一、选择题
1．已知集合A＝{x|x∈Z|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝（ ） A．{﹣1，0，1}
B．{0，1}
C．{﹣1，0，1，2} D．{x|﹣1≤x≤2}
2．复数z＝a+bi（a，b∈R）是（2+i）（1+2i）的共轭复数，则a+b＝（ ） A．5
B．﹣5
C．5i
D．﹣5i
3．设命题p：有的平行四边形是菱形，则￢p为（ ） A．所有平行四边形都不是菱形 B．有的菱形不是平行四边形 C．有的平行四边形不是菱形 D．不是菱形的四边形不是平行四边形 4．已知双曲线
＝1，则它的渐近线方程为（ ）
A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±4x D．y＝±x
，则a5＝（ ）
D．9
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝1，A．3
B．5
C．7
6．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的值一个实例．若输入的n＝4，v＝5，x＝2，则该程序框图计算的是（ ）
A．1•2+2•22+3•23+4•24+5•25 B．1+2•21+3•22+4•23+5•24
C．0•2+1•2+2•2+3•2+4•2 D．0•2+1•2+2•2+3•2+4•2
2
3
4
5
01234
7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝2c，的面积为（ ） A．1
B．3
C．
，，则△ABCD．
8．已知直线a，b与平面α，β满足a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，则下列命题中正确的是（ ） A．α⊥β是a⊥b的充分不必要条件 B．a⊥l是α⊥β的充要条件
C．设α⊥β，则a⊥b是a⊥l的必要不充分条件 D．设α⊥β，则a⊥b是a⊥l的既不充分也不必要条件
9．在边长为1的正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若
+A．3
，则λ+μ的最大值是（ ）
B．2
3
＝λ
C．2 D．4
10．已知函数f（x）＝（x﹣6）cosωx（ω＞0），若存在a∈R，使得f（x+a）为奇函数，则ω的值可能为（ ） A．
B．
C．
D．
11．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）+xf'（x）＞1（f'（x）为函数f（x）的导函数），则不等（1+x）f（1﹣x2）＞f（1﹣x）+x的解集为（ ） A．（0，1）
C．（0，1）∪（1，+∞）
B．[1，+∞） D．（0，+∞）
12．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P，Q，R在C上，且△PQR的重心为F，则|PF|+|QF|的取值范围为（ ） A．（3，）∪（，5] C．（3，4）∪（4，）
B．[4，）∪（，5] D．[3，5]
二、填空题：本题共4小艇，每小题5分，共20分.
13．已知函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f（x）﹣g（x）＝x3+3x2+3x，则f（﹣2）+g（2）＝ ．
14．已知x，y满足，则z＝2x+y的最大值为 ．
15．在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AD是BC边上的中线，将△ABD沿AD折起，使二面角
C﹣AD﹣B等于120°，则四面体ABCD外接球的体积为 ．
16．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝0，＝ ；S2n＝ ． 三、解答题（共5小题，满分60分）
17．如表给出的是某城市2015年至2018年，人均存款x（万元），人均消费y（万元）的几组对照数据：
人均存款x（万元） 人均消费y（万元）
2015 0.6 0.35
2016 0.7 0.45
2017 0.8 0.45
2018 0.9 0.55 ，则a2n（1）试建立y关于x的线性回归方程；如果该城市2019年的人均存款为1.1万元，请根据回归方程预测2019该城市的人均消费；
（2）计算R2＝1﹣，并说明线性同归方程的拟合效果．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝
，＝﹣
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝
．
（1）求AE，AF；（用θ表示） （2）求△EAF的面积S的最小值．
，点E，F分别在边BC，CD上，∠FAE＝，
19．如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，侧面B1BCC1是矩形，BB1＝2BC，
E为AA1的中点，平面ECC1⊥平面ABCD．
（1）证明：CC1⊥平面ABCD；
