中获得对全等图形尽可能多的精确的感知。

（二）新课

问题1：几何中，我们把上述所例举的“一模一样”的图形叫做“全等形”，以下是描

述全等形的三种不同的说法，你认为哪种说法是恰当的？

（l）形状相同的两个图形叫全等形。（2）大小相等的两个图形叫全等形。（3）能够完全重合的两个图形叫全等形。

总结概念：全等形（ congruent figures ）：能够完全重合的两个图形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。做一做：

请你用两张半透明的薄纸分别描出下中的两个三角形．然后把它们叠放在一起，观察这两个图形是否完全重合．（提高学生的动手能力和观察能力）

结论：△ ABC 和 △ DEF 完全重合，因此它们是全等的．全等的符号：≌，读作：全等于

△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌DEF，读作：“三角形 ABC 全等于三角形 DEF ” 思考

在图11.1—1中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF。在图11.1—2中，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC。在图11.1—3中，把△ABC旋转180°，得到△AED。各图中的两个三角形全等吗？

可以做两个三角形，根据题目中的要求，进行实际操作，通过讨论，总结出结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。

把两个全等的三角形重合到一起。重合的顶点叫做对应顶点。重合的边叫做对应边。重合的角叫做对应角。例如，图11.1—1中的△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边，∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。

思考

图11.1—1中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？小组讨论，得出全等三角形有这样的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。（三）练习

课本4页的练习1、2。（四）补充练习：

要求学生动手操作，将备用的二个三角形合在一起，完成下列变化，且说明：（1）是怎么得出的？（语言不要求很准确）（2）图中有哪些相等的边或相等的角？

教师制作10块投影片，一边按（1）（2），（3），（1）（4），（1）（5），（5）（6），（6）（7），（7）（8），（8）（9），（9）（10）顺序投影，一边用实物作示范．学生可用兰三色将重叠在一起的三角形的对应边涂成色，辅助寻找对应边．

[由学生动手操作、回答问题，逐步养成独的学习习惯，提高学生动脑、动手、动口的能力，识的相互联系、相互转化的观点．]

（五）小结

引导学生总结出本节的主要知识点。（六）板书设计

全等三角形一些概念全等三角形的性质练习补充练习 11.2.1三角形全等的判定

教学设计思想

经历三角形全等的条件的分析和画图验证等过程，体会两个三角形全等应有三个条件。通过大量的实践活动探索三角形全等的条件。通过不同的条件画出三角形来探索两个三角形全等的条件，这对总结出三角形全等的条件及其应用进行判定是十分必要的，也是非常重要的。最后通过例题来应用这些知识点。

教学目标知识与技能

能叙述三角形全等的条件，体会三角形的稳定性；

能灵活地运用三角形全等的条件，进行有条理的思考和简单的推理，并能利用三角形的全等解决实际问题；

提高动手能力。过程与方法

经历探索三角形全等判定的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。情感态度价值观

体会数学与实际生活的联系。教学重、难点

重点：三角形全等的判定条件。难点：利用三角形全等的条件解题。教学方法：小组讨论，学生探索为主课时安排：4课时教学过程设计（2）第一课时（一）复习提问

1．怎样的两个三角形是全等三角形？ 2．全等三角形的性质？（二）SSS定理的得出

给出任意两个三角形，有些是全等的，有些不是全等的，我们知道如果△ABC与△A′B′

C′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′这六个条件，就能保证△ABC≌△A′B′C′。问同学们能不能找到一种方法，用较少的条件来判定两个三角形全等呢？下面就一起来找找这些条件。（板书课题：三角形全等的条件）。

探究1

先任意画出一个△ABC。再画一个△A′B′C′使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个。你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？

小组讨论下面问题

1.在两个三角形中，有一个角对应相等，或一条边对应相等，这两个三角形是否一定全等？有两个角对应相等，或两条边对应相等，或一个角和一条边分别对应相等，情况怎样？有三个角对应相等的情况呢？

2.用来判断两个三角形全等的条件，只有以下三种情况才有可能：三条边对应相等，或两条边和一个角分别对应相等，或两个角和一条边分别对应相等．你认为这种说法对吗？通过画图可以发现，满足上述六个条件中的一个或两个，△ABC与△A′B′C′不一定全等。满足上述六个条件中的三个，能保证△ABC与△A′B′C′全等吗？我们分情况进行讨论。

探究2 分小组活动：

1.用一根长 13 cm 的细铁丝，折成一个边长分别是 3 cm ， 4 cm ， 6 cm 的三角形．把你做的三角形和同学做的三角形进行比较，它们能重合吗？

2.用同一根细铁丝，余下 1 cm ，用其余部分折成一个边长分别是 3cm ， 4 cm ， 5 cm 的三角形，再和同学做的三角形进行比较，它们能重合吗？

3.不同小组用同一根细铁丝，任取一组能构成三角形的三边长的数据，和同桌同学分别按这些数据折三角形，折成的两个三角形能重合吗？

4.先任意画出一个△ABC．再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗?

画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，B′C′＝BC： 1．画线段B′C′=BC；

2．分别以B′、C′为圆心，线段AB，AC为半径画弧，两弧交于点A′； 3．连接线段A′B′，A′C′．

师：通过咱们的试验，可以得出什么结论呢？

生:只要三角形三边的长度确定，这个三角形的形状和大小就完全确定了．师总结定理：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等．师：咱们试着把这句话压缩一下，用几个字概括，同学们认为什么最合适呢？生：边边边

师：字母记做“SSS” 三角形全等的表示：

我们曾经做过这样的实验：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了．就是说，三角形的三边确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了．这里就用到上面的结论．

用上面的结论可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．

（三）例题

例1如图11．2—3，△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证△ABD≌△ACD。

分析：要证△ABD≌△ACD，可看这两个三角形的三条边是否对应相等．证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD．

在△ABD和△ACD中，

AB=AC,BD=CD, AD=AD∴△ABD≌△ACD（SSS）．

从例1可以看出，证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程．

（四）思考

已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD＝FB（图11．2—4）．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC＝FE，BC＝DE以外，还应该有什么条件?怎样才能得到这个条件?

（五）练习

工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．为什么?

（六）小结：引导学生总结出本节的主要知识点。（七）板书设计

三角形全等的判定（一）定理例题练习第二课时（3）（一）探究3

1．学生分组活动：画一个三角形，使它的两条边长分别是 1 . 5 cm ， 2 . 5 cm ，其中一个角是30°

画好后同桌两人讨论：两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等时，这两个三角形全等么？

有的组说全等，有的组说不全等

让各组派代表说说做法，比较有什么不同，老师总结，有三种做法

（1）两条边长分别是 1 . 5 cm ， 2 . 5 cm ，并且长为1.5cm的这条边所对应的角是 30°，这种做法得出的结论是：不全等

（2）两条边长分别是 1 . 5 cm ， 2 . 5 cm ，并且长为2.5cm的这条边所对应的角是 30°，这种做法得出的结论也是：不全等

（3）两条边长分别是 1 . 5 cm ， 2 . 5 cm ，这两条边的夹角为 30°，这样做出的两个三角形全等。

提问：由刚才活动得出的结论，满足什么条件的两个三角形全等？

2.将两边和它们的夹角的数据改换成另一组，再与同学一起按新数据画三角形．通过对所画三角形的比较，你能得出什么结论？

3.先任意画出一个△ABC再画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A（即使有两边和它们的夹角对应相等）．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗?

画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A： 1．画∠DA′E＝∠A；

2．在射线A′D上截取A′B′＝AB，在射线A′E上截取A′C′＝AC； 3．连接B′C′．

总结定理：如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．这个事实可以简写为“边角边”或“SAS”.

注：有上述活动，我们可以得出“边边角”无法判定两个三角形全等。（二）例题

例2：如图11．2—6，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA．连接BC并延长到E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离．为什么?

分析：如果能证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE．

在△ABC和△DEC中，CA＝CD，CB＝CE．如果能得出∠1＝∠2，△ABC和△DEC就全等了．证明：在△ABC和△DEC中，

CA=CD12 CB=CE∴△ABC≌△DEC（SAS）。 ∴AB=DE。

从例2可以看出：因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以，证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．

（三）探究4

我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么？

有探究3我们知道不一定全等。现在进一步来说明。我们可以通过画图回答，还可以通过实验回答。

把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合。适当调整好长木棍与射线BC所成的角后，固定住长木棍，把短木棍摆起来（图11．2—7）．

图11.2—7中的△ABC与△ABD满足两边及其中一边对角相等的条件，但△ABC与△ABD不全等。这说明，有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

（四）练习：课本10页的练习

（五）小结:引导学生总结出本节的主要知识点。（六）板书设计

三角形全等的判定（二）定理例题练习第三课时（4）（一）问题的提出：

类比着《边边边公理》和《边角边公理》即“三元素定三角形”，提出：如果两个三角形两边一个角分别对应相等，这两个三角形能不能全等？

（二）探究5 学生活动

1.按照下面的步骤画三角形，使它的两个内角分别为35°和 65°，并且这两个角的夹边的长为2.5cm。

画好后小组交流，比较画出的三角形是否全等

2．活动2 ：将两角和它们的夹边的数据改换成另一组，再与同学一起按新数据画三角形．通过对所画三角形的比较，你能得出什么结论？

3.先任意画出一个△ABC。再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=

∠B（即使两角和它们的夹边对应相等）。把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？

画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B 1．画A′B′=AB；

2．在A′B′的同旁画∠DA′B′＝∠A，∠EB′A′＝∠B，A′D，B′E交于点C′．

4．角边角定理：如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等．这个事实可以简写为“角边角”或“ASA”

（三）探究6

在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF（图11．2—9），△ABC与△DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?

提示：如果两个三角形的两个角对应相等，那么它们的第三个角是什么关系？总结出结论：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．

（四）例题

例3如图11．2—10，D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C．求证AD＝AE．

分析：如果能证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD＝AE．证明：在△ACD与△ABE中，

AA(公共角) AC=ABC=B∴△ACD≌△ABE（ASA）。 ∴AD=AE。

（五）讨论:三角对应相等的两个三角形全等吗? （六）练习

1．如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．为什么?

2．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1＝∠2．求证AB=AD．（七）小结:三角形全等的判定方法做一个小结．（八）板书设计

三角形全等的判定（三）定理例题练习小结第四课时（5）（一）引入新课

前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SSS ，SAS，ASA，AAS；我们也知道，“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”。这些结论适用于所有的各类三角形。

我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形（如直角三角形）。特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？

我们知道：斜边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“AAS”判定它们全等；一对直角边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等；两对直角边相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等。

如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等（边边角），这两个三角形是否可能全等呢？

（二）探究8

任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°．再画一个Rt△A′B′C′，使B′C′＝BC，A′B′＝AB．把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗?

画一个Rt△A′B′C′，使B′C′＝BC，A′B′＝AB： 1．画∠MC′N＝90°．

2．在射线C′M上取B′C′＝BC。

3．以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′． 4．连接A′B′．

图11．2—11给出了画Rt△A′B′C′的方法．探究8的结果反映了什么规律? 我们容易看出探究8反映的规律是：

斜边和—条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

（三）例题

例4如图11．2—12，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD．求证BC＝AD．

证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠C与∠D都是直角．在Rt△ABC和Rt△BAD中，

ABBA

AC=BD∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。 ∴BC=AD。

（四）练习:课本14页的练习

（五）小结:引导学生总结出本节的主要知识点。（六）板书设计

三角形全等的判定（四）讨论定理例题练习

11.3角的平分线的性质

教学设计思想

通过三角形的全等得出角的相等，从而得出作已知角的平分线的方法。通过折叠图形等

的具体操作，来得出角的平分线的性质。再次利用三角形的全等来得出到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。通过例题和练习巩固这些知识点。

教学目标知识与技能

会作已知角的平分线，能熟练地说出角平分线的性质及判定；能运用角平分线的性质及判定证明两个角相等或两条线段相等。过程与方法

经历画角的平分线的过程，提高画图能力；

经历折叠图形的过程，分析折叠过程，总结出角的平分线的性质。情感态度价值观

体会知识点之间的紧密联系。

教学重、难点

重点：①角平分线的性质及判定；②运用它们来证明两个角相等或两条线段相等。难点：运用角平分线的性质及判定证明两个角相等或两条线段相等。教学方法:小组讨论，学生探索为主课时安排2课时教学过程设计复习提问

角平分线的定义？角平分线与三角形的角平分线有何区别？提问关于三角形全等的判定定理．新授

（一）角的平分线的画法

图13．3—l是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗?

小组讨论

1.∠DAC与∠BAC相等的依据是什么？

2．如何做一个角的平分线？能否由以上的探究得出呢？通过小组讨论由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法．已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分线．

作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。（2）分别以M、N为圆心，大于

1MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C． 2（3）作射线OC．射线OC即为所求（图13．3—2）．

练习

平分平角∠AOB．通过上面的步骤得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD．直线CD与直线AB是什么关系?

应用以上学到的画角的平分线的方法，来画出平角的角平分线（平角只是一种特殊的角），回顾线段的垂直平分线的定义。进而回答直线CD与直线AB的关系。

（二）角的平分线的性质 1.小组讨论

（1）有一张剪好的角的纸片，怎样找这个角的平分线？

（2）大家知道，只要把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把纸片展开后的折痕就是这个角的平分线（如图1）．如果我们把对折的纸片继续折一次，然后把纸片展开，就会出现两条折痕（图2）中的PM和PN）．不难发现，这两条折痕的长相等，而且这种等长的折痕我们可以找出无数对，由此可见，角的平分线除了有平分角的性质，还有其他的性质，现在我们就来研究这个问题．

2．角的平分线

（1）上述折纸的实验，象图2中的等长折痕PM和PN，我们可以找到无数对，它们既有一般位置的，也有特殊位置的．比如，角平分线上的点到角两边的垂线就是特殊位置的等线段．你能用推理论证的方法说明“在角平分线上的点到这个角的两边距离相等”这一角平分线的重要性质吗？

通过讨论我们得到角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

小组讨论

1.在一个角的内部，除角平分线上的点以外，还能找到“到角的两边距离相离”的点吗？为什么？

2.角平分线上，是否有“到角的两边距离不相等的点”呢？为什么？思考

如图11．3—4，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米．这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）?

我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．小组讨论：到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢? 利用三角形全等，可以得到

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上根据上述结论，就知道这个集贸市场应建于何处了．（三）例题

例如图11．3—5，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．

证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F． ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD＝PE。．同理PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF．

即点P到三边AB，BC，CA的距离相等．

小组讨论：点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系?

