高等数学等价无穷小替换

无穷小 极限的简单计算

【教学目的】

1、理解无穷小与无穷大的概念；

2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】

1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较；

3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】

重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】

一、无穷小与无穷大

1.定义

前面我们研究了n数列xn的极限、x（x、x）函数fx的极限、xx0（xx0、xx0）函数f(x)的极限这七种趋近方式。下面

.

.

我们用

x＊表示上述七种的某一种趋近方式，即

＊nxxxxx0xx0xx0

定义：当在给定的x＊下，f(x)以零为极限，则称f(x)是x＊下的无穷小，即limfx0。

x＊例如, limsinx0, 函数sinx是当x0时的无穷小.

x0lim110, 函数是当x时的无穷小. xxx(1)n(1)nlim0, 数列{}是当n时的无穷小. nnn【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

定义： 当在给定的x＊下，fx无限增大，则称fx是x＊下的无

都是无穷大量， 穷大，即limfx。显然，n时，n、n2、n3、x＊【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如

limex0， limex ，

xx所以ex当x时为无穷小，当x 时为无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果fx为无穷大， 则

11为无穷小；反之，如果fx为无穷小，且fx0，则为无穷大。 fxfx小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

.

.

3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 limf(x)=A?f(x)x®x0xA+(x),其中(x)是自变量在同一变化过

程xx0（或x）中的无穷小.

证：（必要性）设limf(x)=A,令(x)=f(x)-A,则有lim(x)=0,

x®x0x®x0f(x)A(x).

（充分性）设f(x)=A+(x),其中(x)是当x®x0时的无穷小，则

xlimf(x)=lim(A+(x)) Alim(x) A.

x0xx0xx0【意义】

（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); （2）给出了函数f(x)在x0附近的近似表达式f(x)»A,误差为(x). 3.无穷小的运算性质

定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

1 但n个1之和为1不是无穷小. 例如,n时,是无穷小，nn定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如：lim(1)nn1110，limxsin0，limsinx0 x0xxnx推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

二、无穷小的比较

例如，当x®0时,x,x2,sinx,x2sin1都是无穷小，观察各极限： x.

.

x2lim0,x2比3x要快得多; x03xlimsinx1,sinx与x大致相同;

x0x1x2sinxlimsin1不存在.不可比. limx0x0xx2极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.

1．定义: 设,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且¹0.

=0,就说是比高阶的无穷小,记作=o(); (2)如果limC(C0),就说与是同阶的无穷小;

特殊地如果lim=1,则称与是等价的无穷小，记作~;

(3)如果limk=C(C?0,k0),就说是的k阶的无穷小.

(1)如果lim例1 证明:当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.

4xtan3xtanx3证：lim4lim()4,故当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小. 4x0x0xx例2 当x0时,求tanxsinx关于x的阶数. 解limtanxsinxtanx1cosx1,tanxsinx为x的三阶无穷小. lim()x0x02x3xx22．常用等价无穷小:当x0时,

（1）sinx～x； （2）arcsinx～x； （3）tanx～x； （4）arctanx～x； （5）ln(1x)～x； （6）ex1～x

x2（7）1cosx～ （8）(1x)1～x （9）ax-1～lna*x

2用等价无穷小可给出函数的近似表达式:

lim1,lim0,即o(),于是有o(). 1例如sinxxo(x),cosx1x2o(x2).

2.

.

3．等价无穷小替换 定理：设~,~且lim存在,则limlim. 证：limlim()limlimlimlim.

tan22xex1.； （2）lim例3 （1）求lim x0cosx1x01cosx2(2x)212解: （1）当x0时,1cosx~x,tan2x~2x. 故原极限=lim= 8

x®0122x2x2（2）原极限=limx0x22=1

2例4 求limtanxsinx. 3x0sin2xxx=0

x0(2x)3错解: 当x0时,tanx~x,sinx~x.原式lim正解: 当x0时,sin2x~2x,tanxsinxtanx(1cosx)~13x12故原极限=lim. x®0(2x)31613x, 2【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。 例5 求limtan5xcosx1.

x0sin3x12xo(x2). 2o(x)1o(x2)1225x5x+o(x)+x+o(x)x2x5. 2原式=limlimx®0x0o(x)33x+o(x)3x解: tanx5xo(x),sin3x3xo(x),1cosx三、极限的简单计算

1. 代入法：直接将xx0的x0代入所求极限的函数中去，若fx0存在，

.