（2）判断二面角B﹣EC﹣B1是否为直二面角，不用说明理由； （3）求二面角B﹣EC﹣C1的大小．
20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点（1，）且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，左焦点为F，过F的直线l与C交于M、N两点（M和N均不在坐标轴上），直线AM、AN分别与y轴交于点P、Q，直线BM、BN分别与y轴交于点R、S，求证：
为定值，并求出该定值．
21．已知函数f（x）＝x2﹣ax+1﹣e﹣x（a∈R）． （1）讨论函数g（x）＝exf（x）的单调性； （2）证明：当a＞1时，函数f（x）有三个零点．
（二）选考题：共10分，请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y2＝2y，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）设点M（ρ，α）在曲线C2上，直线OM交曲线C1于点N，求|OM|•|ON|的最小值． [选修4-5不等式选讲]
23．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c． （1）当a＝b＝c＝1时，求不等式f（x）＞5的解集； （2）若f（x）的最小值为1，求a+b+c的值，并求
的最小值．
参考答案
二、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{x|x∈Z|x﹣x﹣2≤0}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝（ ） A．{﹣1，0，1}
B．{0，1}
C．{﹣1，0，1，2} D．{x|﹣1≤x≤2}
2
【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
解：A＝{x∈Z|﹣1≤x≤2}＝{﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}， ∴A∩B＝{﹣1，0，1}． 故选：A．
2．复数z＝a+bi（a，b∈R）是（2+i）（1+2i）的共轭复数，则a+b＝（ ） A．5
B．﹣5
C．5i
2
D．﹣5i
【分析】推导出（2+i）（1+2i）＝2+i+4i+2i＝5i，从而z＝a+bi＝﹣5i，由此能求出
a+b的值．
解：∵复数z＝a+bi（a，b∈R）是（2+i）（1+2i）的共轭复数， （2+i）（1+2i）＝2+i+4i+2i2＝5i， ∴z＝a+bi＝﹣5i， ∴a＝0，b＝﹣5， ∴a+b＝﹣5． 故选：B．
3．设命题p：有的平行四边形是菱形，则￢p为（ ） A．所有平行四边形都不是菱形 B．有的菱形不是平行四边形 C．有的平行四边形不是菱形 D．不是菱形的四边形不是平行四边形
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：有的平行四边形是菱形，则￢p为：所有平行四边形都不是菱形． 故选：A．
4．已知双曲线＝1，则它的渐近线方程为（ ）
A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±4x D．y＝±x
【分析】直接利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线的渐近线方程即可． 解：因为双曲线故选：A．
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝1，A．3
B．5
C．7
，则a5＝（ ）
D．9
，则它的渐近线方程为：y＝±2x．
【分析】根据题意，设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的前n项和公式可得
＝﹣＝（a1+）﹣（a1+d）＝＝3，解可得d的值，
进而由等差数列的通项公式分析可得答案． 解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d， 若
，则
＝
﹣
＝（a1+
）﹣（a1+d）
＝＝3，
解可得：d＝2， 则a5＝a1+4d＝1+8＝9； 故选：D．
6．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的值一个实例．若输入的n＝4，v＝5，x＝2，则该程序框图计算的是（ ）
A．1•2+2•22+3•23+4•24+5•25 B．1+2•21+3•22+4•23+5•24
C．0•20+1•21+2•22+3•23+4•24 D．0•2+1•22+2•23+3•24+4•25
【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i＝0时，不满足条件i＞0，跳出循环，即可得解． 解：输入n＝4，v＝5，x＝2，则 第一次：i＝n＝4，v＝5•2+4；i＝3
第二次：i＝3，v＝（5•2+4）•2+3＝5•22+4•2+3，i＝2
