一、选择题（共12小题）
1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，集合A＝{x∈Z||x﹣1|≤2}，B＝{2，3，4，5}，则（∁UA）∩B＝（ ） A．{4，5} 2．复数z
B．{2，3，5}
的共轭复数为（ ）
C．{1，3}
D．{3，4}
A．i B．i C．i D．i
3．设a＝log0.76，b＝π0.5，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（ ） A．b＜a＜c 4．已知向量
B．c＜a＜b
（﹣3，1），
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a
（x，﹣4）．若（ ）⊥，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．要想得到函数ysinx+cosx的图象，可将函数y＝sinxcosx的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．向一块长度为4，宽度为3的矩形区域内，随机投一粒豆子（豆子大小忽略不计），豆子的落地点到矩形各边的距离均不小于1的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
l是两条不同的直线， 7．已知m，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是（ ）A．m⊥l，m⊂β，l⊥α C．m∥l，m⊥α，l⊥β
B．m⊥l，α∩β＝l，m⊂α D．l⊥α，m∥l，m∥β
8．执行如图所示的程序框图，若输出的S为154，则输入的n为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
9．设f（x）和g（x）是定义在[a，b]上的函数，且图象都是一条连续不断的曲线．定义：d（f，g）＝|f（x）﹣g（x）|max．则“∃x0∈[a，b]，f（x0）≠g（x0）”是“d（f，g）＞0”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
（ ）
10．已知α∈（π，π），2sin2α＝1﹣cos2α，则tan
A． B． C． D．
11．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，其右支上存在
一点M，使得率为（ ） A．
•0，直线l：bx+ay＝0．若直线MF2∥l，则双曲线C的离心
B．2 C． D．5
12．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C与圆C'：x2+（yA，B两点，且|AB|
）2交于
．若过抛物线C的焦点的弦MN的长为8，则弦MN的中点到
直线x＝﹣2的距离为（ ） A．2
B．5
C．7
D．9
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在某歌唱比赛中，一名参赛歌手的得分为169，162，150，160，159，则这名歌手得分的方差为 ．
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝2，则△ABC的周长为 ．
15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣2）＝﹣f（x），且当x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2x
，则f（log220）＝ ．
•
，
16．如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体的体积为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an﹣2n+1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记bn＝（﹣1）n•log2[（an+4）
]，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．
18．截至2019年，由新华社《瞭望东方周刊》与瞭望智库共同主办的“中国最具幸福感城市”调查推选活动已连续成功举办12年，累计推选出60余座幸福城市，全国约9亿多人次参与调查，使“城市幸福感”概念深入人心．为了便于对某城市的“城市幸福感”指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下不完整的2×2列联表（数据单位：人）
非常幸福 比较幸福 总计
男
女 11 9
总计 15 30
（Ⅰ）将列联表补充完整，并据此判断是否有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关；
（Ⅱ）若感觉“非常幸福”记2分，“比较幸福”记1分，从上表男性中随机抽取3人，记3人得分之和为ξ，求ξ的分布列，并根据分布列求ξ≤4的概率． 附：K2
，其中n＝a+b+c+d
P（K2≥k0）
k0
0.10 2.706
0.05 3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
19．在如图所示的几何体中，底面ABCD是矩形，平面MAD⊥平面ABCD，平面MAB∩平面MCD＝MN，△MAD是边长为4的等边三角形，CD＝2MN＝2． （Ⅰ）求证：MN⊥MD；
（Ⅱ）求二面角M﹣BD﹣N的余弦值．
20．已知椭圆C：1（a＞0）的中心为原点O，左焦点为F，离心率为，不与坐
标轴垂直的直线l与椭 圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）若K（2，1）为线段MN的中点，求直线l的方程． （Ⅱ）若点P是直线x
上一点，点Q在椭圆C上，且满足
•
0，设直
线PQ与直线OQ的斜率分别为k1，k2，问：k1k2是否为定值？若是，请求出k1k2的值；若不是，请说明理由．
21．已知f（x）＝2e2x﹣1+4ax（a∈R）． （Ⅰ）若a
，求f（x）在x＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）若f（x）在[1，2]上的最大值为3e3，求a的值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（其中t为参数，α∈[0，
π）），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（Ⅰ）若点P（x，y）在直线l上，且
2，求sinα的值；
（Ⅱ）若α，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知f（x）＝|x﹣1|﹣|ax﹣2a|（a∈R）． （Ⅰ）若a＝1，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥x﹣4在x∈[2，9）上恒成立，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，集合A＝{x∈Z||x﹣1|≤2}，B＝{2，3，4，5}，则（∁UA）∩B＝（ ） A．{4，5}
B．{2，3，5}
C．{1，3}
D．{3，4}
【分析】先求出集合A，再求出其补集，进而求得结论． 解：因为全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，
集合A＝{x∈Z||x﹣1|≤2}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}， ∴（∁UA）∩B＝{4，5}． 故选：A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2．复数z
