六年级几何篇练习题集

一、等积变换模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

AS1aS2bB

如左图S1:S2a:b

CD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACDS△BCD； 反之，如果S△ACDS△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

二、鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴（或D在BA的延长线上，E在AC上），则S△ABC:S△ADE(ABAC):(ADAE)

DAADEEBCBC

图⑴ 图⑵

推理过程连接BE，再利用等积变换模型即可 三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

1 / 22

DAS2BS1OS3

AO:OCS1S2:S4S3①S1:S2S4:S3或者S1S3S2S4②

S4C蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四

边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

aADS1S2S4OS3BbC

22S:Sa:b13①

22S:S:S:Sa:b:ab:ab； 1324②

ab③梯形S的对应份数为

四、相似模型

相似三角形性质：

2．

ADBEAFDFGEC（金字塔模型）

BGC（沙漏模型）

ADAEDEAFABACBCAG； ①

22②S△ADE：S△ABCAF:AG．

2 / 22

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

五、燕尾定理模型 A:::S△ABGS△AGCS△BGES△EGCBEEC； S△BGA:S△BGCS△AGF:S△FGCAF:FC； FGDS△AGC:S△BCGS△ADG:S△DGBAD:DB；

CBE练习题集：

1.（第3届华杯赛试题）

一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：长方形的面积是 平方厘米．

21平方厘米黄红红绿

2.(2007年六年级希望杯二试试题)

如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DFDC,且AD2DE．则两块地ACF和CFB的面积比是_________．

CEDFAB

3.两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则

阴影四边形的面积是多少？

3 / 22

377

4.如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形

ABC的面积是多少？

AFCDBE

5.（北京市第一届“迎春杯”刊赛）

如图．将三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F．如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是 ．

FABD

CE

4 / 22

6.如图，在△ABC中，延长AB至D,使BDAB，延长BC至E,使

△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？

CE1BC2，F是AC的中点，若

AFBD

CE

7.如图，在ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若AOM、ABO和BON的面积分别是3、2、1，则

AMOCBNMNC的面积是 ．

8.四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图所示）．如果三

DAO1 角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的3，且AO2，

DO3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．

9.如右图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点，

ABC由这6部分组成，其中⑵比⑸大6平方厘米，那么ABC的面

积是多少平方厘米？

BCA3124F65BDEC5 / 22

10.如右图，长方形ABCD中，EF16，FG9，求AG的长．

DAGFE

CB

11.如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H，已知AH5cm，HF3cm，求AG. E GO H

B

12.图中四边形ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成

一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形 GDC的面积是多少？

GAEFBADFCDC

13.如右图，三角形ABC中，BD:DC4:9，CE:EA4:3，求AF:FB.

F

B

14.如图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC，

CFFGGA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?

AODEC6 / 22

AGFBDEC

15.如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？

AGNMB

DEFC

16.如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE2BE，CF2DF，连接BF，DE，

相交于点G，过G作MN，PQ得到两个正方形MGQA和正方形PCNG，设正方形MGQA的面积为

S1，正方形PCNG的面积为S2，则S1:S2______．

AGQDFMB

NPC

E17.如图，正方形ABCD的边长为6，AE1.5，CF2．长方形EFGH的面积为 ．

7 / 22

HAEDGBFC

18.如图，S△ABC1，BC5BD，AC4EC，DGGSSE，AFFG．求SVFGS．

AFGB

ESC

D19.如图，在长方形ABCD中，AB6，AD2，AEEFFB，求阴影部分的面积．

AEOFB

DC

20.如右图，已知BDDC，EC2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.

AFE8 / 22

BDC

21.(第六届希望杯五年级一试)

如图，正方形ABCD的边长是12厘米，E点在CD上，BOAE于O,OB长9厘米，则AE 长_________厘米。

A12OBD3EC

22.如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，那么这两个部分的

面积之比是多少？(圆周率取3.14)

23.如图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取3.14)

9 / 22

24.（2008年武汉明心奥数挑战赛）

如图所示，ABC中，ABC90，AB3，BC5，以AC为一边向ABC外作正方形

ACDE，中心为O，求OBC的面积．

EOA3B5CD

25.如图，三角形ABC是等腰直角三角形，P是三角形外的一点，其中BPC90，AP10cm，求四边

形ABPC的面积．

ABDC

26.(2008年全国小学数学资优生水平测试)

如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，AEB90，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积．

P10 / 22

CBOED

27.长方形ABCD的面积为36cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是

多少？

AHD2A

EGBFC

28.（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、

高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)

29.用10块长5厘米，宽3厘米，高7厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多

少?