（四）练习

如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．

（五）小结:引导学生总结本节的主要知识点。（六）板书设计

角的平分线的性质角的平分线的画法角的平分线的性质例题练习小结与复习

教学设计思想

以小组讨论的形式通过学生的合作交流总结出本章的知识结构，然后回答出回顾与反思中的几个问题。最后通过一些配套练习巩固所学的知识点。

教学目标知识与技能

总结出三角形全等的条件及性质；

能灵活地运用三角形全等的条件及性质，进行有条理的思考和简单的推理，并能利用三角形的全等解决实际问题；

会作已知角的平分线，总结出角平分线的性质及判定，能运用角平分线的性质及判定证明两个角相等或两条线段相等。

过程与方法

以小组讨论的形式对本章的知识进行系统梳理，总结出本章的知识点。情感态度价值观

体会数学与实际生活的联系。教学重点和难点

重点是①三角形全等的条件、角的平分线的性质；②能利用①中的知识点解题。难点是能灵活运用三角形全等的条件及角的平分线的性质解题。

教学方法:小组讨论法,以小组为单位，在总结讨论的基础上，使学生掌握本章的内容。课时安排:1课时教学过程设计一、知识结构

二、回顾与思考

1.举一些全等形的实际例子。全等三角形的对应边有什么关系？对应角呢？

2.一个三角形有三条边，三个角。从中任选三个来判定两个三角形全等，哪些是能够判定的？哪些是不能够判定的？

3.学习本章内容，可以解决一些实际问题，例如长度与角度的度量问题，就是从全等三角形对应边相等，对应角相等出发，设法形成满足全等条件的两个三角形，从而得到结果。 4.学了本章，你对角的平分线有了哪些新的认识？你能用全等三角形证明角的平分线的性质吗？

5.你能结合本章的有关问题，说一说证明一个结论的过程吗？三、例题

1.如图11—1，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，E、F在AC上。求证：∠DCF=∠BAE。

解析因为∠BAE和∠DCF分别在△BAE和△DCF中，所以只需证明△DCF≌△BAE。答案因为DF∥BE，所以∠DFA=∠BEC。所以∠DFC=∠BEA（等角的补角相等）。因为CE=AF，所以CE－FE=AF－FE，即CF=AE。在△DCF和△BAE中，

DF=BEDFC=BEA CF=AE所以△DCF≌△BAE（SAS）。

所以∠DCF=∠BAE（全等三角形的对应角相等）。方法规律：全等三角形是证明角相等的重要方法。

2.如图11—3，RtABC中AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD，且交BD的延长线于E，则BD与2CE有何关系？说明理由。

解析解决此题的关键在于如何表示2CE，观察到∠1=∠2，BE⊥CE。

若将CE和BA分别延长相交，可得全等三角形。2CE即可用其他线段表示出来，然后设法建立与BD的联系。

答案

BD=2CE。理由如下：

延长CE交BA的延长线与F。在△BEF和△BEC中，

12 BE=BEBEC=BEF所以△BEC≌△BEF（ASA）。所以CE=EF。所以CF=2CE。

因为∠BAC=90°，所以∠1+∠F=∠F+∠FCA。所以∠1=∠FCA。在△BAD和△CAF中，

1ACF AB=ACBAC=CAF所以△BAD≌△CAF（ASA）。

所以BD=CF（全等三角形的对应边相等）。因为CF=2CE，所以BD=2CE。

方法规律：全等三角形是研究线段间关系的重要工具。 3．已知：如图11—6，AB∥CD，DE＝BF，AB＝CD．求证：AE∥CF．

解析要证AE∥CF，只需证出∠E＝∠F，因此只要证得△ABE≌△CFD即可．答案因为DE=BF，所以DE－BD=BF－BD，即BE＝DF．因为AB∥DC，所以∠ABD=∠CDB．所以∠ABE＝∠CDF．在△ABE和△CFD中

AB=CDABE=CDF BE=DF所以△ABE≌△CFD（SAS）．所以∠E=∠F，所以AE∥CF．

方法规律：由平行线的判定条件知，全等三角形也是论证两条直线平行的重要方法． 4.如图11—7，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝90°，D是BC上一点，EC⊥BC，EC＝BD，DF=FE，则AF与DE垂直吗?请说明理由．

解析若AD＝AF，则可证△ADF≌△AEF，所以可得∠AFD＝∠AFE=90°．因此应设法证明AD＝AE。

答案AF⊥DE成立，理由如下：因为AB＝AC，∠BAC＝90°，所以∠B＝∠ACB=45°．因为EC⊥BC，

所以∠ECD=90°．所以∠ECA＝45°．所以∠ECA＝∠B。在△ABD和△AEC中，

AB=ACB=ECA BD=EC所以△ABD≌△AEC（SAS）．所以AD=AE．在△ADF和△AEF中，

AD=AEAF=AF DF=EF所以△ADF≌△AEF（SSS）．所以∠AFD=∠AFE＝90°．所以AF⊥DE．

方法规律：全等三角形也是证明两条直线垂直的重要方法．

5补充：在一次战役中，如图11—8所示，我军阵地与敌军阵地隔河相望，为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一种方法：

他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．

（1）你能解释其中的道理吗?

（2）按这个战士的方法，找出教室或操场与你的距离相等的两个点，并通过测量加以验证．

解析这个战士其实是应用了全等三角形的条件——“ASA”，如图13—9，△ABC≌△A′B′C′，则BC＝B′C′．

答案（1）根据题意画出示意图11—9．由题意知，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′=90°，AB＝A′B′．

所以△ABC≌△A′B′C′（ASA）

所以BC＝B′C′．因此测出B′C′的长即为BC的长．

（2）在具体操作时，可用一张纸或一本书代替帽檐，按照战士的方法，测一下教室或操场与观察者的距离，从而进一步检验战士做法的合理性．

经验技巧：将实际问题转化为数学问题，建立数学模型——全等三角形。实际应用题是近几年中考命题的重点，平时应多训练，提高建模能力。

四、小结：引导学生总结出本节的主要知识点。五、板书设计

小结与复习知识结构回顾与反思例题图形的对称轴；

说出轴对称图形与两个图形关于某条直线对称的区别与联系；

探索轴对称的性质表述出对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。过程与方法：

在丰富的现实情境中，经历观察生活中的轴对称现象，探索轴对称现象共同特征等活动，进一步发展空间观念，在自己的动手操作中体验轴对称的性质，在操作中注意观察、想像和提炼，要学会科学地表达思想。

情感态度价值观：

欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的应泛运用和它的丰富文化价值。

教学重点：

认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形、轴对称及其对称轴，并能作出轴对称图形和成轴对称的图形的对称轴。

教学难点：

探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。课时安排：3课时教学过程：第一课时（9）（一）情景创设

在生活中，许多事物与图形紧密联系在一起。现在老师给大家准备了一些生活中的常见的事物图案和标志，请大家观赏。（投影显示，播放ppt：利用轴对称设计图案素材） [教学说明：创设情景将生活中的对称图案和标志展示出来，引导学生将生活中的对称美牵引到数学中来]

（二）探索研讨 1．看一看，想一想

细心观察一些日常生活中常见的动物图片如：蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等，能发现它们有什么共同特征？

请同学们细心观察动画后，总结出轴对称图形的概念（投影显示）定义：

如果一个图形沿着某条直线对折，对折后的两面部分能够完全重合，就称这样的图形为轴对称图形。这条直线叫做这个图形的对称轴。

在我们的现实生活中有很多物体的平面图形是轴对称图形，你能举例说说吗？ 2．做一做（活动）

将同学们准备好的一张纸对折后，用笔沿着折线画一条直线，然后从折叠处剪出一个你喜欢的图形，想一想，展开后会是一个什么样的图形？

试着画出它的对称轴

[教学说明：让同学们从动手实践中总结出结论：剪出来的图形关于折线对称] 练习

下面的图形是轴对称图形吗？如果是，你能指出它的对称轴吗？

3．谈一谈

观察课本30思考的三组图片：你发现这些图片由什么共同特征？

总结：每组图片中都有两个图形，并且沿着一条直线对称后，这两个图形完全重合，我们就说这两个图形成轴对称，这两条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点（即对折后两图形中互相重合的点）叫做对称点。你能再举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗？

练习课本31页

下面给出的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点。

4.小组讨论

（1）结合教科书图形12.1—2和12.1—3进行比较，轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别吗？

（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称吗？成轴对称的两个图形全等吗？如果把两个轴对称图形看成一个整体，它是一个轴对称图形吗？

学生根据两组图形比较观察，讨论交流，教师引导学生得出其区别。

在本次活动中，教师应重点关注：

学生在比较两个图形的区别时，是否明确轴对称图形表述的是一个具有特殊形状的图形，两个图形成轴对称表述的是两个图形的位置关系；

5.成轴对称的两个图形全等吗？全等的两个图形一定成轴对称吗？为什么？学生独立思考后，再展开讨论，教师参与学生讨论，及时指导。 6．练一练

（1）游戏：三位同学起立，中间的同学作为对称轴，左边的同学做一个姿势，右边的同学也做一个姿势，使得左右两边成对称关系。

（2）抢答：生活中不仅有些物体的形状是轴对称图形，我们所学的数字、字母和汉字中也有一些可以看成轴对称图形。例如：0，1，A ，口，工等，请举例。看谁举的例子最多。（让学生到黑板上写）

（三）小结：引导学生总结出本节的主要知识点。（四）板书设计

轴对称（一）概念：轴对称图形、对称轴、两个图形成轴对称、垂直平分线练习第二课时（10）（一）轴对称的性质

如图12.1—4，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′B′C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？

小组讨论

1.图12.1—4种，点A、A′是什么关系？

2.设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN折叠后，点A与A′重合吗？于是有

AP=PA′

∠MPA=∠MPA′=90°。

对于其他的对应点，如点B、B′，C、C′也有类似的情况。 3.那么MN与A、A′，B、B′，C、C′的连线有什么关系呢？

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。这样，我们就得到图形轴对称的性质：

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。例如图12.1—5中，

l垂直平分__________， l垂直平分__________， l垂直平分__________. （二）探究

如图12.1—6，木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，P1，P2，P3，„是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，„到A与B的距离，你有什么发现？

可以发现，点AB，P1，P2，P3，„到点A的距离与它们到点B的距离分别相等．如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B„„都是重合的，因此它们也分别相等．

由此我们可以得出：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．播放课件：轴对称图形（二）

利用判定两个三角形全等的方法，怎样证明这个结论呢?请同学们自己完成（参照图12．1—7）．

小组讨论

1.如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢?

2.如图12．1—8，用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持．射出箭的方向与木棒垂直呢?为什么?

通过探究可以得到：

与一条线段两个端点距离相等的点．在这条线段的垂直平分线上．

从上面两个结论可以看出：在线段AB的垂直平分线l上的点与A、B的距离都相等；反过来，与两点A、B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合．

（三）练习

1．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系?AB+BD与DE有什么关系?

2．如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗? （四）小结：引导学生总结出本节的主要知识点。（五）板书设计

轴对称（二）轴对称的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．与一条线段两个端点距离相等的点．在这条线段的垂直平分线上．小结第三课时（11）

（一）回顾轴对称的性质：

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（二）思考

有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢?不折叠图形，你能比较准确地作出轴对称图形的对称轴吗?

如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．

（三）例题

图12．1—9（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?

分析：我们只要连接点A和点B，画出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴．而由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质，只要作出到点A、B距离相等的两点即可．

作法：如图12．1—9（2）．

（1）分别以点A、B为圆心，以大于于C、D两点；

（2）作直线CD． CD即为所求的直线．

1AB的长为半径作弧（想一想为什么），两弧相交2这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图．我们也可以用这种方法确定线段的中点．

同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．

例如，对于图12．1—10的五角星，我们可以找出它的一对应点A和A′，连接AA′，作出线段AA′的垂直平分线l，则l就是这个五角星的一条对称轴．

类似地，你能作出这个五角星的其他对称轴吗? （四）练习：课本35页练习1、2、3

（五）小结：总结出怎样作出轴对称图形的对称轴。（六）板书设计

轴对称（三）回顾思考例题练习 12.2轴对称变换教学设计

教学设计思想

第一课时①通过4个小活动归纳出轴对称变换的性质及定义；②通过例1得到作一个图形的轴对称图形的方法；③利用轴对称变换设计图案；④利用点的对称解决探究中的问题。

第二课时①通过具体作出点的关于坐标轴的对称点的坐标来发现点与其关于坐标轴的对称点的坐标之间的关系。②通过例3得到作一个图形关于坐标轴对称的图形的方法；③通过探究来进一步学习了图形关于直线x=1和直线y=－1对称的图形。

教学目标知识与技能：

通过具体实例认识轴对称变换，探索它的基本性质和定义；能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；能利用轴对称变换进行图案设计；

探索平面直角坐标系中的点关于x轴、y轴对称点的坐标的规律，并能运用这一规律写出平面直角坐标系中的点关于x轴、y轴对称的点的坐标；

能利用坐标的变换规律在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形。过程与方法：

经历轴对称变换的画图、观察、交流等活动理解其基本性质的定义；结合实例总结出点与其对称点的坐标之间的规律。情感态度价值观：

用轴对称变换的方式去认识和构建几个图形，发展形象思维，并尝试用轴对称变换去从事推理活动。

教学重难点

重点：①轴对称变换及轴对称变换作图；②点与其对称点坐标之间的关系。

难点：①利用轴对称变换设计图案；②利用坐标的变换规律在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形

课时安排：2课时教学过程（12）第一课时

12.2.1轴对称变换

（一）轴对称变换的性质和定义问题

1.如图12．2—1，在一张半透明的纸的左边部分，画一只左脚印，如何由此得到相应的右手掌印？

学生动手画左脚印，要强调将纸对折后描图。

在学生画图中，要关注（1）学生如何画左脚印；（2）左脚印画出后，折痕如何选取。 2.图12．2—2，12．2—3是怎样得到的？

3.图12．2—4的图形是怎样得到的？

4.自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么?改变折痕的位置并重复几次，你又得到了什么?与同学交流一下．

教师应重点关注：

（1）学生在思考中，是否找准了对称轴；（2）两个图案中，学生各找出了几条对称轴。教师应重点关注学生对对称轴的方向和位置的理解。 5.归纳轴对称变换的性质及定义

学生通过实践、观察，归纳以上四个小活动中所得到的图形之间的共同点，教师引导、纠正，并给出完整的归纳。

在学生归纳中教师应重点关注：（1）是否找出了上述图形的共同点；（2）叙述的完整性、准确性、规范性。

（二）利用轴对称变换的性质作图，归纳作图方法并练习问题

如果有一个图形和一条直线，如何作出与这个图形关于这条直线对称的图形呢? 例1如图12．2—5（1），已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形．

（1）△ABC关于直线l的对称图形是什么形状？（2）△ABC的轴对称图形可以由哪几个点确定？（3）在△ABC上，取哪几个点作出其关于l的对称点？（4）如何作一个已知点关于直线的对称点？

教师逐步提出问题，师生共同思考分析，学生尝试作图。师生共同总结作图方法及步骤，通过折叠的方法加以验证。

归纳

几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．

（三）图案欣赏及利用轴对称变换设计简单图案学生先欣赏轴对称变换图案，然后自己设计图案。（四）练习

1．如图，把下列图形补成关于直线l对称的图形．

2．用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合．

（五）探究

如图12．2—8（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短?

