全等三角形难题集锦

2 (3)与的大小关系如何？试证明你的结论。

2.（2012•内江）已知△为等边三角形，点D为直线上的一动点（点D不与B、C重合），以为边作菱形（A、D、E、F按逆时针排列），使∠60°，连接． （1）如图1，当点D在边上时，求证：①；②；

（2）如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，结论是否成立？若不成立，请写出、、之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出、、之间存在的数量关系．

3（08河北中考第24题）如图14-1，在△中，边在直线l上，⊥，且 = ．△的边也在直线l上，边与边重合，且．（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；（2）将△沿直线l向左平移到图14-2的位置时，交于点Q，连结，．猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△沿直线l向左平移到图14-3的位置时，的延长线交的延长线于点Q，连结，．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

E A Q C （F） 图14-1 P l B F C P l F P B E A

B

A （E） C l 图14-2

图14-3 Q 4.如图1、图2、图3，△，△均是等腰直角三角形，∠＝∠＝90º， （1）在图1中，与相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。

（2）若△绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问与还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？

（3）若△绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问与还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：（1）根据等腰三角形的两腰相等进行解答．

（2）证明△≌△，根据全等三角形的对应边相等进行说明．解答：解：（1）相等． 在图1中，∵△，△均是等腰直角三角形，∠∠90°， ∴，， ∴000， ∴； （2）相等．

在图2中，0，∠∠，， ∴△≌△，

∴．点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题，在旋转的过程中要注意哪些量是不变的，找出图形中的对应边与对应角．

5（2008河南）．（9分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△中，，P是△内部任意一点，将绕A顺时针旋转至，使∠∠，连接、，则．”

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△≌△，从而证得之后，将点P移到等腰三角形之外，原题中的条件不变，发现“”仍然成立，请你就图②给出证明．

考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题；探究型．分

析：此题的两个小题思路是一致的；已知∠∠，那么这两个等角同时减去同一个角（2题是加上同一个角），来证得∠∠；而根据旋转的性质知：，且已知，即可由证得△≌△，进而得出的结论．解答：证明：（1）∵∠∠， ∴∠∠∠∠， 即∠∠； 在△和△中， ∠∠ ， ∴△≌△（）； ∴．

（2）仍然成立，理由如下： ∵∠∠， ∴∠∠∠∠， 即∠∠； 在△和△中， ∠∠ ， ∴△≌△（），

∴．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键．

5（2009山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC和△DEF．且△ABC≌△DEF。将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．

①当△DEF旋转至如图②位置，点B(E)，C，D在同一直线上时，AFD与DCA的数量关系是 ．

②当△DEF继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？与存在怎样的数量关系？请说明理由．

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：（1）根据外角的性质，得∠∠∠，∠∠∠，从而得出∠∠；

（2）成立．由△≌△，可证明∠∠．则△≌△，从而证出∠∠；

（3）⊥．由△≌△，可证得点B在的垂直平分线上，进而证得点O在的垂直平分线上，则直线是的垂直平分线，即⊥．解答：解：（1）∠∠（或相等）． （2）∠∠（或成立），理由如下：

方法一：由△≌△，得，（或），∠∠，∠∠．∴∠∠∠∠， ∴∠∠．

在△和△中， ∠∠ ∴△≌△，∠∠． ∴∠∠∠∠，∠∠． ∵∠∠∠∠∠， ∴∠∠．

方法二：连接．同方法一△≌△， ∴．

由△≌△，得． 在△≌△， ∴△≌△，∠∠．

A（3）如图，⊥．

方法一：由△≌△，点B与点E重合，

BEDFC得∠∠，．

∴点B在的垂直平分线上， 且∠∠．

∵∠∠∠，∠∠∠， ∴∠∠．

∴，点O在的垂直平分线上． ∴直线是的垂直平分线，⊥．

方法二：延长交于点G，同方法一，． 在△和△中， ∴△≌△，∠∠． 在△和△中， ∠∠ ∴△≌△，∠∠90°．

∴⊥．点评：本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握．

例1 正方形中，E为上的一点，F为上的一点，，求∠的度数.

