19.2.1 正比例函数 教案

八年级

一、教学设计

1、教学目标

（1）经历正比例函数概念的形成过程，理解正比例函数的概念及解析式特点； （2）会画正比例函数的图象；

（3）能根据实际问题列出简单的正比例函数的表达式，并掌握正比例函数图象的性质。

2、内容分析

（1）一次函数是最基本的初等函数，是初中函数学习的重要内容，正比例函数是特殊的一次函数，也是初中学生接触到的第一种函数，要通过对正比例函数内容的学习，为后续类比学习一般一次函数打好基础，了解研究函数的基本套路和方法，积累研究一般一次函数乃至其他各种函数的基本经验．

本节课主要是通过对生活中大量实际问题的分析，写出变量间的函数关系式，观察比较概括出这些函数关系式具有的共同特征，根据共同特征抽象出正比例函数的基本模型，归纳得出正比例函数的概念，再用正比例函数的概念对具体函数进行辨析，对实际事例进行分析，根据已知条件写出正比例函数的解析式.

（2）本节课的教学重是画正比例函数图象，教学难点是正比例函数图象的性质． 3、学情分析

（1）学生的认知基础：正比例函数是初中学生接触到的第一种初等函数，由于函数概念比较抽象，学生对函数基本概念理解未必深刻，在对实际问题进行分析过程中，需进一步强化对函数概念的理解。在教学中需要通过大量的实例去引导学生进行分析，写出变量间的函数关系式，观察比较发现这些函数具有的共同特征，即函数与自变量的每一对对应值的比值一定，都等于自变量前的常数，这些函数都是常数与自变量的积的形式，再根据共同特征抽象出正比例函数的基本模型，归纳得出正比例函数的概念．从而达到提高学生识图能力、分析函数图象信息能力．体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题能力。

科目： 数学 主备人： 范德彪

时间： 年 月 日 课时安排与说明：1课时

（2）学生是年龄心理特点：班上的学生已经有了综合应用知识的意识，并且在学生学习氛围中有了想自己动手、运用知识解决实际问题的欲望。因此，本节课主要是教给学生“动手做，动脑想，多合作，大胆猜，会验证”的研讨式学习方法。这样做增加了学生的参与机会，增强了参与意识，教给了学生获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为学习的主体。以及通过动手实践，理解记忆和强化训练的学法掌握本节课内容。

4、设计思路

（1）对正比例函数概念的学习，既要借助具体的函数进一步加深对函数概念的理解，即实际问题的两个变量中，当一个变量变化时，另一个变量随着它的变化而变化，而且对于这个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，这是理解正比例函数的核心；也要加强对正比例函数基本特征的认识，即根据实际问题构建的函数模型中，函数和自变量每一对对应值的比值是一定的，等于比例系数，反映在函数解析式上，这些函数都是常数与自变量的积的形式，这是正比例函数的基本特征.

（2）从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与函数图象的形成过程，体验“发现、创造”数学知识的乐趣．学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。

二、教学过程

（一）复习导入

上一节我们已经学习了关于函数的最基础的知识，知道了变量与函数、函数的图象及函数的三种表示方法。从这节课开始，我们将重点研究一种最基本的具体函数——一次函数，本节课先研究特殊的一次函数——正比例函数.

（二）新授课

活动一：情境设问，初步感知

问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：

（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？

（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？

（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1 100km的南京南站？

【师生活动】教师引导学生分析问题中的数量关系，这是典型的行程问题，数量关系是学生熟悉的“路程=速度×时间”．

【设计意图】让学生真切感受数学与实际的联系，即数学理论来源于实际又服务于实际．帮助学生逐步提高将实际问题抽象为函数模型的能力，初步体会函数建模思想．

解：（1）乘京沪高铁列车全程运行时间约需1318÷300≈4.4（h）.

（2）京沪高铁列车的行程y是运行时间t的函数，函数解析式为y=300t（0≤t≤4.4）.

（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h的行程，是当t=2.5时，函数y=300t的值，即y=300×2.5=750（km）。这时列车尚未到达距始发站1 100km的南京南站。

对问题（1）学生解答后可追问：在京沪高速铁路上以平均速度300km/h运行的列车，其运行时间在什么范围内？

【设计意图】由于自变量t是列车运行时间，作为实际问题，自变量的取值是受限制的，应对其取值范围作出说明．

对问题（2）的分析解答过程让学生回答下列问题：

【追问1】这个问题中两个变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，试说明理由．

【设计意图】让学生感受量与量之间的函数关系，体会函数关系蕴涵在实际问题中，激发学生探究兴趣．对理由的说明学生可能有障碍，此时教师要引导学生回顾函数概念的学习过程，用函数的概念来回答：问题中的两个变量，当其中的变量t变化时，另一个变量y随着t的变化而变化，并且对于变量t的每一个确定的值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应．