你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律吗?

我们可以把管道l近似地看成一条直线（图12．2—8（2）），问题就是要在l上找一点C，使AC与CB的和最小．设B′是B的对称点，本问题也就是要使AC与CB′的和最小．在连接AB′的线中，线段AB′最短．因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求．

小组讨论

为什么在点C的位置修建泵站，就能使所用的输气管线最短呢?也就是说，你能证明AC+CB最小吗?（提示：在直线l上任取一点C′，证明AC+CB（六）小结:学生自己总结。不全面的由其他学生补充完善。（七）板书设计

轴对称变换轴对称变换的性质和定义利用轴对称变换的性质作图，归纳作图方法并练习图案欣赏及利用轴对称变换设计简单图案练习探究第二课时(13)

12.2.2用坐标表示轴对称

（一）已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律观察

图12．2—9是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的．如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，对应于如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗?

在如图12．2—10的平面直角坐标系中，画出下列已知点及其对称点，并把坐标填入表格中，看看每对对称点的坐标有怎样的规律，再和同学讨论一下．已知点 A（2，－3） B（－1，2） C（－6，－5） 1D(,1) 2D′（___，___） E（4，0）关于x轴的对称点关于y轴的对称点 A′（___，___） B′（___，___） C′（___，___） E′（___，___） A（___，___） B（___，___） C（___，___） D（___，___） E（___，___）

再找几个点，分别画出它们的对称点，检验一下你发现的规律．

通过让学生在平面直角坐标系中画出一些已知点关于x轴或y轴对称的点，写出这些对称点的坐标，归纳出其中的规律。教学时，要注意留给学生足够的时间，使学生活动起来，通过探究发现并总结规律。对于这些规律，不要让学生死记硬背，要让学生在平面直角坐标系中，结合实例理解这些规律。

归纳

点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（_____，_____）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（_____，_____）．

利用平面直角坐标系中，与已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律，我们也可以很容易地在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形．

（二）例题

例3如图12．2—11，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1）、B（－2，1）、C（－2，5）、D（－5，4），分别作出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．

问题

（1）四边形ABCD关于对称轴的对称图形可以由哪几个点确定？（2）如何作一个已知点关于x轴、y轴的对称点？

解：点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y），因此四边形ABCD的顶点A、B、C、D关于y轴对称的点分别为A′（_____，_____）、B′（_____，_____）、C′（_____，_____）、D′（_____，_____），依次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，就可得到与四边形ABCD关于y轴对称的四边形A′B′C′D′．

类似地，请你在图12.2—11上作出与四边形ABCD关于x轴对称的图形。问题

如何做一个多边形的对称图形？

只要找到一些特殊点（多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形。

（三）探究

如图12.2—12，分别作出△PQR关于直线x=1（记为m）和直线y=－1（记为n）对称的图形。你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？

问题

（1）需要确定哪几个点关于直线x=1（记为m）和直线y=－1（记为n）的对称点？（2）这些对称点的坐标怎么确定呢？（四）练习

课本44页的练习1、2、3。

（五）小结：学生自己总结。不全面的由其他学生补充完善。（六）板书设计

用坐标表示轴对称已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律例题探究练习

§13.1平方根

教学目标：了解数的算术平方根及平方根的概念，并会用符号表示；理解平方与开方之间是互为逆运算的关系，会用计算器求一些正数的算术平方根

重点：了解数的算术平方根及平方根的概念，会求某些非负数的平方根，会用根号表示一个数的平方根

难点：对a大小的估算及如何理解a是非负数以及被开方数a是非负数；正确区分算术平方根与平方根

第1课时

㈠创设情景，导入新课

请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？如果这块画布的面积是12dm？

这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（引入新课）㈡合作交流，解读探究

讨论：1、什么样的运算是平方运算？

2、你还记得1～20之间整数的平方吗？自主探索：让学生独立看书，自学教材

总结：一般地，如果一个正数x的平方为a，即xa，那么正数x叫做a的算术平方根，记为a，读作根号a，其中a叫做被开方数

另外：0的算术平方根是0

探究：怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形

把两个小正方形沿对角剪开，将所得的四个直角形拼在一起，就的到一个面积为2

的大正方形。

设大正方形的边长为x，则x2 由算术平方根的意义，x2 即大正方形的边长为2

讨论：2有多大呢？

思考：你能举些象2这样的无限不循环小数吗？㈢应用迁移，巩固提高

例1 求下列各数的算术平方根 ⑴100 ⑵

2222491 ⑶0.0001 ⑷0 ⑸2 644点拨：由一个数的算术平方根的定义出发来解决问题

思考：－4有算术平方根吗？备选例题：要使代数式

x2有意义，则x的取值范围是（） 3 A. x2 B. x2 C. x2 D. x2 ㈣总结反思，拓展升华

小结：1、算术平方根的定义和性质

2、用计算器求一个正数的算术平方根

拓展：已知2a1的算术平方根是3，3ab1的算术平方根是4，c是13的整数部分，求a2bc的算术平方根㈤课堂跟踪反馈

1、非负数a的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____ 2、 81___,16121____,_____ 25813、 16的算术平方根是_____, 0.64的算术平方根____ 4、若x是49的算术平方根，则x=（）

A. 7 B. －7 C. 49 D.－49 5、若x47，则x的算术平方根是（）

A. 49 B. 53 C.7 D 53. 6、若x1y32xyz0，求x,y,z的值。

7、若a是30的整数部分，b是30的小数部分，试确定a、b的值。

8、一个自然数的算术平方根为a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根

是_______

第2课时

㈠创设情景，导入新课

复习提问：1、什么数的平方是49？

2、平方得81的数有几个？分别是什么？ 3、一对互为相反数的平方有什么关系？交流总结：由问题出发，认识到平方得一个正数的数有2个，并且互为相反数（引入新课）㈡合作交流，解读探究

自主探索：独立看书，自学教材

想一想：到底什么是平方根，它和我们已经认识的算术平方根有何关系？ ⑴什么叫一个数的平方根？如何用符号表示？ ⑵根据平方根的定义，只有什么数才有平方根？ ⑶什么叫开方？

[⑴如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，用符号表示为：若xa,则xa；⑵只有非负数才有平方根；⑶求一个数a的平方根的运算叫做开平方运算。]

练一练：求下列数的平方根 ⑴100 ⑵总结归纳：

29 ⑶0.25 ⑷16 ⑸ 0 161、正数有两个平方根，它们互为相反数 2、 0的平方根是0 3、负数没有平方根

讨论：平方根与算术平方根之间有什么关系？总结：1、平方根与算术平方根之间的区别

⑴定义不同：如果xa，那么x叫做a的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。

如果xa，并且x0，那么x叫做a的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数

⑵表示方法不同：正数a的平方根表示为a；正数a的算术平方根为a ⑶平方根等于本身的数是0；算术平方根等于本身的数是0或1

2、平方根与算术平方根之间的联系 ⑴二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个 ⑵存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根 ⑶0的平方根和0的算术平方根都是0 ㈢应用迁移，巩固提高

例1 说出下列各数的平方根 ⑴0.04 ⑵

22181 ⑶256 ⑷6

41212例2 说出下列各数的平方根各是什么？

32⑴64 ⑵0 ⑶0.4 ⑷1 ⑸16 ⑹4

32点评：要从根本之处理解一个数的平方根的运算，从平方根的概念入手，同时要知道，只有非负数才有平方根例3 计算 ⑴1741222 ⑵2 ⑶4140 ⑷x2x1 x1 964㈣总结反思，拓展升华

小结 1、平方根的定义及符号表示 2、平方根与算术平方根的关系拓展已知

1a3ab72ab30，求：ba的平方根 5㈤课堂跟踪反馈

1、判断下列说法是否正确

⑴5是25的算术平方根（） ⑵

525是的一个平方根（） 6362⑶4的平方根是－4 （）

⑷ 0的平方根与算术平方根都是0 （） 2、⑴121____,⑵1.69____,⑶49____,⑷1000.32____

3、若x7，则x_____，x的平方根是_____

4、819933的平方根是（） A.  B. C.  D. 164422242 5、给出下列各数：49, , 0, 4, 3, 3, 5，其中有平方根的

3数共有（）

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

6、若一个数a的平方根等于它本身，数b的算术平方根也等于它本身，试求ab的平方根。

7、求下列各数中的x值

⑴x25 ⑵x810 ⑶4x49 ⑷25x360 9、若a52102ab2，求a、b的值

10、如果一个正数的两个平方根为a1和2a7，请你求出这个正数

§13.2 立方根

教学目标：了解立方根的概念，会用符号表示一个数的立方根重点：了解立方根的概念，用立方运算求某些数的立方根；

22223a3a，会用计算器求某些

数的立方根

难点：明确平方根与立方根的区别，能熟练地求某些数的立方根㈠创设情景，导入新课

出示一个正方体纸盒，提出问题，如果这个正方体的体积为216 cm，那么它每条棱长是多少？

㈡合作交流，解读探究

观察由以上问题，有x216，即要求一个数，使它的立方等于216，通过分析，有

3263216，那么6就是这个正方体的棱长

归纳如果一个数的立方等于a，这个数叫做a的立方根（也叫做三次方根），即如果

x3a，那么x叫做a的立方根

探究根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？因为28，所以8的立方根是（ 2 ）

3 因为0.50.125，所以0.125的立方根是（ 0.5 ）

因为00，所以8的立方根是（ 0 ）因为28，所以8的立方根是（ 2 ）

333822因为，所以8的立方根是（  ）

2733 一个正数有一个正的立方根【总结归纳】 0有一个立方根，是它本身一个负数有一个负的立方根

任何数都有唯一的立方根

【类比思考】平方根的表示我们已经很清楚了，那么立方根又该如何表示呢？

【探究说明】一个数a的立方根，记作3a，读作：“三次根号a”，其中a叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。例如：327表示27的立方根，3273；327表示27的立方根，3273

【探究】因为38____,38____,所以38 = 38

因为327____,327____，所以327 = 327 总结利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即3a3aa0。

操作用计算器求数的立方根的步骤及方法：

用计算器求立方根和求平方根的步骤相同，只是根指数不同。步骤：输入3 → 被开方数 → = → 根据显示写出立方根

3例：求－5的立方根（保留三个有效数字）

3 → 被开方数 → = → 1.709975947

3所以

51.71

㈢应用迁移，巩固提高例1 求下列各数的立方根 ⑴ －8 ⑵例2 计算

⑴364 ⑵3125 ⑶ 322736 ⑶125 ⑷819 ⑸10 ⑹3 6481027 ⑷3 ⑸30.064 2764例3 张叔叔有棱长为40.25cm的两个正方体纸箱中装满了大米，他将这两箱大米都倒入了另一个新的正方体木箱中，结果正好装满，那么这个新的正方体木箱的棱长大约是多少？（结果精确到0.01cm）

分析从一个实际问题中抽象出数学关系，即一个正方体的体积等于另一个正方体体积的2倍，列式并计算。例4 解方程

3 ⑴x0.125 ⑵3x415360

33分析我们已经学习了立方根，也能由立方根的定义求解xa（a为常数）这一类型简单的三次方程。第⑵小题，我们要把x4看成一个整体，依然转化成为xa的形式，

3再由立方根定义去求解。

1的自变量x的取值范围是（）

2x4 A. x1且x2 B. x2 C. x1且x2 D.全体实数

备选例题 y3x1㈣总结反思，拓展升华

小结 1、立方根的概念和性质

2、立方根与平方根的异同比较㈤课堂跟踪反馈

1、当x ≥0 时，4x有意义；当x 为一切实数时，34x有意义

2、 64的立方根是－2 ，38的平方根是 ±2 ，3512的立方根是－2 3、－8的立方根与81的一个平方根的和等于 1或－5

4、一个自然数的算术平方根是a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是

2a21 ，立方根是

5、解下列方程

3a21

33⑴x512 ⑵64x1250 ⑶x1216

36、已知3x4，且yx

2z30，求xyz3的值

§13.3实数(1)

教学目标：了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算，会用计算器进行实数的运算重点：实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律

难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的；准确地进行实数范围内的运算

第1课时

㈠创设情景，导入新课略

㈡合作交流，解读探究

探究使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， 3479115 ，，，， 5811993479 ，111.2 ，50.5 0.6 ，5.875 ，0.81581199我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 33.0 ，归纳任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小

数或无限循环小数也都是有理数观察通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数，3.14159265也是无理数结论有理数和无理数统称为实数试一试把实数分类

整数有理数有限小数或无限循环小数 实数 分数无理数无限不循环小数像有理数一样，无理数也有正负之分。例如2，33，是正无理数，2，33，是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：

正有理数正实数正无理数 实数0

负有理数负实数负无理数我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来

表示呢？

探究如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？

总结 1、事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数

当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数

2、与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示

的实数大

讨论当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？

总结数a的相反数是a，这里a表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0

㈢应用迁移，巩固提高

例1 把下列各数分别填入相应的集合里： 38,3,3.141,22,7,,32,0.1010010001,1.414,0.020202,7 378正有理数{ } 负有理数{ }

正无理数{ } 负无理数{ } 备选例题下列实数中是无理数的为（）

A. 0 B. 3.5 C.2 D.9 ㈣总结反思，拓展升华小结 1、什么叫做无理数？ 2、什么叫做有理数？

3、有理数和数轴上的点一一对应吗？ 4、无理数和数轴上的点一一对应吗？ 5、实数和数轴上的点一一对应吗？㈤课堂跟踪反馈

1、下列各数中，是无理数的是（） A. 1.732 B. 1.414 C.