第三次：i＝2，v＝（5•22+4•2+3）•2+2＝5•23+4•22+3•2+2，i＝1
第四次：i＝1，v＝（5•23+4•22+3•22+2）•2+1＝5•24+4•23+3•22+2•2+1，i＝0 跳出循环， 故选：B．
7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝2c，的面积为（ ） A．1
B．3
C．
D．
，
，则△ABC【分析】由已知利用余弦定理可求b，c的值，根据三角形的面积公式即可求解． 解：∵b＝2c，
，
，
，
∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得6＝b2+c2﹣bc＝4c2+c2﹣2c•c＝3c2，解得c＝可得b＝2
，
∴S△ABC＝bcsinA＝故选：D．
＝．
8．已知直线a，b与平面α，β满足a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，则下列命题中正确的是（ ） A．α⊥β是a⊥b的充分不必要条件 B．a⊥l是α⊥β的充要条件
C．设α⊥β，则a⊥b是a⊥l的必要不充分条件 D．设α⊥β，则a⊥b是a⊥l的既不充分也不必要条件
【分析】在A中，α⊥β是a⊥b的不充分不必要条件；在B中，a⊥l是α⊥β的充分不必要条件；在C中，设α⊥β，则a⊥b是a⊥l的必要不充分条件；在D中，设α⊥β，则a⊥b是a⊥l的必要不充分条件．
解：由直线a，b与平面α，β满足a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，知： 在A中，α⊥β是a⊥b的不充分不必要条件，故A错误； 在B中，a⊥l是α⊥β的充分不必要条件，故B错误；
在C中，设α⊥β，则a⊥b是a⊥l的必要不充分条件，故C正确； 在D中，设α⊥β，则a⊥b是a⊥l的必要不充分条件，故D错误． 故选：C．
9．在边长为1的正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若
+A．3
，则λ+μ的最大值是（ ）
B．2
C．2
D．4
＝λ
【分析】根据题意，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，可得A、B、C、
D的坐标以及直线BD的方程，进而可得圆C的方程，据此设P的坐标为（1+
1+
sinθ）；由向量的坐标公式可得
cosθ，1+
、
、
cosθ，
的坐标，又由向量的坐标计算公式
cos
可得（1+θ，μ＝1+
sinθ）＝λ（1，0）+μ（0，1），进而可得λ＝1+
（cosθ+sinθ）＝2+sin（θ+
sinθ；则有λ+μ＝2+），据此分
析可得答案．
解：根据题意，如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系： 则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）， 则BD的方程为x+y＝1，
点C为圆心且与BD相切的圆C，其半径r＝d＝则圆C的方程为（x﹣1）+（y﹣1）＝；
2
2
＝，
P在圆C上，设P的坐标为（1+
则若
＝（1，0），＝λ
+
cosθ，1+＝（1+
sinθ）， cosθ，1+
sinθ），
＝（0，1），，则（1+
cosθ，1+sinθ；
sinθ）＝λ（1，0）+μ（0，1），
则有λ＝1+λ+μ＝2+
cosθ，μ＝1+
（cosθ+sinθ）＝2+sin（θ+）≤3，
即λ+μ的最大值为3； 故选：A．
10．已知函数f（x）＝（x﹣6）3cosωx（ω＞0），若存在a∈R，使得f（x+a）为奇函数，则ω的值可能为（ ） A．
B．
C．
3
D．
【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（x+a）＝（x﹣6+a）cos[ω（x+a）]，由奇函数的性质分析可得a＝6，进而可得6ω＝kπ，则ω＝
，据此分析选项可得答案．
解：根据题意，函数f（x）＝（x﹣6）3cosωx，f（x+a）＝（x﹣6+a）3cos[ω（x+a）]， 若存在a∈R，使得f（x+a）为奇函数，必有a＝6， 则f（x+a）＝f（x+6）＝x3cos[ω（x+6）]，
必有6ω＝kπ，则ω＝当k＝2时，ω＝故选：B．
，（k∈Z）
；ACD都不能满足k∈Z；
11．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）+xf'（x）＞1（f'（x）为函数f（x）的导函数），则不等（1+x）f（1﹣x2）＞f（1﹣x）+x的解集为（ ） A．（0，1）
C．（0，1）∪（1，+∞）
B．[1，+∞） D．（0，+∞）
【分析】构造函数g（x）＝xf（x）﹣x，根据条件判断g（x）在R上的单调性，然后不等式（1+x）f（1﹣x2）＞f（1﹣x）+x，分x＝1，x＞1和x＜1三种情况得到不等式的解集．
解：令g（x）＝xf（x）﹣x，则g'（x）＝f（x）+xf'（x）﹣1， ∵定义域为R的函数f（x）满足f（x）+xf'（x）＞1， ∴g'（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增，