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：延长使得，易证△≌△（）可得，进而求证△≌△可得∠∠，再求出∠∠90°即可解题．解答：解：延长使得， 在△和△中， 由 ∠∠90° ， 可得△≌△（）， ∴∠∠，， 又∵，， ∴△≌△（），

∴∠∠， ∵∠∠∠90° ∴∠∠90°， ∴∠45°．

答：∠的角度为45°．点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证∠∠是解题的关键．

例2 D为等腰RtABC斜边的中点，⊥分别交于点。

（1） 当MDN绕点（2） 若

MCFAD转动时，求证。

EB2，求四边形的面积。

AN考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：计算题．分析：（1）连，根据等腰直角三角形的性质得到平分∠，⊥，∠45°，，则∠45°，∠90°，由∠⊥得∠90°，根据等角的余角相等得到∠∠，根据全等三角形的判定易得△≌△，即可得到结论；

（2）由△≌△，则S△△，于是四边形的面积△，由而2可得1，根据三角形的面积公式易求得S△，从而得到四边形的面积．解答：解：（1）连，如图， ∵D为等腰△斜边的中点， ∴平分∠，⊥，∠45°，， ∴∠45°，∠90°， ∵∠⊥，

∴∠90°， ∴∠∠， 在△和△中， ∠∠ ∠∠ ， ∴△≌△， ∴；

（2）∵△≌△， ∴S△△，

∴四边形的面积△， 而2， ∴1，

∴四边形的面积△1 2 •1 2 ．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．

∠ABC120o，∠MBN60o，6、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，∠MBNB C A

E M

D N

A A

E M

B F C N

B C F F D N

D

E M

（图1） （图2） （图3）

绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

7（西城09年一模）已知24,以为一边作

正方形,使P、D两点落在直线的两侧.

(1)如图,当∠45°时,求及的长;

(2)当∠变化,且其它条件不变时,求的最大值,及 相应∠的大小.

图1 图2 图3

（I）如图1，当点M、N边、上，且时，、、之间的数量关系是 ； 此时

Q ； L（）如图2，点M、N边、上，且当时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出

例8．（2005年马尾）用两个全等的等边三角形△和△拼成菱形.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与，重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边，相交于点E，F时，（如图13—1），通

过观察或测量，的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边，的延长线相交于点E，F时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.

考点：菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．分析：（1）利用全等三角形的判定得出△≌△即可得出答案；

（2）根据已知可以得出∠∠，进而求出△≌△即可； （3）利用四边形的面积△△△△解：（1）得出结论是：，

证明：∵∠∠60°， ∴∠∠∠∠， 即：∠∠， 又∵，∠∠60°， ∴ ∠∠ ∠∠ ， ∴△≌△（）， ∴，

（2）还成立， 证明：∵∠∠60°， ∴∠∠∠∠， 即∠∠，

又∵，∠∠60°， 即 ∠∠ ∠∠ ， ∴△≌△（）， ∴，

（3）证明：∵△≌△，

△求出即可．解答：

∴S△△，

∴四边形的面积△△△△△； 而S△1 2 S菱形，

∴1 2 S菱形．点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积，熟练利用全等三角形判定求出是解题关键． 解：（1）.

证明：在△和△中， ∵∠∠∠∠60°， ∴∠∠.

∵，∠∠60°，∴△≌△（）. ∴.

（2）仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明△和△

8、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结．

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；

（2）证明：⊥．

考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． D A 专题：证明题．B 图图C E 分析：（1）此题根据△与△均为等腰直角三角形，容易得到全等条件证明△≌△； （2）根据（1）的结论和已知条件可以证明⊥． 解答：证明：（1）∵△与△均为等腰直角三角形， ∴，，∠∠90°． ∴∠∠∠∠． 即∠∠， 在△与△中， ∵ ∠∠

∴△≌△． （2）∵△≌△， ∴∠∠45°． 又∵∠45°， ∴∠∠∠90°． ∴⊥．

点评：此题是一个实际应用问题，利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题，

关键是理解题意，得

9、 正方形中，E为上的一点，F为上的一点，，求∠的度数.

ADFBEC

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：延长使得，易证△≌△（）可得，进而求证△≌△可得∠∠，再求出∠∠90°即可解题．解答：解：延长使得， 在△和△中， 由 ∠∠90° ， 可得△≌△（），

∴∠∠，， 又∵，， ∴△≌△（）， ∴∠∠， ∵∠∠∠90° ∴∠∠90°， ∴∠45°．

答：∠的角度为45°．点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证∠∠是解题的关键．

7、D为等腰RtABC斜边的中点，⊥分别交于点。 ①当MDN绕点D转动时，求证。 ②若2，求四边形的面积。

10、如图，已知2，∠∠90°，求五边形的面积

考点：全等三角形的判定与性质．专题：应用题．分析：可延长至F，使，可得△≌△，连，，，可将五边形的面积转化为两个△的面积，进而求出结论．解答：解：延长至F，使，连，，，

∵，∠∠90°， ∴，

在△与△中， ∵ ∠∠ ∴△≌△（）， ∴，

在△与△中，

∵ ∴△≌△（），

∴2S△2×1 2 •2×1 2 ×2×2=4．点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，应熟练掌握 五、旋转