3 D. 3.14

2、已知四个命题，正确的有（）

⑴有理数与无理数之和是无理数 ⑵有理数与无理数之积是无理数 ⑶无理数与无理数之积是无理数 ⑷无理数与无理数之积是无理数 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 3、若实数a满足

aa1，则（）

A. a0 B. a0 C. a0 D. a0

4、下列说法正确的有（）

⑴不存在绝对值最小的无理数 ⑵不存在绝对值最小的实数

⑶不存在与本身的算术平方根相等的数 ⑷比正实数小的数都是负实数 ⑸非负实数中最小的数是0

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.5个 5、⑴32的相反数是 23 ，绝对值是 23

⑵1013 ⑶321310

24 1 ⑷若x3，则x 3 6、2x442x是实数，则x 2 26、已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示：

c a O b 化简 2cacbabacb （答案：ab4c）

第十四章一次函数

变量与函数

教学设计思想：

本节一共分为三个课时，第一、二课时主要是对一些概念的学习与应用，这也是本节的难点，要通过结合一些具体的事例来理解．第三课时主要是学习函数的三种表示法、运用函数知识解决实际问题，要注意“数形结合”思想方法的运用．

教学目标：知识与技能：

能叙述常量、变量、函数以及函数图像的意义；

能叙述函数的表示法、自变量的取值范围及函数值的意义；发展运用函数知识解决实际问题的能力．过程与方法：

经历画简单函数的图像的过程提高识图能力．情感态度价值观：

感受变量与函数是刻画现实生活中许多变化事物的一种重要的数学工具．教学重点：

运用函数知识解决实际问题．教学难点：

常量、变量、函数以及函数图像的意义．教学安排： 4课时．教具：多媒体教学过程：第一课时

11.1.1变量（一）问题的提出现请思考下面几个问题：

（1）汽车以60千米／时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，先填下面的表，再试用含t的式子表示s．

t/时 s/千米 1 2 3 4 5 （2）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元?设一场电影售出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y?

（3）在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m（单位：kg）的式子表示受力后的弹簧长度l （单位：cm）?

（4）要画一个面积为10cm的圆，圆的半径应取多少?圆面积为20cm呢?怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?

（5）如图11.1—l，用10m长的绳子围成长方形．试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化．记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变

化规律．设长方形的长为xm，面积为Sm，怎样用含x的式子表示S?

这些问题反映了不同的事物的变化过程，其中有些量（例如时间t，里程s；售出票数x，票房收入y„„）的值是按照某种规律变化的．在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）．有些量的数值是始终不变的，例如上面问题中的速度60（单位：千米／时），票价10（单位：元）„„绳长10（单位：m）以及长方形的长宽之和5（单位：m），我们称它们为常量（constant）．在日常生活中，工农业生产和科学实验中，常量和变量是普遍存在的，但数学所要研究的是某一变化过程中的两个量之间的关系，即它们是怎样互相制约、互相联系的．

提问：一个量变化，具体地说是它的什么在变？什么不变呢？引导学生观察发现：是量的数值变与不变．

应该让学生注意到在某一个变化过程中，变量、常量都可能有多个．常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变）．

（二）思考

具体指出上面的各问题中，哪些量是变量，哪些量是常量．让学生从定义出发指出问题中的变量与常量．剖析概念

常量与变量必须存在于一个变化过程中．判断一个量是常量还是变量，需着两个方面：①看它是否在一个变化的过程中，②看它在这个变化过程中的取值情况．

（三）练习

举出一些变化的实例，指出其中的常量与变量．（充分发挥学生的主体作用，畅所欲言）．（四）小结

小结对变量与常量意义的理解．（五）板书设计

变量问题两个概念：变量、常量思考练习第二课时 11.1.2函数（一）问题的讨论

11.1.1的每个问题中是否各有两个变量?同一个问题中的变量之间有什么联系? 在问题（1）中，观察填出的表格，你会发现：每当行驶时间t取定一个值时，行驶里程s就随之确定一个值，例如t＝1，则s＝60；t＝2，则s＝120„„t＝5，则s＝300．问题（2）中，经计算可以发现：每当售票数量x取定一个值时，票房收入y就随之确定一个值，例如早场x＝150，则y＝l 500；日场x＝205，则y＝2 050；晚场x＝310，则y＝3 100．

问题（3）中，通过试验可以看出：每当重物质量m取定一个值时，弹簧长度l就随之确定一个值．如果弹簧原长10cm，每lkg重物使弹簧伸长0．5 cm，那么当m＝1时，l＝10．5．当m＝10时，l等于多少?

问题（4）中，你容易算出：当S＝10 cm时，r＝_______cm；当S＝20cm时，r＝_______cm．每当S取定一个值时，r随之确定一个值．你能得出：两者的关系为r＝_______. 问题（5）中，我们可以根据下表中给出的数值确定长方形一边的长，得出另一边的长，计算长方形的面积，填表并探索变量间的关系．

长x/m 宽（5－x）/m 面积S/m2 4 3 2.5 2 每当长方形长x取定一个值时，面积S就随之确定一个值，S＝_________.

引导学生观察发现：对于变量的每一个值，另一变量都有唯一的值与它对应．所以两个变量的关系又可叙述为：对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与它对应．即一种对应关系．

（二）归纳

上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就________.

在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间上面那样的关系．（三）观察

（1）图11．1—2是体检时的心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗?

（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，对于表中每一个确定的年份（x），都对应着一个确定的人口数（y）吗?

中国人口数统计表年份 1984 1989 1994 1999 人口数/亿 10.34 11.06 11.76 12.52 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量（independent variable），y是x的函数（function）．如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．

剖析概念

理解函数概念把握三点：①一个变化过程，②两个变量，③一种对应关系．判断两个量是否具有函数关系也以这三点为依据．

可以认为：前面问题（1）中，时间t是自变量，里程s是t的函数，t＝1时的函数值s＝60，t＝2时的函数值s＝120，t＝2．5时的函数值s＝_____„„同样地，在心电图中，时间x是自变量，心脏电流y是x 的函数；人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数，当x=1999时，函数值y=________．

提醒学生注意：判断两个变量是否存在函数关系，不要只从能否存在（或写出）函数关系式入手，这只是表示函数的一种方法（解析法），而应严格按其定义来判定．

从上面可知，许多问题中的变量之间都存在函数关系．（四）探究

（1）在计算器上按照下面的程序进行操作：

填表 x y 1 3 －4 0 101 显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么? （2）在计算器上按照下面的程序进行操作：

下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果． x 1 2 3 0 －1 y 3 5 7 1 －1 所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含x的式子表示y）.

（五）例题

例1 一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0．1L／km．

（1）写出表示y与x的函数关系的式子．（2）指出白变量x的取值范围．

（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油?

解：（1）行驶里程x（单位：km）是自变量，油箱中的油量y（单位：L）是x的函数，它们的关系为y＝50－0.1x．

（2）仅从式子y＝50－0.1x看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义为行驶里程，所以x不能取负数，并且行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油量50L，即

0．1x≤50．

因此，自变量x的取值范围是 0≤x≤500．

（3）汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数 y＝50－0.1x在x＝200时的函数值．将x＝200代入 y＝50－0．1x，得 y＝50－0.1³200＝30．

汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油．

注意确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．

（六）练习

下列问题中哪些量是自变量?哪些量是自变量的函数?试写出用自变量表示函数的式子． 1．改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变．

2．秀水村的耕地面积是10m，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化．

（七）小结

引导学生总结本节的主要知识点．

（八）板书设计

函数问题的讨论例题练习第三课时

11.1.3函数的图像

有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图来直观地反映，例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系．即使对于能列式表示的函数关系，如也能画图表示则会使函数关系更清晰．

正方形的边长x与面积S的函数关系为S＝x，其中自变量x的取值范围是x>0．我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系．

自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，是否确定了一个点（x，S）呢? 计算并填写下表： x S 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 2

如图11．1—3，在直角坐标系中，将上面表格中各对数值所对应的点画出，然后连接这些点，所得曲线上每一个点都代表x的值与S的值的一种对应，例如点（2，4）表示x＝2时，S＝4．

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）．图11．1—3的曲线

即函数S＝x （x>0）的图象．

我们需要注意的三点是：（1）函数图象上的点P（x，y）与函数自变量x及对应函数值y的关系：图象上的每个点的横坐标x与纵坐标y一定是这个函数的自变量x和函数y的一对对应值，反之，以这一对对应值为横、纵坐标的点必在函数的图象上．（2）函数图象上任意一点P（x，y）中的x和y满足函数关系式，反之，满足函数关系式的任意一对x和y的值组成的点（x，y）一定在函数的图象上．（3）判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点的坐标（x，y）代入函数关系式，即自变量等于横坐标x，函数值等于纵坐标y，如果满足函数关系式，则这个点就在函数图象上，否则这个点就不在函数图象上．

（一）观察

图11.1—4是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息?

可以认为，气温T是时间t的函数，图11．1—4是这个函数的图象．由图象可知：（1）这一天中凌晨4时气温最低（－3℃），14时气温最高（8℃）；

（2）从0时至4时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降），从4时到14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态；

（3）我们可以从图象中看出这一天中任一时刻的气温大约是多少；

（4）如果长期观察这样的气温图象，我们就能得到更多信息，掌握更多气温的变化规律．

（二）例题

例2 下面的图象（图11．1—5）反映的过程是：小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．

根据图象回答下列问题：

（1）菜地离小明家多远?小明走到菜地用了多少时间? （2）小明给菜地浇水用了多少时间?

（3）菜地离玉米地多远?小明从菜地到玉米地用了多少时间? （4）小明给玉米地锄草用了多少时间?，

（5）玉米地离小明家多远?小明从玉米地走回家的平均速度是多少?

分析：小明离家的距离y是时间x的函数，从图象中有两段是平行于x轴的线段可知，小明离家后有两段时间内先后停留在菜地与玉米地．

解：（1）由纵坐标看出，菜地离小明家1．1千米；由横坐标看出，小明走到菜地用了15分．

（2）由横坐标看出，小明给菜地浇水用了10（即25－15）分．

（3）由纵坐标看出，菜地离玉米地0.9（即2—1．1）千米；由横坐标看出，小明从菜地到玉米地用了12（即37—25）分．

（4）由横坐标看出，小明给玉米地锄草用了18 （即55－37）分．

（5）由纵坐标看出，玉米地离小明家2千米；由横坐标看出，小明从玉米地走回家用了25（即80—55）分，平均速度是0．08千米／分．

例3 在下列式子中，对于x的每一确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数，画出这些函数的图象：

（1）y=x+0.5；（2） y解：（1）y＝x+0.5．

从上式可以看出，x取任意实数式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数．从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表（计算并填写表中空格）： x y „ „ －3 －2 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 „ „ 6（x>0）． x根据表中数值描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点（图11．1—6）．

从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y＝x+0.5随之增大．（2） y6（x>0）． x列表（计算并填写表中空格）： x y „ „ 0.5 1 6 1.5 2 3 2.5 3 2 3.5 4 1.5 5 6 „ „ 根据表中数值描点（x，y）并用平滑曲线连接这些点（图11.1—7）．

从函数图像可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y（三）归纳

描点法画函数图象的一般步骤如下：

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）．（四）思考

6随之减小． x（1）图11．1—8是一种古代计时器——“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的哪个图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系（暂不考虑水量变化对压力的影响）?

（2）a是自变量x取值范围内的任意一个值，过点（a，0）画y轴的平行线，与图中曲线相交．下列哪个图中的曲线（图11．1—9）表示y是x的函数?为什么?

（提示：当x＝a时，x的函数y只能有一个函数值．）（五）练习

1．（1）画出函数y＝2x－1的图象；

（2）判断点A（－2．5，－4），B（1，3），C（2．5，4）是否在函数y＝2x－1的图象上．

2．下图是北京与上海在某一天的气温随时间变化的图象．

（1）这一天内，上海与北京何时温度相同?

（2）这一天内，上海在哪段时间比北京温度高?在哪段时间比北京温度低? 3．（1）画出函数y＝x的图象．

（2）从图象中观察，当x<0时，y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小?当

x>0时呢?

（六）小结

引导学生总结本节的主要知识点．（七）板书设计

函数的图像（一）问题的讨论例题归纳思考练习第四课时

11.1.3函数的图像

我们已经看到或亲自动手用列表格、写式子和画图象的方法表示了一些函数，这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法．

（一）思考

从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优点?

（1）解析法：用含有自变量的代数式表示函数的方法叫做解析法．例如：y=x+1，y6x等，其优点是简明扼要，规范准确，便于分析推导函数性质，不足之处就是有些函数关系，不能用解析式表示．（2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系的方法叫做列表法．其优点是能明显地呈现出自变量与对应的函数值．不足之处是只能列出部分自变量与函数的对应值，难以从表格中看出自变量与函数之间的对应规律．（3）图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法．其优点是形象直观，能清晰呈现函数的一些性质，不足之处是所画的图象是近似的、局部的，从图象上观察的结果也是近似的．针对这三种方法找同学分别举出实例加以说明．

表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用．

（二）例题

例4 一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度． t/时 y/米 0 10 1 10.05 2 10.10 3 10.15 4 10.20 5 10.25 （1）由记录表推出这5小时中水位高度y（单位：米）随时间t（单位：时）变化的函数解析式，并画出函数图象；

（2）据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米．分析：记录表已经通过6组数值反映了时间t与水位y之间的对应关系，我们现在需要从这些数值找出这两个变量之间的一般联系规律，由它写出函数解析式，画出函数图象，进而预测水位．

解：（1）由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高0．05米，这样的变化规律可以表示为

y＝0．05t+10 （0≤t≤7）.