当x＝0时，由f（x）+xf'（x）＞1，知f（0）＞1，
∴当x＝1时，显然不等式（1+x）f（1﹣x）＞f（1﹣x）+x成立，
当x＞1时，由（1+x）f（1﹣x2）＞f（1﹣x）+x，得g（1﹣x2）＜g（1﹣x）， ∴1﹣x2＜1﹣x，∴x＞1，
当x＜1时，由（1+x）f（1﹣x2）＞f（1﹣x）+x，得g（1﹣x2）＞g（1﹣x）， ∴1﹣x2＞1﹣x，∴0＜x＜1， 综上，不等式的解集为（0，+∞）． 故选：D．
12．抛物线C：y＝4x的焦点为F，点P，Q，R在C上，且△PQR的重心为F，则|PF|+|QF|的取值范围为（ ） A．（3，）∪（，5] C．（3，4）∪（4，）
B．[4，）∪（，5] D．[3，5]
2
2
【分析】根据重心坐标公式求出R的坐标xR＝3﹣（xP+xQ），yR＝﹣（yp+yQ），设线PQ为x＝ky+m，与抛物线方程联立用m，k求出表示出R的坐标，结合抛物线的方程，求出
k的取值范围，进而得出结论．
解：由题意知：焦点F（1，0），重心坐标公式：1＝∴xR＝3﹣（xP+xQ），yR＝﹣（yp+yQ）， 设直线PQ为x＝ky+m， 由
，，
，联立消去x，得y2﹣4ky﹣4m＝0，△＝16k2+8（3﹣8k2）＞0，得0≤，
yP+yQ＝4k，yPyQ＝﹣4m，
所以xP+xQ＝（kyP+m）+（kyQ+m）＝k（yP+yQ）+2m＝4k+2m， 故xR＝3﹣（xP+xQ）＝3﹣4k2﹣2m，yR＝﹣4k，
代入抛物线C得16k2＝4（3﹣4k2﹣2m），得2m＝3﹣8k2， 由|PF|+|QF|＝xP+xQ+2＝4k2+2m+2＝5﹣4k2， 由0≤
，
，
2
点F（1，0）不在直线PQ上，所以1≠m，即k2故|PF|+|QF|∈（3，）故选：A．
二、填空题：本题共4小艇，每小题5分，共20分.
，
13．已知函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f（x）﹣g（x）＝x3+3x2+3x，则f（﹣2）+g（2）＝ ﹣2 ．
【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣2）﹣g（﹣2）的值，结合g（x）的奇偶性可得f（﹣2）+g（2）＝f（﹣2）﹣g（﹣2），据此计算可得答案．
解：根据题意，f（x）﹣g（x）＝x3+3x2+3x，则f（﹣2）﹣g（﹣2）＝（﹣2）3+3×（﹣2）+3×（﹣2）＝﹣2；
又由函数g（x）是奇函数，则g（﹣2）＝﹣g（2）， 故f（﹣2）+g（2）＝f（﹣2）﹣g（﹣2）＝﹣2； 故答案为：﹣2
2
14．已知x，y满足，则z＝2x+y的最大值为 3 ．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
解：，在坐标系中画出图象，
三条线的交点分别是A（﹣1，﹣1），B（，），
C（2，﹣1），
在△ABC中满足z＝2x+y的最大值是点C，代入得最大值等于3． 故答案为：3．
15．在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AD是BC边上的中线，将△ABD沿AD折起，使二面角
C﹣AD﹣B等于120°，则四面体ABCD外接球的体积为 π ．
【分析】由题意可知折起的三棱锥是一条侧棱垂直于底面的棱锥，由题意求出高AD及底面外接圆的半径，再由三棱锥的外接球的球心为过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，求出外接球的半径，进而求出外接球的体积． 解：因为AB＝AC，D为CB的中点， 所以AD⊥BC，
在折起的过程中，AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D， 所以AD⊥面BDC，
因为二面角C﹣AD﹣B等于120°， 所以∠BDC＝120°，且BD＝CD＝在三角形BDC中可得BC＝2BD•cos设底面三角形的外接圆的半径为r，
＝2，AD＝
＝
，
＝4
，
则2r＝，所以r＝，
三棱锥的外接球的球心为过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点， 设外接球的半径为R， 则R＝r+（所以R＝
2
2
）＝+8＝，
2
，
所以外接球的体积V＝故答案为：
π．
＝，
16．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝0，2
2n﹣1
，则a2n＝ ﹣
；S2n＝ ．
【分析】令n＝2k﹣1，k∈N•，根据递推关系即可求得a2n，令n＝2k，k∈N•，则可得到奇数项均为0，进而由等比数列的前n项和公式求得S2n． 解：令n＝2k﹣1，k∈N•，则∴∴
；
•
，
，
令n＝2k，k∈N，则∴∴
故答案为：﹣22n﹣1，
．
，
，即数列{an}的奇数项均为0，
．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．如表给出的是某城市2015年至2018年，人均存款x（万元），人均消费y（万元）的
几组对照数据：
人均存款x（万元） 人均消费y（万元）