【追问2】请你写出y与t之间的函数解析式，并分析解析式在结构上是什么形式？

【追问3】对于自变量t和函数y的每一对对应值，y与t的比值是多少？这个比值会发生变化吗？

【师生活动】追问2学生独立完成写出解析式，观察解析式的结构形式后发表意见与同学交流；追问3分小组分别取不同的对应值，求出比值后先小组内统一意见，

然后全班交流．

【设计意图】让学生初步感知正比例函数解析式的结构形式为：左边是表示函数的字母，右边是常数（量）与自变量的积的形式．正比例函数的基本特征是：对于自变量和函数的每一对对应值，函数值与自变量的比值是一定的，都等于自变量前的那个常数．

对问题（3）的分析解答后可追问：我们是怎样确认列车是否已经过了南京南站的？

【师生活动】教师引导学生分析，根据函数解析式，求自变量t=2.5时的函数值，得出列车出发2.5小时的行程，再与两站的实际距离比较，对实际问题的作出解答．

【设计意图】让学生初步体会用函数建模思想解决实际问题的方法． 活动二：类比思考，概括共性

问题2 思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式．

（1）圆的周长l随半径r的变化而变化．

（2）铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．

（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化．

（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间（单位：min）的变化而变化．

【师生活动】学生根据每个问题中蕴涵的数量关系和已知条件，运用函数建模思想独立写出每个问题中变量间的函数解析式．

【设计意图】让学生再次感知实际问题中蕴涵的函数关系，体会并运用函数建模思想，提高将实际问题抽象为函数模型的能力．

解：上面问题中，表示变量之间关系的函数解析式分别为：

（1）l=2πr； （2）m=7.8V； （3）h=0.5n； （4）T=－2t. 【追问】这些函数解析式有哪些共同特征？

【师生活动】引导学生类比问题1的分析方法，对4个解析式从结构形式上分析它们的共同特征，学生分组讨论，教师参与讨论并组织交流．

【设计意图】通过对实际问题抽象出的函数模型观察比较，找出它们具有的共同

特征，为归纳抽象正比例函数的概念作准备．

【归纳】上述两个问题中的函数解析式都是常数与自变量的积的形式。 一般地，形如y＝kx（常数k≠0）的函数，叫做正比例函数。其中k叫做比例系数。

活动三：辨析应用，深化认知

（1）请你举出几个y是x的正比例函数的解析式；

（2）完成教科书第87页练习1，补充问题：如果是，请指出比例系数是多少？ 【师生活动】教师提出问题，学生思考、讨论后交流，教师予以激励性评价． 【设计意图】引导学生根据概念辨析正比例函数，能够从实际问题中根据已知条件抽象出函数模型并辨析是否是正比例函数．

活动四：探究正比例函数的图象和性质

例1 （1）在同一直角坐标系中用描点法画出正比例函数 y2x，y解：（1）列表：

x y2x 1x的图象。 3… … … －3 －6 －1 －2 －4 2 3－1 －2 1 30 0 0 1 2 1 32 4 2 33 6 1 … … … y1x 3（2）描点并连线

观察并思考：

（1）在k＞0 的情况下，函数图象经过哪些象限？图象从左向右看，是上升还是下降？

（2）对应地，自变量的值从左往右如何变化？对应的函数值是随着增大还是减小？

（2）在同一直角坐标系中用描点法画出正比例函数 y1.5x，y4x的图象。 解：（1）列表：

x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y1.5x … … －4.5 12 －3 8 －1.5 4 0 0 1.5 －4 3 －8 4.5 －12 … … y4x （2）描点并连线

观察并思考：

（1）在k＜0 的情况下，函数图象经过哪些象限？图象从左向右看，是上升还是下降？

（2）对应地，自变量的值从左往右如何变化？对应的函数值是随着增大还是减小？

【归纳】

（1）一般地，正比例函数 y=kx (k是常数，k≠0 )的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx 。

（2）当k > 0时，直线 y=kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大； 当k＜0时，直线 y=kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

（3）因为过原点有且只有一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点，通常是（0，0）和（1，k）。

正比例函数的图象及性质 正比例函数 k0 k0 图象 经过的象限 图象形状 增减性 一、三象限 过原点，从左向右↗ 二、四象限 过原点，从左向右↘ y随x的增大而增大 y随x的增大而减小

（三）课堂小结

（1）正比例函数概念是什么？ （2）正比例函数解析式的特征是？ （3）正比例函数的图象及其性质？ （四）反馈

教科书第87页练习第2题 （五）作业布置与课外辅导 教科书第89页练习 （六）板书设计

1、正比例函数的概念 2、正比例函数的图象及其性质 19.2.1 正比例函数 三、教后反思