这个函数的图象如图11．1—10中所示．

（2）再过2小时的水位高度，就是t＝5+2＝7时y＝0．05t+10的函数值，从解析式容易算出

y＝0．05³7+10＝10．35．从函数图象也能估出这个值． 2小时后，预计水位高10．35米．（三）归纳

由例4可以看出函数的不同表示法之间可以转化．（四）练习

1.用列表法与解析式法表示n边形的内角和m是边数n的函数． 2.用解析式法表示等边三角形的周长l是边长a的函数．（五）小结

引导学生总结本节的主要知识点．（六）板书设计

函数的图像（二）思考问题例题练习一次函数

教学设计思想

前一节刚刚学习了函数，本节学习一种特殊的函数：一次函数．在本节中由于正比例函数是一次函数的特殊化，因此在学习的过程中要注意一次函数与正比例函数的关系．学习正比例函数的图像特征以及探索一次函数的性质及其简单应用，要使学生多动手操作经历作图过程，认真研究图像的性质．知道求实际问题中的一次函数的解析式的基本思路是：从实际问题中获取信息——分析、处理信息——建立数学模型——解决该数学问题——解答原题．

教学目标知识与技能

能叙述正比例函数、一次函数的意义，并会用解析式表示；会用“待定系数法”确定一次函数的解析式；

能熟练运用一次函数的性质，解决与函数性质有关的应用型问题．过程与方法

结合具体实例，通过观察、交流等自主探究过程，归纳出一次函数与正比例函数的概念，理解一次函数的实质；

经历将一次函数表达式与图像y＝kx＋b结合的探索过程，通过观察与思考、合作探究得出正比例函数、一次函数的性质及其简单应用．

情感态度价值观

初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识；通过本节课的学习，体会数形结合思想的重要性．教学重点和难点

重点是一次函数的图象与性质，以及能解决与函数有关的应用型问题．难点是一次函数的图象与性质教学方法

启发引导、小组讨论课时安排 5课时教具学具准备

投影仪或电脑教学过程设计第一课时复习旧课

前面我们学习了函数的相关知识，回顾函数的相关知识：

函数以及与函数相关的一些概念，函数的图象的画法，函数的三种表达式．引入新课

就象以前我们学习方程、一元一次方程；不等式、一元一次不等式的内容时一样，我们在学习了函数这个概念以后，要学习一些具体的函数，今天我们要学习的是一次函数.先来学习一次函数的一种特殊情况：正比例函数．

（一）问题

我们来看下面的问题：

问题 1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；4个月零l周后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它．

（1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）? （2）这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行时间x（单位：天）之间有什么关系? （3）这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米? 分析：（1）这只燕鸥大约平均每天飞行的路程不少于 25 600÷（30³4＋7）≈200（km）．

（2）假设这只燕鸥每天飞行的路程为200 km，那么它的行程y（单位：千米）就是飞行时间x（单位：天）的函数，函数解析式为

y＝200x （0≤x≤127）．

（3）这只燕鸥飞行1个半月的行程，大约是x=45时函数y＝200x的值，即 y＝200³45＝9 000（km）．

以上我们用函数y＝200x对燕鸥的飞行路程进行了刻画，尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．

同学们来观察式子y＝200x （0≤x≤127）．讨论y与x有怎样的关系．再来思考以下几个问题（二）思考

下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?这些函数有什么共同点? （1）圆的周长l随半径r的大小变化而变化；

（2）铁的密度为7．8g／cm，铁块的质量，m（单位：g）随它的体积V（单位：cm）的大小变化而变化；

（3）每个练习本的厚度为0．5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；

（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化．

可以得出上面问题中的函数分别为：（1）l2r；（2）m＝7．8V；（3）h＝0．5n；（4）T＝－2t．

观察以上几个式子看看自变量与函数之间是什么关系，有什么共同点？（学生一起讨论得出结论）．

（三）归纳

正如函数y＝200x一样，上面这些函数都是常数与自变量的乘积的形式．

一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数（proportional function），其中k叫做比例系数．

提问：k是常数的含义是什么？

答：对于一个特定的函数式，k的值是固定的．（四）小结

引导学生总结出正比例函数的概念．（五）板书设计

正比例函数（一）问题的提出思考问题的解答概念的得出第二课时

我们通过下面的例题来研究函数的图象．先来回顾画函数图像的步骤：列表、描点、连线．（一）例题

例1 画出下列正比例函数的图象：（1）y＝2x；（2）y＝－2x．

解：（1）函数y=2x中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值（填空）；

x y －3 －2 －1 0 1 2 3 画出函数y=2x的图像．（列表、描点、连线）．看看自己画出的图像是否与图11.2—1相同呢？

（2）请同学们独立画出函数y=－2x的图象．观察画出的图像是否与图11.2—2相同呢？

让学生观察上面两个函数的图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．填写发现的规律：两图象都是经过原点的_________.函数y＝2x的图象从左向右

______，经过第______象限；函数y＝－2x的图象从左向右________，经过第_______象限．

（二）分析正比例函数图象的性质

再播放课件：一次函数的图像及其性质．取b=0，改变k的值，让学生观察、交流总结出正比例函数图像的特点．（1.是否都通过原点2.正比例函数的图像是否为一条直线3.函数是增函数还是减函数与k有什么关系．）也可播放课件：画一次函数的图象．

通过以下练习的学习我们来进一步感受正比例函数图像的性质．（三）练习

在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较：（1）y11（2） yx. x；22找学生来板演．其他学生在自己的练习本上练习．（四）小结

引导学生总结出正比例函数的概念，以及正比例函数图象的性质．

一般地，正比例函数的y＝kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们

称它为直线y＝kx．当k>0时，直线y＝kx经过第三、一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当x<0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.

（五）思考

根据函数的图象的性质，我们来考虑以下的问题：

经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象?画正比例函数的图象时，怎样画最简单?为什么?

（六）练习

用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：（1）y3x；（2）y=－3x. 2（七）板书设计

正比例函数（二）例题正比例函数图象的性质练习第三课时 11.2.2一次函数

上个课时我们学习了正比例函数，本课时来学习函数：一次函数．通过学习我们来比较两种函数的区别与联系．

先来看以下问题：（一）问题

某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃，试用解析式表示y与x的关系．

分析：y随x变化的规律是，从大本营向上当海拔增加xkm时，气温从5℃减少6x℃．因

此y与x的函数关系为

y＝5－6x．这个函数也可以写为 y＝－6x＋5．

当登山队员由大本营向上登高0．5km时，他们所在位置的气温就是x＝0．5时函数y＝－6x＋5的值，即y＝－6³0．5＋5＝2（℃）．

同学们来观察式子y＝－6x＋5，观察、讨论y与x有怎样的关系．再来考虑以下问题：（二）思考

下列问题中变量间的对应关系可用怎样的函数表示?这些函数有什么共同点? （1）有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度t（单位：℃）有关，即c的值约是t的7倍与35的差；

（2）一种计算成年人标准体重G（单位：千克）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得差是G的值；

（3）某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费按0．01元／分收取；

（4）把一个长10cm、宽5 cm的长方形的长减少xcm，宽不变，长方形的面积y（单位：cm）随x的值而变化．

可以得出上面问题中的函数解析式分别为：（1）c＝7t－35；（2）G＝h－105；（3）y＝0．01x＋22；（4）y＝－5x＋50．

观察以上几个函数，观察y与x之间是怎样的函数关系，有什么共同点？与正比例函数有什么异同？归纳总结出结论．

（三）归纳

正如函数y＝－6x＋5一样，上面这些函数的形式都是自变量x的k（常数）倍与一个常数的和．

一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数（1inear function）．当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．

提问：k，b是常数的含义是什么？

答：对于一个特定的函数式，k，b的值是固定的．

（四）练习

1．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数? （1）y＝－8x；（2）y＝

82

；（3）y=5x＋6；（4）y＝－0．5x－1． x2．一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2米．

（1）求小球速度v随时间t变化的函数关系式，它是一次函数吗? （2）求第2．5秒时小球的速度．

3．汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y（单位：升）随行驶时间x（单位：时）变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．y是x的一次函数吗?

（五）小结

引导学生总结出一次函数的概念．（六）板书设计

一次函数（一）问题的提出问题的思考归纳出一次函数的概念练习第四课时（一）例题

通过以下例题我们开始学习一次函数的图象，经历画图过程，观察两个函数图象的特点．简单回顾画图步骤（列表、描点、连线）例2 画出函数y=－6x与y=－6x＋5的图象．

解：函数y=－6x与y=－6x＋5中，自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值（填空）：

x y=－6x y=－6x＋5 画出函数y=－6x与y=－6x＋5的图象．

观察自己画出的图象看看是否与图11．2—3中的图象相同?

－2 －1 0 1 2

（二）观察

让学生观察上面两个函数的图象的相同点与不同点．

填出你的观察结果：这两个函数的图象形状都是_________，并且倾斜程度________.函数y=－6x的图象经过原点，函数y=－6x＋5的图象与y轴交于点________，即它可以看作由直线y=－6x向________平移________个单位长度而得到．比较两个函数解析式，试解释这是为什么．

（三）探索一次函数图象的性质

再播放课件：画一次函数的图象．利用这个课件画出不同组的一次函数，每组函数画2个，其中一个取b=0，另一个函数中b取不为0的任意一个数．考虑一次函数y＝kx＋b的图象是什么形状，它与直线y＝kx有什么关系?

比较每组的两个函数的解析式，容易得出：一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx＋b，它可以看作由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）．

（四）例题

例3 画出函数y＝2x－1与y＝－0．5x＋1的图象．

分析：由于一次函数的图象是直线，所以只要确定两个点就能画出它．解 X y=2x－1 y=－0.5x＋1 0 －1 1 1 1 0.5 过点（0，－1）与点（1，1）画出直线y=2x－1过点（0，1）与点（1，0．5）画出直线y=－0.5x＋1 （图11．2－4）．

（五）探究

画出函数y=x＋1，y=－x＋1，y=2x＋1，y=－2x＋1的图象，由它们联想：一次函数解析式y=kx＋b（k，b是常数，k≠0）中，k的正负对函数图象有什么影响？

我们可以找学生画出这些图像，也可以用课件直接演示．引导学生发现规律．多输入几个函数，观察一次函数的图象，可以发现规律：

当k>0时，直线y=kx＋b由左至右上升；当k<0时，直线y=kx＋b由左至右下降．由此填出：一次函数y=kx＋b（k，b是常数，k≠0）具有如下性质：

当k>0时，y随x的增大而___________；当k<0时，y随x的增大而___________；（六）练习课本31页的练习

通过以下例题来学习如何根据点的坐标来求一次函数的解析式．（七）小结

总结出y=kx与y=kx＋b图象的关系，一次函数图象的特点．（八）板书设计

一次函数（二）例题 y=kx与y=kx＋b图象的相同点与不同点一次函数图象的性质练习第五课时

（一）用待定系数法，求一次函数的解析式．

例4 已知一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9），求这个一次函数的解析式．分析：求一次函数y=kx＋b的解析式，关键是求出k，b的值，从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组，并求出k，b．

解：设这个一次函数解析式y=kx＋b．

因为y=kx＋b的图象过点（3，5）与（－4，－9），所以

3kb5 4kb9解得

k2 b1这个一次函数的解析式为y=2x－1.

总结：确定一次函数解析式的主要方法是待定系数法，即先设出式子中的未知系数，再根据已知条件列出方程（组）求出未知系数，从而写出这个式子的方法，其中未知系数也称为待定（等待确定）系数．

通过例3与例4的学习，能从两方面说明一次函数解析式与一次函数图象的关系．

（二）练习

1．已知一次函数y＝kx＋2，当x＝5时y的值为4，求k的值． 2．已知直线y=kx＋b经过点（9，0）和点（24，20），求k，b的值．

在掌握了一次函数的图像、性质等知识后，本课时我们将学习一次函数的应用，本课时是本节的重点与归宿．

（三）解一次函数的应用题

在解一次函数的应用题时，要仔细审题，根据题意列出一次函数．

例5 小芳以200米／分的速度起跑后，先匀加速跑5分，每分提高速度20米／分，又匀速跑10分．试写出这段时间里她的跑步速度y（单位：米／分）随跑步时间x（单位：分）变化的函数关系式，并画出函数图象．

分析：本题y随x变化的规律分成两段（前5分与后10分），写出y随x变化的函数关系式时要分成两部分，画函数图象也要分成两段来画．

解

20x200 (0x<5)y

300 (5x15) 图11.2—5是这个函数的图象．

例6 A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从

A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调运总运费最少?

思考

影响总运费的变量有哪些?由A、B城分别运往C、D乡的肥料量共有几个量?这些量之间有什么关系?

可以发现，A——C，A——D，B——C，B——D运肥料共涉及4个数量．一方面，它们是影响总运费的变量；另一方面，它们互相联系，其中一个量确定后另外三个量随之确定．这样我们就可以设其中一个为变量x，把其他量表示为含x的式子（填空）．

解：设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200－x）吨；B城运往C、D乡的肥料量分别为（240－x）吨与（60＋x）吨．

由总运费与各运输量的关系可知，反映y与x之间关系的函数为 y＝20x＋25（200－x）＋15（240－x）＋24（60＋x）．化简得

y＝4x＋10 040（0≤x≤200）．

由解析式与图象（图11．2—6）可看出：当x＝0时，y有最小值10 040．

因此，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值为10 040元．

解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中某个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．

（四）练习

从A、B两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水13万吨，A、B两水库各可调出水14万吨．从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米．设计一个调运方案使水的调运量（单位：万吨²千米）最小．

（五）小结

引导学生总结本节的主要知识点（六）板书设计

一次函数（三）用待定系数法求一次函数的解析式解一次函数的一些应用题练习

用函数观点看方程（组）与不等式教学设计

教学设计思想

本节在知识上在注重一次函数与方程、不等式、二元一次方程（组）的横向联系，以便学生学会把一次函数纳入相应的知识网络；使学生通过动手操作，从形与数两个角度体会一次函数与方程、不等式、二元一次方程（组）的内在联系。在思维方法上注重数形结合，双向思维。最后通过练习巩固这部分知识。

教学目标知识与技能

通过数形结合领悟一次函数与一元一次方程及一元一次不等式、二元一次方程（组）之间的联系；

通过具体问题初步体会运用函数、方程（组）及不等式解决有关的问题；提高分析问题解决问题的能力、综合运用知识的能力。过程与方法

通过动手操作、小组讨论从形与数两个角度体会一次函数与方程、不等式、二元一次方程（组）的内在联系。

情感态度价值观

通过本节课的学习，加强新知识的联系，体会数形结合的思想。教学重难点

重点：一次函数与一元一次方程及一元一次不等式、二元一次方程（组）之间的联系；难点：通过具体问题初步体会运用函数、方程（组）及不等式解决有关的问题。教学方法

启发式教学，学生探索为主教学用具多媒体课时安排 3课时教学过程设计

学习本节知识之前，必须将函数、方程（组）及不等式的内容进行全面复习，做好知识储备。

第一课时回顾：

一次函数的定义。一次函数的图象

11.3.1一次函数与一元一次方程（一）一次函数与一元一次方程的关系我们先来看下面两个问题有什么关系：（1）解方程2x＋20＝0．

（2）当自变量x为何值时函数y＝2x＋20的值为0?