30.(05年武汉明心杯数学挑战赛)

如图所示，一个555的立方体，在一个方向上开有115的孔，在另一个方向上开有215的

孔，在第三个方向上开有315的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？

11 / 22

参考答案

1.（第3届华杯赛试题）

一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：长方形的面积是 平方厘米．

21平方厘米黄红红绿

【分析】 由于黄色三角形和绿色三角形面积总和是长方形面积的0.5倍，所以黄色三角形面积是长方形面

积的0.50.150.35倍，所以长方形的面积是270.3560平方厘米

2.(2007年六年级希望杯二试试题)

如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DFDC,且AD2DE．则两块地ACF和CFB的面积比是_________．

EDFAAEDFEDGACBCBCBF

【分析】 方法一：连接BD．

设△CED的面积为1， △BED的面积x，则根据题上说给出的条件，由DFDC得，

S△BDCS△BDF

即△BDF的面积为x1、S△ADCS△ADF;

又有AD2DE，S△ADCS△ADF2S△CDE2、S△ABD2S△BDE2x，而S△ABDx122x； 得x3，所以S△ACF:S△CFB(22):(134)1:2．

方法二：连接BD，设S△CED1(份)，则S△ACDS△ADF2,设S△BEDxS△BFDy则有x1yx32xy2，解得y4，所以S△ACF:S△CFB(22):(431)1:2

方法三：过F点作FG∥BC交AE于G点，由相似得CD:DFED:DG1:1,又因为AD2DE，所以AG:GEAF:FB1:2，所以两块田地ACF和CFB的面积比AF:FB1:2

3.两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，

则阴影四边形的面积是多少？

12 / 22

AE77D3B7F7C3

分析：方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.

再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形。

设三角形为ABC，BE和CD交于F，则BFFE，再连结DE。 所以三角形DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x， x33AD:DBx10:10则，所以x15，四边形的面积为18。 方法二：连接AF,用燕尾定理解

4.如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角

形ABC的面积是多少？

AFCAFCAFC

分析：方法一：连接对角线AE． ∵ADEF是长方形

1SADESAEFSXADEF2 ∴

DBSADB3FCSACF1DES8EFS2 ADEAEF∴， BEDEDB5CEFECF1DEDE8EFEF2 ∴，

DBEDBEDBE

1515SBEC162822 ∴∴

SABCSXADEFSADBSACFSCBE132．

方法二：连接BF,由图知S△ABF1628,所以S△BEF16835,又由S△ACF4,恰好是△AEF面积的一半，所以C是EF的中点，因此S△BCES△BCF522.5,所以

S△ABC16342.56.5

5.（北京市第一届“迎春杯”刊赛）

如图．将三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F．如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是 ．

13 / 22

FFABD

CEBDACE

【分析】 (法1)连接AE、CD．

SVABC1SVDBC1SVABC1∵，， ∴SVDBC1．

同理可得其它，最后三角形DEF的面积18．

CFE中，ACB与FCE互补， (法2)用共角定理∵在VABC和VSVABCACBC111SVFCEFCCE428∴． 又SVABC1，所以SVFCE8．

同理可得SVADF6，SVBDE3．

所以SVDEFSVABCSVFCESVADFSVBDE186318．

6.如图，在△ABC中，延长AB至D,使BDAB，延长BC至E,使

若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？

CE1BC2，F是AC的中点，

AFBD

CE

分析：(法1) 利用共角定理

∵在△ABC和△CFE中，ACB与FCE互补，

∴

S△ABCACBC224S△FCEFCCE111．

又SVABC2，所以SVFCE0.5． 同理可得S△ADF2，S△BDE3．

所以S△DEFS△ABCS△CEFS△DEBS△ADF20.5323.5

7.如图，在ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若AOM、ABO和BON的面积分别是3、2、1，则MNC的面积是 ．

AMOC14 / 22

BN【分析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．

SSBON313SMONAOMSAOB22根据蝴蝶定理得 设SMONx，根据共边定理我们可以得

32SANMSABM3x1xSMNCSMBC2，， 解得 x22.5．

8.四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图所示）．如果三

332DAO1 角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的3，且AO2，

DO3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．

［分析］对于四边形ABCD为任意四边形，两种处理方法：

1．利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决； 2．通过画辅助线来改变任意四边形． 根据题目中给出条件SABD:SBCD1:3，