例1 正方形中，E为上的一点，F为上的一点，，求∠的度数. 将三角形绕点A顺时针旋转90度，至三角形 则 又，，

所以三角形全等于 所以∠∠∠∠∠∠ 又∠∠∠90

所以∠45度

（1）如图1，现有一正方形，将三角尺的指直角顶点放在A点处，两条直角边也与的延长线、分别交于点E、F．请你通过观察、测量，判断与之间的数量关系，并说明理由．

（2）将三角尺沿对角线平移到图2的位置，、之间有怎样的数量关系，并说明理由． （3）如果将三角尺旋转到图3的位置，、之间是否还具有（2）中的数量关系？如果有，请说明

BECADF

理由．如果没有，那么点P在的什么位置时，、才具有（2）中的数量关系． 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）证明△≌△可推出．

（2）本题要借助辅助线的帮助．过点P作⊥于M，⊥于N，证明△≌△可推出． （3）、不具有（2）中的数量关系．当点P在的中点时，，才具有（2）中的数量关系．解答：解：（1）如图1，．理由：证明△≌△（） （2）如图2，．

理由：过点P作⊥于M，⊥于N，则．由此可证得△≌ △（），从而证得．

（3）、不具有（2）中的数量关系．

当点P在的中点时，、才具有（2）中的数量关系．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）证明△≌△可推出．

（2）本题要借助辅助线的帮助．过点P作⊥于M，⊥于N，证明△≌△可推出． （3）、不具有（2）中的数量关系．当点P在的中点时，，才具有（2）中的数量关系．解答：解：（1）如图1，．理由：证明△≌△（） （2）如图2，．

理由：过点P作⊥于M，⊥于N，则．由此可证得△≌△（），从而证得． （3）、不具有（2）中的数量关系．

当点P在的中点时，、才具有（2）中的数量关系．点评：本题考查的是正方形的性质以及全等三角形的判定．

例8．（2005年马尾）用两个全等的等边三角形△和△拼成菱形.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与，重

合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边，相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量，的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边，的延长线相交于点E，F时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.

解：（1）.

证明：在△和△中， ∵∠∠∠∠60°， ∴∠∠.

∵，∠∠60°，∴△≌△（）. ∴.

（2）仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明△和△

10、用两个全等的等边三角形△和△拼成菱形.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与、重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边、相交于点E、F时（如图所示），通过观察或测量、的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

FADBECADF（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边、的延长线

BCE相交于点E、F时（如图所示），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由。

11已知∠90°，∠的平分线上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与、或它们的反向延长线相交于D、E。 当三角形绕点C旋转到与垂直时（如图1），易证：

当三角板绕点C旋转到与不垂直时，在图2图3这两种情况下，上述结论是否成立，请给予证明，若不成立，请写出你的猜想，不需证明。

3、如图，正方形的边长为1，G为边上一动点（点G与C、D不重合）， 以C为一边向正方形外作正方形，连接交的延长线于H。 （1）说明：△≌△；（2）与有何关系？为什么？

（3）将正方形绕点C顺时针旋转，在旋转过程中，（1）、（2）中的结论还成立吗？画出一个图形，直接回答，不必说明理由。

12如图①，点M为锐角三角形内任意一点，连接、、．以为一边向外作等边三角形△，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接． （1）求证：△≌△；

（2）若的值最小，则称点M为△的费尔马点．若点M为△的费尔马点，试求此时∠、∠、∠的度数；

（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△的、为一边向外作等边△和等边△，连接、，设交点为M，则点M即为△的费尔马点．试说明这种作法的依据．

ODACAMDCOEBMEBADOCEBMADGHFCEB

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：（1）结合等边三角形的性质，根据可证△≌△；

（2）连接，由（1）的结论证明△为等边三角形，所以，即，所以当E、N、M、C四点共线时，的值最小，从而可求此时∠、∠、∠的度数；

（3）根据（2）中费尔马点的定义，又△的费尔马点在线段上，同理也在线段上．因此线段与的交点即为△的费尔马点．解答：解：（1）证明：∵△为等边三角形， ∴，∠60°． 而∠60°， ∴∠∠． 又∵， ∴△≌△．

（2）连接．由（1）知，． ∵∠60°，，

∴△为等边三角形． ∴． ∴．

∴当E、N、M、C四点共线时，的值最小． 此时，∠180°-∠120°； ∠∠180°-∠120°； ∠360°-∠∠120°．

（3）由（2）知，△的费尔马点在线段上，同理也在线段上．

因此线段与的交点即为△的费尔马点．点评：本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，是一道综合性的题目难度很大．

13如图，正方形ABCD中，FADFAE．求证：BEDFAE．

ADFBEC