在问题（1）中，解方程2x＋20＝0，得x＝－10；解问题（2）就是要考虑当函数y＝2x＋20的值为0时，所对应的自变量x为何值，这可以通过解方程2x＋20＝0，得出x＝－10．因此这两个问题实际上是同一个问题．

从函数图象上看，直线y＝2x＋20与x轴交点的坐标是（－10，0）（图11．3—1），这也说明，方程2x＋20＝0的解是x＝－10．

可以找学生画出函数的图像，也可以通过课件演示。（二）思考

由上面两个问题的关系，能进一步得到“解方程ax＋b＝0（a，b为常数）”与“求自变量x为何值时，一次函数y＝ax＋b的值为0”有什么关系?

让学生以小组的形式进行讨论，畅所欲言，结合图象总结出两者之间的关系。由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与x轴交点的横坐标的值．

（三）例题

例l 一个物体现在的速度是5米／秒，其速度每秒增加2米／秒，再过几秒它的速度为17米／秒?

解法1：设再过x秒物体的速度为17米／秒．列方程

2x＋5＝17．解得 x＝6。

解法2：速度y（单位：米／秒）是时间x（单位：秒）的函数 y＝2x＋5．由

2x＋5＝17，得

2x－12＝0．

由图11．3—2，看出直线y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x＝6．

（用课件可直接画出函数的图象，看出一次函数的图象与横轴的交点，从而解出x的值）（四）小结

引导学生总结出一次函数与一元一次方程的关系（五）板书设计一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程的关系例题第二课时回顾：

1.一次函数的定义。 2.一次函数的图象。

3.直线y=kx+b与方程的联系。

那么一次函数与一元一次不等式是怎样的关系呢？本节课研究一次函数与一元一次不等式的关系。

通过幻灯片的第2、3页引入本节知识。 11.3.2一次函数与一元一次不等式（一）一次函数与一元一次不等式的关系看下面两个问题有什么关系：（1）解不等式5x＋6>3x＋10．

（2）当自变量x为何值时函数y＝2x－4的值大于0?

在问题（1）中，不等式5x＋6>3x＋10可以转化为2x－4>0，解这个不等式得x>2；解问题（2）就是要解不等式2x－4>0，得出x>2时函数y＝2x－4的值大于0，因此这两个问题实际上是同一个问题．从直线y=2x－4（图11．3—3）可以看出，当x>2时这条直线上的点在x轴的上方，即这时y＝2x－4>0．

思考

由上面两个问题的关系，能进一步得到“解不等式ax＋b>0”与“求自变量x在什么范围内，一次函数y=ax＋b的值大于0”有什么关系?

通过观察、思考、小组讨论得出这两个问题实质是一个问题。想一想幻灯片4中的问题。（二）例题

例2 用画函数图象的方法解不等式5x＋4<2x＋10．

解法1：原不等式化为3x－6<0，画出直线y＝3x－6（图11．3—4），可以看出，当x<2时这条直线上的点在x轴的下方，即这时y＝3x－6<0，所以不等式的解集为x<2．解法2：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y＝5x＋4与直线y＝2x＋10（图11.3—5），可以看出，它们交点的横坐标为2，当x<2时，对于同一个x，直线y＝5x＋4上的点在直线y＝2x＋10上相应点的下方，这时5x＋4<2x＋10，所以不等式的解集为x<2．

关于这两种解法，让学生实际画出图象，找出问题的答案。教师通过课件演示出这些直线的图象，让学生验证自己所画的是否正确。

（三）归纳

虽然像上面那样用一次函数图象来解方程或不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解，这种用函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要．

（四）练习

1．当自变量x的取值满足什么条件时，函数y＝3x＋8的值满足下列条件? （1）y=0；（2）y＝－7；（3）y>0；（4）y<2． 2．利用函数图象解出x：

（1）5x－1=2x＋5；（2）6x－4<3x＋2．（五）小结

引导学生总结出一次函数与一元一次不等式的关系（六）板书设计

一次函数与一元一次不等式一次函数与一元一次不等式的关系例题练习第三课时

11.3.3一次函数与二元一次方程（组）

举例说明什么是二元一次方程？它的解个数如何？举出几组。

（学生给出一个方程，如3x＋5y＝8，且任意给出几组解）二元一次方程的解与相应的一次函数图象上点对应。

看到3x＋5y＝8这个方程，同学们能联想到以前学过的哪些知识?

设计说明：教师不直接将其转化成一次函数表达式，而是让学生大胆去联想，留给学生较为广阔的思维空间。

学生独立思考，合作交流，能联系到一次函数yx一次函数有一定关系。

（有困难时，教师适当提示）

（一）一次函数与二元一次方程（组）的关系这节课我们就一起来讨论他们之间的关系。我们知道，方程3x＋5y＝8可以转化为yx358，认识到二元一次方程和535838，并且直线yx上每个555点的坐标（x，y）都是方程3x＋5y＝8的解．由于任意一个二元一次方程都可以转化为y＝

kx＋b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线。

解二元一次方程组

3x+5y=8 2xy=1可以看作求两个一次函数yx358与y=2x－1图象的交点坐标（图11．3—6），因5此我们可以用画图象的方法解二元一次方程组．

由以上我们学习了一种求二元一次方程组得方法，只要把两个二元一次方程转化为两个一次函数，画出两个一次函数的图象，找出交点坐标即可。

总结出一次函数与二元一次方程（组）组的联系，放映幻灯片5、6、7、8。

一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．

综上所述，一次函数与二元一次方程（组）有密切的联系．（二）例题

例3 一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0．1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分0．05元的价格按上网时间计费．如何选择收费方式能使上网者更合算?

分析：计费与上网时间有关，所以可设上网时间为x分，分别写出两种计费方式的函数模型，然后再做比较．

解法1：设上网时间为x分，若按方式A则收y=0.1x元；若按方式B则收y=0.05x＋20元．

在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图象（图11．3—7）．

y0.1xx400解方程组得所以两图象交于点（400，40）

y0.05x20y40由图象易知：

当0400时，0．1x>0．05x＋20．

因此，当一个月内上网时间少于400分时，选择方式A省钱；当上网时间等于400分时，

选择方式A、方式B没有区别；当上网时间多于400分时，选择方式B省钱．

解法2：设上网时间为x分，方式B与方式A两种计费的差额为y元，则y随x变化的函数关系式为

y=（0.05x＋20）－0.1x，化简得

y＝__________。

在直角坐标系中画出这个函数的图象（图11．3—8）．

解方程－0．05x＋2＝0，得出直线y＝－0．05x＋20与x轴的交点为（400，0）．由函数图象得：

当_______时，y>0，即选方式_______省钱；当_______时，y＝0，即方式A，B________；当_______时，y<0，即选方式________省钱．由此可得选择方案（略）．（三）归纳

方程（组）、不等式与函数之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来。解决问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把它们结合起来使用。

（四）练习

在一元一次方程一章中，我们曾考虑过下面两种移动电话计费方式：月租费本地通话费全球通 50元/月 0.40元/分神州行 0 0.60元/分用函数方法解答如何选择计费方式更省钱。（五）小结

引导学生总结出一次函数与一元一次不等式的关系（六）板书设计

一次函数与二元一次方程（组）一次函数与二元一次方程（组）的关系例题练习小结与复习教学设计

教学设计思想

以小组讨论的形式通过学生的合作交流总结出本章的知识结构，本节的主要内容是1.确定函数解析式。2.函数的应用题。设计这种类型的习题加以巩固。

教学目标知识与技能

回顾本章主要内容，说出知识之间的联系；

归纳解决实际问题的一般过程积累数学活动的经验，发展归纳与概括的能力。过程与方法

以小组讨论的形式对本章的知识进行系统梳理，总结出本章的知识点。情感态度价值观

通过对本章知识结构的回顾，进一步感受知识之间的紧密联系。教学重点和难点

重点是①确定函数解析式；②函数的应用题；难点是知识的实际应用。教学方法小组讨论法

以小组为单位，在总结讨论的基础上，使学生掌握本章的内容。课时安排 1课时教学媒体多媒体教学过程设计（一）知识结构

通过学生的合作交流总结出本节的知识结构

（二）回顾与思考

1.为了研究变化的世界，我们引入了函数。在同一变化的过程中两个相互制约、相互依存的量x，y满足什么条件时，y是x的函数？举出一些函数的实例。

2.举例说明函数有哪几种表示法，它们各有什么优点？

3.举例说明一次函数y=kx+b中的常数k对图象的影响，结合图象说明一次函数的性质。由一次函数的图象怎样求出它的解析式？

4.一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组与一次函数之间有什么关系？怎样用函数图象解方程（组）或解不等式？

5.体会怎样建立实际问题的函数模型。（三）例题课本49页1～5题

课件例（一）、例（二）、例（三）。确定函数解析式

1. （2004年²四川眉山）已知，如图11—1，一轮船在离A港10千米的P地出发向B地匀速行驶，30分钟后离A港26千米（未到达B港）．设出发x小时后，轮船离A港y千米（未到达B港），则y与x之间的函数关系式为_______________.

解析求出轮船的速度即可表示出y与x之间的函数关系．答案 y=32x+10

2.已知一次函数的图象经过点（0，1），且图象与x轴、y轴所围成的三角形的面积为2，求一次函数的解析式．

解析首先设出函数解析式，由图象过点（0，1）可得b＝1．然后根据三角形面积公式列出关于k的方程求得k值．

答案设所求的一次函数解析式为y＝kx+b．

因为直线y＝kx+b经过点（0，1），所以b＝1．所以y＝kx+1．

令y＝0，则x11.所以直线y＝kx+l与x轴的交点坐标为(,0) kk所以

11112，解得k=± 2k4所以一次函数的解析式为y函数应用题

11x1或yx1 441.如图11—2所示，是某公司一电热淋浴器水箱的水量y（L）与供水时间x（min）的

函数关系。

（1）求y与x的函数关系式；

（2）在（1）的条件下，求在30 min时水箱有多少L水?

解析（1）由图象可知y与x成一次函数关系，设出解析式列方程组求解；（2）求当x＝30时的函数值即得答案．

答案（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b．因为直线y＝kx+b过点（10，50）和点（50，150），

10kb50k2.5解得所以

50kb150b25所以y=2.5x+25

（2）当x＝30时，y＝2．5³30＝100（L），即30 min时水箱有100 L水．

2.为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其

中每台价格、月处理污水量及年消耗费如下表：

A型 B型价格（万元/台）处理污水量（吨/月）年消耗费（万元/台） 12 240 1 10 200 1 经预算，该企业购买设备资金不高于105万元．（1）请你为该企业设计，能有几种设计方案?

（2）若企业每月生产污水量为2 040吨，为了节约资金，应选用哪种购买方案?购买资金为多少?

解析列出关于x的不等式，求不等式的自然数解即可解决本题．答案设购买污水处理设备A型x台，则B型（10－x）台．根据题意，得12x+10（10－x）≤105．解得x≤2．5．因为x为自然数，所以x＝0或1或2．所以共有3种方案：

方案1：购买A型0台，B型10台；方案2：购买A型l台，B型9台；方案3：购买A型2台，B型8台。

（2）由题意，得240x+200（10－x）≥2 040．解得x≥1．所以x=1或2．当x=1时，购买资金为12³l+10³9=102（万元）；当x=2时，购买资金为12³2+10³8=104（万元）.

所以应选择方案2、方案3，购买资金分别为102万元和104万元．感触中考

1.（2003年²甘肃）一次函数的图象经过点（1，2），且y随x的增大而增大，则这个函数解析式是__________（任写一个），解析本题是结论开放题，答案不唯一，该类型是近几年中考命题热点，目的在于考查学生思维的灵活性。

答案 y=2x或y=x+1

2. （2004年²福州市）如图11—3，l1、l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用）y（费用=灯的售价+电费，单位：元）与照明时间x（小时）的函数图象，假设两种灯泡的使用寿命都是2 000小时，照明效果一样．

（1）根据图象分别求出l1、l2的函数关系式；（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等?

（3）小亮房间计划照明2 500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法（直接给出答案，不必写出解答过程）．解析（1）由图象可得知l1、l2分别经过两点，因此设出解析式列出方程组可求得函数解析式；（2）列出关于x的方程；（3）根据所求出的函数关系式设计用灯方法．

答案（1）设直线l1的解析式为y1=k1x+b1，因为直线l1经过点（0，2）和点（500，17），

所以17500k1b1k10.03解得

b12b12所以y1=0.03x+2（0≤x≤2000）.

同理求得直线l2的解析式l2＝0．012x+20（0≤x≤2 000）．（2）当y1=y2时，两种灯的费用相等．所以0．03x+2＝0.012x+20．解得x=1 000．

所以当照明时间为1 000小时时，两种灯的费用相等．（3）节能灯使用2 000小时，白炽灯使用500小时．（四）小结

引导学生总结本节的收获。（五）板书设计

小结与复习知识结构回顾与反思例题

教学目标教学重点教学过程

第十五章整式的乘除与因式分解

理解同底数幂的乘法法则,运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.通过“同底数幂的则”的推导和应用，•使学生初步理解特殊到般再到特殊的认知规律正确理解同底数幂的乘法法则以及适用范围

（一）回顾幂的相关知识

an的意义：

an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，•n是指数．（二）创设情境，感觉新知

1．问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？ 2．学生分析：【1】 3．得到结果：1012×103=(1010)=1015． 10)×（10×10×10）=(101012个103

15个104．通过观察可以发现10、10这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘

据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法．（三）自主研究，得到结论 1．学生动手：计算下列各式：（1）25×22 （2）a3·a2 （3）5m·5n（m、n都是正整数）【2】 2．引导学生：注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述． 3．得到结论：（1）特点：这三个式子都是底数相同的幂相乘．

相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．

（2）一般性结论：

am·an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得： am·an=(aaa)·(aaa)=aaa=am+n

m个an个a(m+n)个a a·a=a（m、n都是正整数），即为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加

（3）分析：底数不变，指数要降一级运算，变为相加．

底数不相同时，不能用此法则（两种情况除外）【3】（四）巩固成果，加强练习例1：计算：

（1）x2·x5 （2）a·a6 （3）xm·x3m+1

mnp

例2：（1）2×24×23 （2）a·a·a【4】

mnm+n

练习：课本P142练习

（五）深入分析

1.我们刚才讲到，只有底数相同时，才可以用此法则进行运算，但有两歌特例，这节课我们先涉及其中的一个：底数互为相反数。例：计算：（-a）2³a6 【1】练习：（-a）2³a4 （-

1316

）³ 222．当底数为一个多项式的时候，我们可以把这个多项式看成一个整体

例：计算（a+b）2×(a+b)4×[-(a+b)]7

5322

练习：（m-n）3×(m-n)4×(n-m)7 a2³a³a+a³a³a （六）小结：

同底数幂的乘法的运算性质，• 进一步体会了幂的意义．

了解了同底数幂乘法的运算性质．

同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．

注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；

二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即am·an=am+n（m、n是正整数）．

（七）板书设计

§15．1．1 同底数幂的乘法

一．同底数幂的乘法法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即am·an=am+n（m、n都是正整数）

二．例题讲解：（由学生板演）

课题§15.1.2幂的乘方

教学目标：经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展

推理能力和

有条理的表达能力。了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际

问题

教学重点：会进行幂的乘方的运算，幂的乘方法则的总结及运用。

教学过程

（一）回顾同底数幂的乘法 am·an=am+n（m、n都是正整数）（二）自主探索，感知新知【1】 424

6表示_________个___________相乘. (6)表示_________个___________相乘. 323

a表示_________个___________相乘. (a)表示_________个___________相乘. （三）推广形式，得到结论 1．（am）n表示_______个________相乘

=________³________³„³_______³_______ =__________

即（am）n= ______________(其中m、n都是正整数) 【2】 2．通过上面的探索活动,发现了什么?