9.如右图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点，

ABC由这6部分组成，其中⑵比⑸大6平方厘米，那么ABC的面积是多少平方厘米？

【分析】 解法一：因为E是DC中点，F为AC中点，有AD2FE且

FE平行于AD，则四边形ADEF为梯形．

BC可得AO:OC1:3 OA2,所以OC236 故OC:OD6:32:1．

A3124F6522DE 在梯形ADEF中有⑶=⑷，⑵×⑸=⑶×⑷，⑵:⑸=AD:FE4．

又已知⑵⑸=6，所以⑸6(41)2，⑵=⑸48; 所以⑵×⑸=⑷×⑶2816，而⑶=⑷，所以⑶=⑷=4，梯形ADEF的面积为⑵、⑶、⑷、⑸四

BC块图形的面积和，为844218．

有CEF与DEF的面积相等，为246． 所以ADC面积为18624．

因为D是BC中点，所以ABC的面积是：SABC2SACD22448(平方厘米)． 解法二：如右图所示：

A题上给出了SADGSEFG6，所以SADESDEF6;

因为E是CD的中点，F是AC的中点，

由共边定理得：SADESAEC2SECF2SDEF;

所以由上面的分析得到：SDEF62SDEF，SDEF6； 进一步共边原理可得：

SABC2SADC4SAEC8SDEF8648(平方厘米)．

同样这个题目可以用相似模型也能解．

10.如右图，长方形ABCD中，EF16，FG9，求AG的长．

BFGCDE15 / 22

DAGFE

CBDGAGDGFGGBGEGBGA，所以【分析】 因为DA∥BE，根据相似三角形性质知，又因为DF∥AB，

AGFGGEGA，即AG2GEFG259225152，所以AG15．

11.如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H，已知AH5cm，

HF3cm，求AG. 【分析】 注意三角形AHB和三角形DHF相似，利用三角形相似的性质可

以得到 AB:DFAH:HF5:3，

作EO垂直于AD，且交AF于点O，又因为E为

3AB:OE5:10:32则有OE:DF1:2，所以,

AD中点，

AGEOHDFC11AOAF(53)4AG:GO10:3,22,

1040AG41313. 所以

B12.图中四边形ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成

一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形 GDC的面积是多少？

GGAEFABENFBDCDMC

【分析】根据题中条件，我们可以直接判断出EF与DC平行，从而三角形GEF与三角形GDC相似，这样，我们就可以用相似三角形的性质来解决问题.

做GM垂直DC交AB于N，因为EF∥DC，所以三角形GEF与三角形GDC相似，且相似比为

EF:DC4:121:3，

由此我们可以得GN:GM1:3，又因为MNGMGN，且MN12cm， 所以MN:GM2:3，得GM18，

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11218108cm2故三角形GDC的面积为 2.

13.如右图，三角形ABC中，BD:DC4:9，CE:EA4:3，求AF:FB. 【分析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOCBD:CD4:912:27 S△AOB:S△BOCAE:CE3:412:16

（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC27:16AF:FB

14.如图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC，

CFFGGA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?

AFBODAECAGGPQFBBFNDECM

［分析］ 设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，

CQ，CM，CN．

根据燕尾定理，S△ABP:S△CBPAG:GC1:2，S△ABP:S△ACPBD:CD1:2，设S△ABP1(份)，

则S△ABC1225(份)，所以

211213121S△ABQS△ABNS△ABGS△APQS△AQG7,2,而3，所以7535，3721． 同理可得，

3112391395S△BPMS△BDMS四边形PQMNS四边形MNED3521,所以273570，3357042,同理，

DECS△ABP15

11511115S四边形NFCES四边形GFNQ321426,321642

15.如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，

AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面

积是多少平方厘米？

AGMFCBDEAGNMBDEN

CMCN【分析】 连接、．

根据燕尾定理，S△ABM:S△CBMAG:GC1:1，S△ABM:S△ACMBD:CD1:3，所以

FC17 / 22

1S△ABMS△ABC5；

再根据燕尾定理，S△ABN:S△CBNAG:GC1:1，所以S△ABN:S△FBNS△CBN:S△FBN4:3，所以

S△ANG1425152SFCGN1S△AFCS△ABCS△ABC74287AN:NF4:3，那么S△AFC2437，所以．

15S△ABCS△ABC7.228根据题意，有5，可得S△ABC336(平方厘米)

16.如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE2BE，CF2DF，连接BF，

DE，相交于点G，过G作MN，PQ得到两个正方形MGQA和正方形PCNG，设正方形

MGQA的面积为S1，正方形PCNG的面积为S2，则S1:S2______．

AGQDFAQDFAQDFMBENPCMBGNMCGNCEPBEP【分析】 解法一：求两个正方形的面积比，实际上就是求QG:GP,根据

正方形的性质，可以得到：QG:GPDG:GE; 连接GC，根据CF2DF，SDGF:SGFC1:2,

而SECGSFCG(对称)，所以得SDCG:SECG(21):23:2, 即DG:GE3:2，所以QG:GPDG:GE3:2

22S:S3:29:4 12 所以

解法二：连接BD、EF.设正方形边长为3，则CECF2，

22BEDF1，所以，EF2=22+22=8，BD2=3+3=18．因为，

EF2BD2=8×18=144=122，所以，EFBD=12.