2015 0.6 0.35
2016 0.7 0.45
2017 0.8 0.45
2018 0.9 0.55
（1）试建立y关于x的线性回归方程；如果该城市2019年的人均存款为1.1万元，请根据回归方程预测2019该城市的人均消费；
（2）计算R2＝1﹣，并说明线性同归方程的拟合效果．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝
，＝﹣
【分析】（1）由已知数据求得与的值，则线性回归方程可求，把x＝1.1代入线性回归方程，求得y值得答案； （2）由回归方程计算得：
，
，
，
，再由公式R2
＝1﹣求得R，进一步说明线性回归方程的拟合效果．
2
解：（1），，
，．
∴所求回归方程为当x＝1.1时，
．
，
∴预计该国家2019年的人均存款为0.66万元；
（2）由回归方程计算得：，，，．
∴，
．
由R＝0.9接近1，说明拟合效果较好． 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝
．
（1）求AE，AF；（用θ表示） （2）求△EAF的面积S的最小值．
，点E，F分别在边BC，CD上，∠FAE＝
，
2
【分析】（1）根据AB＝1，BC＝可；
（2）由条件可知
，分别在Rt△ABE和Rt△ADF中，求出AE和AF即
＝，然后根据θ的范围，利用
余弦函数的图象与性质求出S的最小值． 解：（1）在Rt△ABE中，∵AB＝1，∴
．
在Rt△ADF中，∵，∴．
（2）＝＝，
∵∴当
，∴时，
．
，∴，
19．如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，侧面B1BCC1是矩形，BB1＝2BC，
E为AA1的中点，平面ECC1⊥平面ABCD．
（1）证明：CC1⊥平面ABCD；
（2）判断二面角B﹣EC﹣B1是否为直二面角，不用说明理由； （3）求二面角B﹣EC﹣C1的大小．
【分析】（1）连结AC，A1C1，BD，平面ECC1即为平面C1CAA1，推导出BD⊥AC，CC1⊥BD，
CC1⊥BC，由此能证明CC1⊥平面ABCD．
（2）二面角B﹣EC﹣B1是直二面角．
（3）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣C1的大小．
解：（1）证明：连结AC，A1C1，BD，平面ECC1即为平面C1CAA1， ∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
又平面ECC1⊥平面ABCD，平面ECC1∩C1CAA1，BD⊂平面ABCD， ∴BD⊥平面ECC1，又CC1⊂平面ECC1，∴CC1⊥BD， ∵侧面B1BCC1是矩形，∴CC1⊥BC， 又BD∩BC＝B，∴CC1⊥平面ABCD． （2）解：二面角B﹣EC﹣B1是直二面角． （3）解：由（1）知CC1⊥CD，CC1⊥BC，CD⊥BC，
故以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
B（0，1，0），E（1，1，1），D（1，0，0），C（0，0，0），
＝（1，1，1），
＝（0，1，0），
设平面EBC的法向量＝（x，y，z）， 则
，取x＝1，得＝（1，0，﹣1），
由（1）知BD⊥平面ECC1，∴∴cos＜
＞＝
＝（1，﹣1，0）是平面ECC1的一个法向量， ＝，
由（2）知二面角B﹣EC﹣C1的平面角是钝角， ∴二面角B﹣EC﹣C1的大小为120°．
20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点（1，）且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，左焦点为F，过F的直线l与C交于M、N两点（M和N均不在坐标轴上），直线AM、AN分别与y轴交于点P、Q，直线BM、BN分别与y轴交于点R、S，求证：
为定值，并求出该定值．
【分析】（1）由离心率及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；
（2）设直线l的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，写出AM，AN的方程由题意求出P，Q的坐标，求出PQ的值，同理由题意求出RS的值，进而求出比值为定值． 解：（1）由题意知：
，e＝＝，a＝b+c，解得：a＝4，b＝3，
2
2
2
2
2
所以椭圆的方程为：＝1；
（2）证明：由（1）得：A（﹣2，0），B（2，0），F（﹣1，0），由题意显然l的斜率不为0，
所以设直线l的方程为：x＝my﹣1，设M（x'，y'），N（x''，y''）， 联立与椭圆的方程整理得：（4+3m2）y2﹣6my﹣9＝0，y'+y''＝直线AM的方程为：y＝
（x+2）令x＝0，y＝
，y'y''＝
， ），同
，所以P（0，
理可得点Q（0，所以|PQ|＝|
），
﹣
|＝|
﹣
|＝
||；
直线BM：y＝（x﹣2），令x＝0，y＝，即R（0，），同理可得S（0，）所以同理可得|RS|＝||，
∴＝||＝||＝＝3