.

2x53x42x12；若fx0不存在，我们也能知道属即为其极限，例如limx193x32x4x29于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，lim就代不进去了，但

x3x3我们看出了这是一个

0型未定式，我们可以用以下的方法来求解。 02. 分解因式，消去零因子法

x29limx36。 例如，limx3x3x33. 分子（分母）有理化法 例如，limx2532x15limx2x2x2532x12x15

52x15x53x2532x24 lim

x22x4 limx2x2 x22x21x1x2 2 又如，limxx21xlimx0

4. 化无穷大为无穷小法

1-3x+x-7x例如，lim2=limx2x-x+4x2-1+x23+7x2=3，实际上就是分子分母同时除以x2422x这个无穷大量。由此不难得出

a0，nmba0xma1xm1am0lim0，nm xbxnbxn1b01n，nm

.

.

又如，lim1xx21limxx1x（分子分母同除x）。 1，21x212n5nn55再如，limn，（分子分母同除）。 lim1nn35nn315n5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限 例如，limxarctanx1（无穷小量乘以有界量）。 0，x3x2x14x1又如，求lim2.

x1x2x3解：lim(x22x3)0,商的法则不能用

x1x22x300. 又lim(4x1)30,limx1x14x13由无穷小与无穷大的关系,得limx14x1.

x22x3再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。 6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5） 7. 分段函数、复合函数求极限

1x,x0例如，设f(x)2,求limf(x).

x0x1,x0解: x0是函数的分段点,两个单侧极限为

x0limf(x)lim(1x)1,limf(x)lim(x21)1,

x0x0x0左右极限存在且相等, 故limf(x)1.

x0【启发与讨论】 思考题1：当x?0时,y11sin是无界变量吗？是无穷大吗？ xx.

.

解：(1)取x012k2(k0,1,2,3,)

, 当k充分大时,y(x0)M.无界， 21(2)取x0(k0,1,2,3,)

2k当k充分大时,xk, 但y(xk)2ksin2k 0M.不是无穷大．

y(x0)2k结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.

思考题2：若f(x)0，且limf(x)A，问：能否保证有A0的结论？试举例

x说明.

解：不能保证. 例f(x)11 x0, f(x)0 limf(x)

xxx1A0. xxlim思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？

解：不能．例如当x时f(x)但lim较.

【课堂练习】求下列函数的极限

excosx（1）lim；

x0x.

1sinx都是无穷小量 ,g(x)xxxg(x)limsinx不存在且不为无穷大，故当x时f(x)和g(x)不能比f(x)x.

excosxex11cosxlimlim1 解：原极限=limx0x0x0xxx1x （2）求limx0(1cosx)ln(1x)3sinxx2cos0【分析】 “”型，拆项。

011223sinxxcos3sinxxcos3x=limx= 解：原极限=limx02x2x2x02x5x54x43x2（3）lim ；

x2x54x1【分析】“抓大头法”，用于

型 543355x55xx解：原极限=lim=，或原极限=lim5= x412x22x2x4x5（4）lim(x2xx)；

x【分析】分子有理化 解：原极限=limxx2xxx=limx1 211x11=

x21) （5）lim(2x2x4x2【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。

x2x2x21x13)=lim解：lim(2== limx2x4x2x2x2x2x244（6）limx2x932x0

【分析】“子。

.

0”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因0.

解：原极限=lim（7）求lim(nx2x0x293=6 2x12n). 222nnn解: n时,是无穷小之和．先变形再求极限.

1n(n1)12n12n1112. lim(222)limlim(1)lim22nnnnn2nnn2nn【内容小结】

一、无穷小（大）的概念

无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:

(1) 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；

（2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大. 二、无穷小的比较:

1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。

2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法, 注意适用条件. 三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;

a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限;

.

.

c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.

.