幂的乘方,底数__________,指数__________.

（四）巩固成果，加强练习例：计算：（1）（103）5 （2）[（

234

）]（3）[（－6）3]4 3（4）（x2）5 （5）－（a2）7 （6）－（as）3 练习：P143 练习

例：判断题，错误的予以改正。（1）a5+a5=2a10 （）（2）（s3）3=x6 （）（3）（－3）2²（－3）4=（－3）6=－36 （）（4）x3+y3=（x+y）3 （）

（5）[（m－n）3]4－[（m－n）2]6=0 （）

【巩固刚刚学习的新知识。在此基础上加深知识的应用.】

（五）新旧综合

在上节课我们讲到，同底数幂相乘在不同底数时有两个特例可以进行运算，上节我们讲了一种情况：底数互为相反数，这节我们研究第二种情况：底数之间存在幂的关系

323

例：计算 2³4³8

例：计算（x3）4²x2 2（x2）n－（xn）2 [（x2）3]7 （六）提高练习：计算 5（P3）4·（－P2）3+2[（－P）2]4·（－P5）2 [（－1）m]2n+1m-1+02002―（―1）1990 若（x2）m=x8，则m=______ 若[（x3）m]2=x12，则m=_______ 若xm·x2m=2，求x9m的值。若a2n=3，求（a3n）4的值。已知am=2,an=3,求a2m+3n的值. （七）附加练习

42442

[-(x+y)3]4 (an+1)2×(a2n+1)3 (-32)3 a3³a³a+(a)+2(a) (xm+n)2×(-xm-n)3+x2m-n×(-x3)m

(八) 小结：会进行幂的乘方的运算。

课题§15.1.3积的乘方

教学目标：经历探索积的乘方的运发展推理能力和有条理的表达能力．学习积的乘方的

运算法则，提高解决问题的能力．进一步体会幂的意义．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题

教学重点：积的乘方运算法则及其应用．幂的运算法则的灵活运用．

教学过程

（一）回顾旧知识 1．同底数幂的乘法 2．幂的乘方

（二）创设情境，引入新课

1．问题：已知一个正方体的棱长为2³103cm，•你能计算出它的体积是多少吗？ 2．学生分析（略） 3．提问：

体积应是V=（2³103）3cm3 ，结果是幂的乘方形式吗？底数是2和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，它是积的乘方。积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？•有前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥秒．（三）自主探究，引出结论

1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a( )b( ) （2）（ab）3=______=_______=a( )b( )

（3）（ab）n=______=______=a( )b( )（n是正整数） 2．分析过程：（1）（ab）2 =（ab）·（ab）= （a·a）·（b·b）= a2b2，【1】（2）（ab）3=（ab）·（ab）·（ab）=（a·a·a）·（b·b·b）=a3b3；（3）（ab）n=(ab)(ab)(ab)=(aaa)·(bbb)=anbn

n个abn个an个b3．得到结论：积的乘方：（ab）n=an·bn（n是正整数）

把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积． 4．积的乘方法则可以进行逆运算．即： an·bn=（ab）n（n为正整数）【2】

an·bn=(aaa)·(bbb)──幂的意义

n个an个b =(ab)(ab)(ab)──乘法交换律、结合律

n个(ab)n

＝（a·b） ──乘方的意义

同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．（四）巩固成果，加强练习例：（1）（2a）3 （2）（-5b）3 （3）（xy2）2 （4）（-2x3）4 练习：P144 的练习（五）综合练习

2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7 (3xy2)2+(-4xy3) · (-xy) (-2x3)3·(x2)2 (-x2y)3+7(x2)2·(-x)2·(-y)3 [(m-n)3]p·[(m-n)(m-n)p]5 (0.125)7×88 (0.25)8×410 2m×4m×(

121m) 8 已知10m=5,10n=6,求102m+3n的值

（六）小结：1.总结积的乘方法则，理解它的真正含义。 2．幂的三条运算法则的综合运用

课题§15.1.4整式的乘法

教学目标：探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则，

并运用它们进行运算．让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、

主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力

教学重点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则教学过程

第一课时：

（一）知识回顾：回忆幂的运算性质：

am·an=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn (m，n都是正整数) （二）创设情境，引入新课

1．问题：光的速度约为3³10千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5³10秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?【1】

2．学生分析解决：(3³10)³(5³10)=(3³5)³(10³10)=15³10【2】 3．问题的推广：如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，如何计算？【3】 ac5·bc2=(a·c5)·(b·c2)=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2 =abc7 （三）自己动手，得到新知

1．类似地，请你试着计算：(1)2c5·5c2；(2)(-5a2b3)·(-4b2c)【4】

2．得出结论：单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（四）巩固结论，加强练习

例：计算：（-5ab）²（-3a）（2x）²（-5xy）

练习：P145 练习1，2 附加练习：

1.小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米? 2．2abc(2ab) (3x)x (-10xy)(2xyz) (-2xy)(-3xy)(-3. 3(x-y)²[-23

3223231xy) 44334

(y-x)][ -(x-y)] 1524.判断：单项式乘以单项式，结果一定是单项式（）

两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积（）两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积（）

两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现（） 5.计算：0.4x2y·（

1xy）2-（-2x）3·xy3 26.已知am=2,an=3,求(a3m+n)2的值求证：52·32n+1·2n-3n·6n+2能被13整除（五）小结

第二课时：

（一）知识回顾：

单项式乘以单项式的运算法则（二）创设情境，提出问题

1．问题：三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品，它们在一个月内的销售量(单位：瓶)，分别是a,b,c。你能用不同方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？ 2．学生分析：【1】

3. 得到结果：一种方法是先求三家连锁店的总销售量，再求总收入，即总收入为：________________

另一种方法是先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和即总收入为：________________ 所以：m(a+b+c)= ma+mb+mc

4．提出问题：根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法吗？（三）总结结论【2】

单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：m(a+b+c)= ma+mb+mc

（四）巩固练习

例： 2a2·(3a2-5b) (ab2ab)2321(3x+1); ab) (-4x2) ·

2练习：P146 练习1，2 （五）附加练习

1．若(-5am+1b2n-1)(2anbm)=-10a4b4，则m-n的值为______ 2．计算：(a3b)2(a2b)3

3. 计算：(3a2b)2+(-2ab)(-4a3b)

524xy)(xy22xyy) 233227225．计算：(-3xy)(5xy)6x(xy2y)

24. 计算：(-6．已知a2,b3,求3ab(ababab)ab(2a3ab2a)的值 7．解不等式：2x(x1)(3x2)x2xx1

8．若2x3xm与xmx2的和中不含x项，求m的值，并说明不论x取何值，它的值总是正数（五）小结

22222222第三课时：

（一）回顾旧知识

单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则（二）创设情境，感知新知

1．问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米，求扩地以后的面积是多少？

2. 提问：用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同的表示方法之间有什么关系?【1】

3．学生分析 4．得出结果：方法一：这块花园现在长(a+b)米，宽(m+n)米，因而面积为(a+b)(m+n)2

米．

方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：am米、an米、bm

222

米、bn米，故这块绿地的面积为(am+an+bm+bn)米．

(a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一块绿地的面积，所以有(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 【2】（三）学生动手，推导结论

1. 引导观察：等式的左边(a+b)(m+n)是两个多项式(a+b)与(m+n)相乘，把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式(a+b)与(m+n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做． 2．学生动手：

3. 过程分析：(a+b)(m+n)

=a(m+n)+b(m+n) ----单³多 =am+an+bm+bn ----单³多

4.得到结论：【3】多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所

得的积相加．

（四）巩固练习

例：(x2y)(x2xy3y) (2x5)(x5x6) 【4】

练习：(3x1)(x2) (x-8y)(x-y) (xy)(x-xyy) P148 练习1

2222

例：先化简，再求值：(a-3b)+(3a+b)-(a+5b)+(a-5b)，其中a=-8,b=-6 练习：化简求值：(x2)(x3)3(x1)(x1)(2x1)(2x3)，其中x=

222224 5一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少? （五）深入研究

1.计算：①(x+2)(x+3)；②(x-1)(x+2)；③(x+2)(x-2)；④(x-5)(x-6)；

⑤(x+5)(x+5)；⑥(x-5)(x-5)；并观察结果和原式的关系

2．学生分析

3．结合P177练习第2题图，直观认识规律，并完成此题．附加题：

1．(x2)(x3)x(x1)22

(x1)(x6)(x5)(x2)2. 求证：对于任意自然数n，n(n5)(n3)(n2)的值都能被6整除

3. 计算：(x+2y-1)

4. 已知x-2x=2，将下式化简，再求值．

(x-1)+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)

5. 小明找来一张挂历画包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c

厘米，小明想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小明应该在挂历画上裁下多大面积的长方形?

（六）小结

课题§15.2.1平方差公式

教学目标：经历探索平方差公式的过程．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运

算，培养学生观察、归纳、概括的能力．

教学重点：平方差公式的推导和应用．理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．教学过程

（一）学生动手，得到公式

1. 计算下列多项式的积．

（1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1）（4）（x+5y）（x-5y） 2．提出问题：

观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？ 4．特点：

等号的一边：两个数的和与差的积，等号的另一边：是这两个数的平方差 5．再试一试：

【学生自己出相似的题目加以验证】 6．得到结论

（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．

即（a+b）（a-b）=a-b

【1】

（二）熟悉公式

1．下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？【2】

(2a3b)(2a3b) (2a3b)(2a3b) (2a3b)(2a3b) (2a3b)(2a3b) (abc)(abc) (abc)(abc)

3．认清公式：在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的集团是a，变号的是b （三）运用公式

1．直接运用

例：（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y）【3】 2．简便计算例：（1）102³98【3】（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） 3．练习： P153 练习1，2

(x2y)(2yx) (2x5)(52x) (0.5x)(x0.5)(x20.25) (x6)2(x6)2【4】 100.5³99.5 99³101³10001 （四)公式的几何关系【1】附加题：

1．证明：两个连续奇数的积加上1一定是一个偶数的平方

2．求证：(m5)2(m7)2一定是24的倍数（五）小结

课题§15．2．1 平方差公式

一、

探究、归纳规律──平方差公式

文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差

符号语言：（a+b）（a-b）=a-b 二．1．用简便方法计算 2．计算：三、应用、升华：

课题§15.2. 2完全平方公式

教学目标：完全平方公式的推导及其应用．完全平方公式的几何解释．视学生对算理

的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．

教学重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用教学过程

第一课时

（一）提出问题，学生自学

1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a²a，那么（a+b）2 应该写成什么样的

形式呢？（a+b）的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______；

（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______； 2．学生探究【1】 3．得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1 （m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4 （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1 （m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+4

4．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2²p²1，4m=2²m²2，恰好是两个

数乘积的二倍。（1）（2）之间只差一个符号。

推广：计算（a+b）2=_____ ___ （a-b）2=_____ ___ 【2】

（二）得到公式，分析公式

1．结论： (a+b)=a+2ab+b (a-b)=a-2ab+b

22 222

即：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．

2.几何分析：【3】

图（1），可以看出大正方形的边长是a+b，它是由两个小正方形和两个矩形组成，•所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．【4】（三）运用公式

（四）直接运用【1】

例：应用完全平方公式计算：（1）（4m+n）2 （2）（y-

）（3）（-a-b）2 （4）（b-a）2 2练习：P155 练习1，2

（五）简便计算【2】

例：运用完全平方公式计算：

（1）1022 （2）992

练习：计算： 50.012 49.92 附加练习：

计算： (4xy) (3ab4abc) (5x ）2=

222210xy2y4

(3ab)(3ab) (x121) (x)2 xx12y 4在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？

x24x4 116a2 x21 x2xyy2 9x23xy

（六）小结完：全平方公式的结构特征．

公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．

板书设计§15．3．2．1 完全平方公式

一、1.探究公式：（a±b）2=a2±2ab+b2 2.完全平方公式的几何意义：二、应用举例：利用完全平方公式计算：三、巩固练习

四、小结

第二课时：（添括号法则在公式里的运用）

（一）回顾完全平方公式

(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2

（二）提出问题，解决问题

1．在运用公式的时候，有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体，把另外一个

多项式看作另外一个整体。例如：(abc)(abc)和(abc)2，这就需要在式子里添加括号。那么如何加括号呢？它有什么法则呢？它与去括号有何关系呢？【1】

2．解决问题：在去括号时：a（bc)abc a(bc)abc

反过来，就得到了添括号法则：

abca(bc) abca(bc)

3．理解法则：

如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负

号，括到括号里的各项都改变符号．

也是：遇“加”不变，遇“减”都变． 4．运用法则：【2】

（1）a+b-c=a+（）（2）a-b+c=a-（）（3）a-b-c=a-（）（4）a+b+c=a-（） 2．判断下列运算是否正确．（1）2a-b-

cc=2a-（b-）（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b） 22 （3）2x-3y+2=-（2x+3y-2）（4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）

5．总结：

添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算

前后代数式的值都保持不变，•所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．

（三）在公式里运用法则【3】

例：计算：（1）（x+2y-3）（x-2y+3）（2）（a+b+c）2 （3）（x+3）2-x2 （4）（x+5）2-（x-2）（x-3）练习：P156练习1，2

计算：(ab2c) (abc)(abc) 、（四）两公式的综合运用

例：如果kx36x81是一个完全平方公式，则k的值是多少？【4】练习：如果4xkx36是一个完全平方公式，则k的值是多少？例：如果xy4，那么(xy)(xy)的结果是多少？【5】