为定值． 所以
为定值3．
21．已知函数f（x）＝x2﹣ax+1﹣e﹣x（a∈R）． （1）讨论函数g（x）＝ef（x）的单调性； （2）证明：当a＞1时，函数f（x）有三个零点．
【分析】（1）求出g（x），求导，分a＜0，a＝0及a＞0解关于导函数的不等式即可得到单调性情况；
（2）易知f（x）的零点就是函数g（x）的零点，结合（1）的结论以及零点存在性定理即可得证．
解：（1）∵g（x）＝exf（x）＝ex（x2﹣ax+1）﹣1， ∴g′（x）＝ex（x2﹣ax+1+2x﹣a）＝ex（x+1）（x+1﹣a）， ①当a＜0时，a﹣1＜﹣1，
∴当x∈（﹣∞，a﹣1），（﹣1，+∞）时，g′（x）＞0；当x∈（a﹣1，﹣1）时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（﹣∞，a﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增，在（a﹣1，﹣1）上单调递减； ②当a＝0时，a﹣1＝﹣1，g′（x）≥0，g（x）在R上单调递增； ③当a＞0时，a﹣1＞﹣1，
∴当x∈（﹣∞，﹣1），（a﹣1，+∞）时，g′（x）＞0；当x∈（﹣1，a﹣1）时，g′（x）＜0，
x∴g（x）在（﹣∞，﹣1），（a﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣1，a﹣1）单调递减； （2）证明：∵e＞0，
∴f（x）的零点就是函数g（x）的零点，
当a＞1时，由（1）知g（x）在（﹣∞，﹣1），（a﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣1，
xa﹣1）单调递减，
当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递增， 因为
，
令φ（a）＝e﹣a﹣1（2a2+3a+2）﹣1，则φ′（a）＝﹣e﹣a﹣2（2a2+3a+2﹣4a﹣3）＝﹣e﹣a﹣1
（2a2﹣a﹣1）＝﹣e﹣a﹣1（2a+1）（a﹣1），
∵a＞1，
∴φ′（a）＜0，φ（a）在（1，+∞）上单调递减，则∴存在x1∈（﹣a﹣1，﹣1），使得g（x1）＝0， ∴g（x）在（﹣∞，﹣1）有1个零点x1；
当x∈（﹣1，a﹣1），g（x）为减函数，极小值点x＝a﹣1＞0，且g（0）＝0， ∴g（x）在x∈（﹣1，a﹣1）有1个零点x2＝0，；
当x∈（a﹣1，+∞），g（x）为增函数，又g（a﹣1）＜0，g（a）＝ea﹣1＞0， ∴存在x3∈（a﹣1，a），使得g（x3）＝0，g（x）在（a﹣1，+∞）上有1个零点x3， 综上，当a＞1时，g（x）有三个零点，即当a＞1时，函数f（x）有三个零点． （二）选考题：共10分，请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y2＝2y，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）设点M（ρ，α）在曲线C2上，直线OM交曲线C1于点N，求|OM|•|ON|的最小值． 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用换元法的应用和三角函数关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果． 解：（1）曲线C1：x2+y2＝2y，转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ．
．
，
曲线C2的极坐标方程为．转换为直角坐
标方程为：xy﹣x2＝1（x＞0），即y＝x+（x＞0）．
（2）由（1）和题设条件得：|OM|＝，|ON|＝2sinα，
．
所以
令t＝tanα﹣1， 由于所以
，
＝，
＝4（t+）+8．
当且仅当t＝1时，即tan＝2时等号成立， 所以|OM|•|ON|的最小值为4． [选修4-5不等式选讲]
23．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c． （1）当a＝b＝c＝1时，求不等式f（x）＞5的解集； （2）若f（x）的最小值为1，求a+b+c的值，并求
的最小值．
【分析】（1）先将a＝b＝c＝1代入f（x）中，由f（x）＞5，得到再解不等式组即可得到解集；
或，
（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，从而得到a+b+c的值，再利用基本不等式求出
的最小值．
解：（1）当a＝b＝c＝1时，f（x）＝|x+1|+|x﹣1|+1＝．
∵f（x）＞5，∴∴x＞2或x＜﹣2，
或，
∴不等式的解集为{x|x＞2或x＜﹣2}．
（2）f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c＝a+b+c， ∴f（x）min＝a+b+c＝1． ∵∴∴∴
，
，
，
，当且仅当
的最小值为1．
时，取等号，
，
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