由梯形蝴蝶定理，得SGEF∶SBDG∶SDFG∶SBGE EF∶BD∶EFBD∶EFBD8:18:12:124:9:6:6

66SBEGS四边形BDFES四边形BDFE496625所以，.

22915SCEF222SBDFESBCDSCEF2，22，所以，SBEG =因为，所以，

6536325×2=5．因为正方形PCNG的边长等于BEG底边BE对应的高，所以，CN=5×2÷1=5，

SBCD33269663681369981ND=3－5=5.因为S1=5×5=25，S2=5×5=25，所以，S1∶S2=25∶25=9∶4.

17.如图，正方形ABCD的边长为6，AE1.5，CF2．长方形EFGH的面积为 ．

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HHAEDAEGDGB

【分析】 连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．

三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积

S△DEF661.5622624.54216.5,所以长方形EFGH面积为33

18.如图，S△ABC1，BC5BD，AC4EC，DGGSSE，AFFG．求SVFGS．

FCBFCAFGBDESC

【分析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是“当两个三角形

有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得S△FGS的面积为

432111S△FGS5432210．

19.如图，在长方形ABCD中，AB6，AD2，AEEFFB，求阴影部分的面积．

AEOFBAEOFB

DEDEAED【分析】 如图，连接，将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形的面积为

26322．

由于EF:DC1:3，根据梯形蝴蝶定理，SVDEO:SVEFO3SVDEO21.5SVDEFSVADE2，所以4，阴影部分的面积为21.53.5．

20.如右图，已知BDDC，EC2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积. 分析：连接CF,

因为BDDC，EC2AE，三角形ABC的面积是30，

DCDC3SVDEOSVDEF3:1，所以4，而

AFE19 / 22

BDC11SABESABC10SABDSABC1532所以，.

SABFAE1SVABFBD1SCBFEC2SVACFCD根据燕尾定理，，,

1SABFSABC7.54所以，SBFD157.57.5.

所以阴影部分面积是30107.512.5.

21.(第六届希望杯五年级一试)

如图，正方形ABCD的边长是12厘米，E点在CD上，BOAE于O,OB长9厘米，则AE 长_________厘米。

A12OBDoo3EC

【分析】在四边形OECB中，2OEC180，因为3OEC180，所以32，1DAC,

ABOB129所以, AEAD,即AE12,所以AE16

22. 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)

［分析］如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方

222S:S3.142:257:100S2rSr2r21r形．设大圆半径为，则，，所以12．

移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．

xxiii.如图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取

3.14)

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2［分析］ 将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为553.14239.25cm

xxiv.（2008年武汉明心奥数挑战赛）

如图所示，ABC中，ABC90，AB3，BC5，以AC为一边向ABC外作正方形

ACDE，中心为O，求OBC的面积．

EEOA3B5CDA3ODFBC5

解析： 如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90，到达OCF的位置．

由于ABC90，AOC90，所以OABOCB180．而OCFOAB，

所以OCFOCB180，那么B、C、F三点在一条直线上．

由于OBOF，BOFAOC90，所以BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为538，所以它的面积为

821164．

516108根据面积比例模型，OBC的面积为．

xxv.如图，三角形ABC是等腰直角三角形，P是三角形外的一点，其中BPC90，

AP10cm，求四边形ABPC的面积．

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AABDP'CBDC

BACBPC180ACP180［分析］ 因为和都是直角，和为，所以ABP和的和也为，可以旋转三角形APC，使AC和AB重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形AP'P，面积为1010250平方厘米．

xxvi.(2008年全国小学数学资优生水平测试)

如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，AEB90，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积．

PPCBCBOEDAOEFDA

［分析］ 如图，连接DE，以A点为中心，将ADE顺时针旋转90到ABF的位置．

那么EAFEABBAFEABDAE90，而AEB也是90，所以四边形AFBE是直

角梯形，且AFAE3， 所以梯形AFBE的面积为：

13531222(cm)．

22222又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理，ABAEBE3534，所以

1SABDAB21722(cm)．

SBDESABDSABESADESABDSAFBE17125cm2()，

1SOBESBDE2.522所以(cm)．

那么

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