练习：已知ab5 ab1.5，求ab和 (ab)的值已知x2222222222221113，求x22和(x)2的值 xxx222已知ab-7 ab12，求ab-ab和 (ab)的值

附加：证明(2n1)25能被4整除

（五）小结：利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算，灵活运

用公式进行运算

板书设计§15．2.2 完全平方公式

一、去括号法则：a+（b+c）=a+b+c a-（b+c）=a-b-c

添括号法则：a+b+c=a+（b+c） a+b+c=a-（-b-c） 1．填空：（略） 2．判断下列运算是否正确：

2 （1）方法一：用去括号法则验证．方法二：用添括号法则验证．二、乘法公式的深化应用．

例：计算（1）（x+2y-3）（x-2y+3）（2）（a+b+c）2

（六）（3）（x+3）2-x2（4）（x+5）2-（x-2）（x-3）

课题§15.3.1同底数幂的除法

教学目标：同底数幂的除法的运算法则及其原理和应用，发展有条理的思考及表达能力。

培养探索讨论、归纳总结的方法．

教学重点：准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．教学过程

(一) 创设情境，感知新知

1．问题：一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M=210K）•的移动存储

器能存储多少张这样的数码照片？

2．分析问题：移动器的存储量单位与文件大小的单位不一致，所以要先统一单位．移动存

储器的容量为26³210=216K．所以它能存储这种数码照片的数量为2

816

÷28．【1】

163．问题迁移：由同底数幂相乘可得：222，所以根据除法的意义

216÷28 =28

84．感知新知：这就是我们本节需要研究的内容：同底数幂的除法【2】

(二) 学生动手，得到公式

1．计算：（）²28=216（2））²53=55（3）（）²105=107（4）（）²a3=a6 【3】 2．再计算：（1）216÷28=（）（2）55÷53=（）（3）107÷105=（）（4）a6÷a3=（） 3．提问：上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？【4】

4．分析：同底数幂相除，底数没有改变，商的指数应该等于被除数的指数减去除数的指数．【5】 5．得到公式：同底数幂相除，•底数不变，指数相减．即：am÷an=am-n．（a0）【6】 6．提问：指数m,n之间是否有大小关系？【m，n都是正整数，并且m>n】【7】

(三) 巩固练习

例：（1）x8÷x2 （2）a4÷a （3）（ab）5÷（ab）2 练习：P160 练习1，2，3 ）提出问题：

1．提问：在公式要求 m，n都是正整数，并且m>n，但如果m=n或m3．得到结论：由除法可得：32÷32=1 103÷103=1 am÷am=1（a≠0）

利用am÷an=am-n的方法计算．

32÷32=32-2=30 103÷103=103-3=100 am÷am=am-m=a0（a≠0）这样可以总结得a0=1（a≠0）【2】

于是规定：a0=1（a≠0）即：任何不等于0的数的0次幂都等于1．【3】 4．最终结论：同底数幂相除：am÷an=am-n（a≠0，m、n都是正整数，且m≥n）．【4】（四）加强训练

1．计算：(c)(c) (xy)053m3(xy)2 x10(x)2x3

2．若(2a3b)1成立，则a,b满足什么条件？ 3．若10x7y,1049，则102xy等于？ 404．若(2xy5)无意义，且3x2y10，求x,y的值

（五）小结：

利用除法的意义及乘、除互逆的运算，揭示了同底数幂的除法的运算规律，并能运用运算法则解决简单的计算问题

板书设计§15．3．1 同底数幂的除法

一、am²an=am+n（m、n是正整数）二、同底数幂的除法运算法则：

同底数幂相除，底数不变，指数相减．

即：am÷an=am-n（a≠0，m、n都是正整数且m≥n）规定：a0=1 （a≠0）

三．计算

课题§15.3.2整式的除法

教学目标：单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则及其应用和它们的运算

算理，发展有条理的思考及表达能力，提倡多样化的算法，培养学生的创新精神与能力．教学重点：单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则及其应用

教学过程

第一课时

（一）创设情境，感知新知

1．问题：木星的质量约是1．90³1024吨．地球的质量约是5.08³1021吨．•你知道木星的

质量约为地球质量的多少倍吗？ 2．学生分析【1】

3．得到新知：．这是除法运算，木星的质量约为地球质量的（1.90³1024）÷（5.98³1021）

1.9010241.90102421=0．318³103 倍．（1.90³10）÷（5.98³10）=215.98105.981024

这也是本节课的研究方向：单项式除以单项式

（二）学生动手，得到法则

1. 学生计算：仿照上述的计算方法，计算下列各式：【2】

8a3÷2a 5x3y÷3xy 12a3b2x3÷3ab2．

2. 分析特点：（1）单项式相除是在同底数幂的除法基础上进行的。（2）单项式除以单项式

可以分为系数相除；同底数幂相除，只在被除式里含有的字母三部分运算．【3】 3. 得到结论：单项式相除，（1）系数相除，作为商的系数，

（2）同底数幂相除，

（3）对于只在被除数式里含有的字母，连同它的指数作为商

的一个因式。【4】

（三）巩固练习

例：（1）28x4y2÷7x3y （2）-5a5b3c÷15a4b （3）（2x2y）3²（-7xy2）÷14x4y3 （4）5（2a+b）4÷（2a+b）2

练习：P162 练习1，2 附加练习：

1．计算：6xyz16xy (0.5a3b)5(32432754513211ab) a5b3(a3b)(3a)2 22423 5xy(15xy) (6xyz3xy) 化简求值：求4xyxyxy(xy2xy)53433322的值，其中x2,y3

（四）小结：

1．单项式的除法法则

2．应用单项式除法法则应注意： ①系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号；

②把同底数幂相除，所得结果作为商的因式，由于目前只研究整除的情况，所以被除式中某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数；

③被除式单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏；

④要注意运算顺序，有乘方要先做乘方，有括号先算括号里的，同级运算从左到右的顺序进行．

第二课时：

(一) 回顾单项式除以单项式法则 (二) 学生动手，探究新课

222

1. 计算下列各式：(1)(am+bm)÷m；(2)(a+ab)÷a；(3)(4xy+2xy)÷2xy． 2. 提问：①说说你是怎样计算的 ②还有什么发现吗? 3. 分析：以(am+bm)÷m 为例：【1】

(ambm)m(ambm)1 -------除法转化成乘法

m= --------乘法分配律 (三) 总结法则

1．多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 2．本质：把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式【2】

(四) 解决问题【3】

例：(1)(12a3-6a2+3a)÷3a；

(2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)； (3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x 练习：P163 练习1，2 (3xy)x2x(3xy)2322312y9x4y2 (x2y)(x2y)4(xy)6x

2化简求值：已知x2y2008，求(3x2y)(3x2y)(x2y)(5x2y)8x的值

(2xy)2y(y4x)8x2x

(五) 小结

1．单项式的除法法则

2．应用单项式除法法则应注意： ①系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号；

②把同底数幂相除，所得结果作为商的因式，由于目前只研究整除的情况，所以被除式中某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数；

③被除式单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏；

④要注意运算顺序，有乘方要先做乘方，有括号先算括号里的，同级运算从左到右的顺序进行．

⑤多项式除以单项式法则

课题§15．4．1 提公因式法

教学目标:因式公解的概念，和整式乘法的关系，公因式的相关概念，用提公因式法

分解因式，学会逆向思维，渗透化归的思想方法

教学重点:1. 因式公解 2. 公因式 3. 提公因式法分解因式教学过程

第一课时

（一）提出问题，感知新知

1．问题：把下列多项式写成整式的乘积的形式

（1）x2+x=_________ （2）x2-1=_________ （3）am+bm+cm=_ _ 【1】 2．得到结果,分析特点：根据整式乘法和逆向思维原理，

（1）x2+x=x（x+1）（2）x2-1=（x+1）（x-1）（3）am+bm+cm=m（a+b+c）分析特点：等号的左边：都是多项式等号的右边：几个整式的乘积形式【2】

（二）得到新知1

1. 总结概念：像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式

分解，也叫把这个多项式分解因式

2. 与整式乘法的关系：是整式乘法的相反方向的变形【3】

注意：因式分解不是运算，只是恒等变形形式：多项式=整式1³整式2²³²²³整式n

3. 强化训练：下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？【4】

(1)x-3x+1=x(x-3)+1 ；

(2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)； (3)2m(m-n)=2m-2mn；(4)4x-4x+1=(2x-1)；

(5)3a+6a=3a（a+2）；(6)x43x(x2)(x2)3x (7)x1x(12

21)；(8)18a3bc=3a2b²6ac。 x4. 分解范围：在不同的范围内，分解的结果是不一样的【5】例如：x44，在有理数范围里是：(x22)(x22)

在实数范围里是： (x2)(x2)(x2)

（三）得到新知2

1.分析例题： x2+x am+bm+cm

（1）中各项都有一个公共的因式x，（2）中各项都有一个公共因式m, 2．因此，我们把每一项都含有的因式叫做：公因式 3．认识公因式

例：多项式 14mn7mn28mn的公因式是？【1】练习：找出公因式：

3223324a2b23ab28ab3c 7(2x3y)214(2x3y)321(2x3y)5

12x2xyxz 10x3y2z335xy3z215x2yz 2（四）小结

板书设计§15．4．1 提公因式法

一、理解概念

1．分解因式2．公因式

二、例题讲解

[例1]（略） [例2]（略）

三．随堂练习

四．小结

第二课时

（一）回顾旧知识 1．因式分解 2.公因式

（二）学生动手，总结方法

1．我们上节课已经学习了公因式，下面请大家根据自己的理解完成下列的因式分解把8a3b2-12ab3c分解因式 2．学生动手

3．分析过程：①先确定公因式：4ab ②然后用每一项去除以公因式

③结果：4ab2(2a2b3bc) 4．总结方法：以上①②③的分解过程的方法叫做提取公因式

（三）加强练习例：因式分解：

2a（b+c）-3（b+c） 3x3-6xy+x

-4a3+16a2-18a 6（x-2）+x（2-x）练习：P167 练习1，2 例：简便计算：

24641610.513-21.251-102 7772711练习：25.61324.40.213-1340 P167练习3

55 31.751（四）附加练习

3ax2a2xax 15x4y20x3y35x2y3 x2yxy2xy 5(x2)2a(2x) (xy)3(xy)2(xy)

(2a3b)(7xy)(x5y)(3b2a) a(x3)b(3x)c(x3)

423.12446.27 2.13.143.140.73.14

5求证：若n为正整数，则3n23n能被24整除

小结提取公因式的方法思考：提取公因式法的适用范围课题§15．4．2公式法

教学目标:运用平方差公式和完全平方公式分解因式，能说出平方差公式和完全平方公式

的特点，会用提公因式法与公式法分解因式．培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法．并能说出提公因式在这类因式分解中的作用，能灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分解的标准。

教学重点:1．平方差公式 2.完全平方公式 3.灵活运用3种方法教学过程

第一课时

（一）提出问题，得到新知 1. 观察下列多项式：x4和y25，

2. 问题：（1）它们有什么共同特点吗？（2）能否进行因式分解？你会想到什么公式？【1】 3. 学生动手

4. 总结：（1）它们有两项，且都是两个数的平方差（2）会联想到平方差公式 5. 公式逆向：ab(ab)(ab)

如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．【2】

（二）熟悉，运用公式例：填空：【3】

222242

b=（）2 （3）0.16a4=（）2 914 （4）1.21a2b2=（）2 （5）2x4=（）2 （6）5x4y2=（）2

49 （1）4a2=（）2 （2）

例：下列多项式能否用平方差公式进行因式分解【4】

-1.21a20.01b2 4a2625b2 16x549y4 -4x236y2

例：因式分解：4x9 (xp)(xp) 例：因式分解：xy abab 【5】练习：P168 练习1，2 （三）巩固练习因式分解： xxy

2424244222331292ab (2x3y)2(3x2y)2 5203 5ma5mb 3xy3xy a4ba2b axaxaxa

简便计算：429171 5152448524

（四）小结

1．平方差公式 2．适用范围 3．和提取公因式的综合 1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式．

2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．

222232323．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，•则需要进一步分解因式．直到每个多项式因式都不能分解为止．板书设计 §15．4.2 公式法（一）

一、1．复习提公因式法分解因式． 2．将a2-b2分解因式．

用平方差公式分解因式：a2-b2=（a+b）（a-b）

二、例题讲解 [例2]略二、小结

第二课时：

（一）回顾旧知识：平方差因式分解

（二）提出问题，得到新知

1．问题：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，•分析和推测运用完全平方公式

分解因式吗？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？【1】

2．能否把下列各式分解因式？（1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2 你会想到什么公式？ 3．分析：整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式

乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．即：

a22abb2(ab)2

4．公式特点：多项式是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍

或这两个数的积的2倍的相反数。（三）熟悉运用公式

例：下列各式是不是完全平方式？【2】

（1）a2-4a+4 （2）x2+4x+4y2 （3）4a2+2ab+

12b 4（4）a2-ab+b2 （5）x2-6x-9 （6）a2+a+0.25 例：分解因式：

（1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y2 例：分解因式：【3】

（1）3ax2+6axy+3ay2 （2）（a+b）2-12（a+b）+36 练习：P170练习1，2

（四）巩固练习

因式分解：2x4x2x ma4ma4m 9(2ab)6(2ab)1

43222a48a2b216b4 16y240xy(ab)25x2(ab)2 2ax28axy8ay2 a2＋2ab＋b2－a－b

(四)小结

第三课时：因式分解的综合练习

一、因式分解：【1】

1．(3a2b)4c 2．(ab)4ab 3．(ab)2(ab)(ab) 4．20(xy)xy 5．2m(ab)ab 6．xyxy1

22222222222227．xyxyxy 8．4x3y3xy4x

二、因式分解的应用【2】

1．若4xkx49y可以分解成完全平方的形式，则k=？

2．已知在三角形ABC的三条边为a,b,c，且三边满足等式abcabbcac，

则三角形ABC的形状

3．当x=？时，代数式x2x3有最小值为多少？ 4．设x为任意有理数，求证：x2x5恒大于零 5．已知在三角形ABC的三条边为a,b,c，且三边满足等式

222222233222a2b2c233810a24b26c，则三角形ABC的形状

6．已知在三角形ABC的三条边为a,b,c，试判断a2-b2-c2-2bc的符号 7．比较大小：x1和 xx xy 和xyxy【3】

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