的共轭复数为（ ）
A．i B．i C．i D．i
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 解：复数z
i的共轭复数为
i．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．设a＝log0.76，b＝π0.5，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（ ） A．b＜a＜c
B．c＜a＜b
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 解：∵log0.76＜log0.71＝0，∴a＜0， ∵π0.5＞π0＝1，∴b＞1， 0＜0.30.2＜0.30＝1，∴0＜c＜1， ∴a＜c＜b， 故选：C．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用． 4．已知向量
（﹣3，1），
（x，﹣4）．若（
）⊥，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用向量垂直则数量积为零，可算出坐标，再由夹角公式计算． 解：因为
（x﹣3，﹣3），（
）⊥，
所以﹣3（x﹣3）+1×（﹣3）＝0，则x＝2， 由cos
，
，又
，
∈[0，π]，所以
，
．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量数量积的应用、向量夹角公式，根据向量垂直的坐标公式进行求解是解决本题的关键，属于基础题． 5．要想得到函数y
sinx+cosx的图象，可将函数y＝sinx
cosx的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【分析】由题意利用两角和差的正弦公式，化简函数的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 解：∵函数y＝sinx
cosx＝2sin（x
），函数y
sinx+cosx＝2sin（x
），
故要想得到函数y单位， 故选：A．
sinx+cosx的图象，可将函数y＝sinxcosx的图象向左平移个
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，两角和差的正弦公式，属于基础题．
6．向一块长度为4，宽度为3的矩形区域内，随机投一粒豆子（豆子大小忽略不计），豆子的落地点到矩形各边的距离均不小于1的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】求出符合要求的点对应的平面区域，进而求得对应的面积之比，即可求得结论．
解：
因为豆子的落地点到矩形各边的距离均不小于1， 故豆子需在长为2，宽为1的矩形内运动；
∴豆子的落地点到矩形各边的距离均不小于1的概率为：
．
故选：A．
【点评】本题主要考查几何概型的应用问题，考查学生的理解能力和运算能力． l是两条不同的直线， 7．已知m，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是（ ）A．m⊥l，m⊂β，l⊥α C．m∥l，m⊥α，l⊥β
B．m⊥l，α∩β＝l，m⊂α D．l⊥α，m∥l，m∥β
【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β有可能相交但不垂直；在C中，α∥β；在D中，推导出m⊥α，由m∥β，得到α⊥β．
解：由m，l是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知： 在A中，m⊥l，m⊂β，l⊥α，则α与β相交或平行，故A错误；
在B中，m⊥l，α∩β＝l，m⊂α，则α与β有可能相交但不垂直，故B错误； 在C中，m∥l，m⊥α，l⊥β，则α∥β，故C错误； 在D中，l⊥α，m∥l，则m⊥α， 又m∥β，则α⊥β，故D正确． 故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8．执行如图所示的程序框图，若输出的S为154，则输入的n为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s＝1+0+1+2+3+…+（i﹣1）＝154，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解：模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出s＝1+0+1+2+3+…+（i﹣1）＝154，所以
153，解得i＝18，
故最后一次对条件进行判断时，i＝18+1＝19， 所以n＝19． 故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，考查学生的逻辑推理能力，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
9．设f（x）和g（x）是定义在[a，b]上的函数，且图象都是一条连续不断的曲线．定义：d（f，g）＝|f（x）﹣g（x）|max．则“∃x0∈[a，b]，f（x0）≠g（x0）”是“d（f，g）＞0”的（ ） A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】若∃x0∈[a，b]，f（x0）≠g（x0），则d（f，g）＝|f（x）﹣g（x）|max≥|f（x0）﹣g（x0）|＞0，若d（f，g）＞0，则∃x0∈[a，b]，|f（x0）﹣g（x0）|＞0，即f（x0）≠g（x0）．
解：若∃x0∈[a，b]，f（x0）≠g（x0），则d（f，g）＝|f（x）﹣g（x）|max≥|f（x0）﹣g（x0）|＞0， ∴充分性成立．
反过来，若d（f，g）＞0，则∃x0∈[a，b]，|f（x0）﹣g（x0）|＞0，即f（x0）≠g（x0），∴必要性成立．
∴“∃x0∈[a，b]，f（x0）≠g（x0）”是“d（f，g）＞0”的充要条件． 故选：C．
【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查曲线性质等基础知识，考查推理论证能力，属于基础题．
10．已知α∈（π，π），2sin2α＝1﹣cos2α，则tan
（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得tan的值．
解：∵α∈（π，π），∴∈（ ，）．
∵2sin2α＝1﹣cos2α，∴4sinαcosα＝2sin2α， ∴sinα＝0（舍去），或tanα＝2
，
解得 tan．
再根据 ∈（ ，），tan0．
故 tan，
故选：D．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题． 11．已知双曲线C：
1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，其右支上存在
一点M，使得率为（ ） A．
•0，直线l：bx+ay＝0．若直线MF2∥l，则双曲线C的离心
B．2 C． D．5
【分析】由已知得MF1⊥MF2，直线l：bx+ay＝0为双曲线的一条渐近线，求出直线MF1的方程为y
，联立两直线方程求得N（
，
），又F1（﹣c，0），由中
点坐标公式得M（c），再由双曲线的定义结合MF1⊥MF2得
，即b＝2a．由此可得双曲线
，得到点M的纵坐标为，则
C的离心率． 解：由
•
0，得MF1⊥MF2，直线l：bx+ay＝0为双曲线的一条渐近线，
可知l的方程为y方程为y
．
，且MF1⊥l从而l是线段MF1 的垂直平分线，且直线MF1的
设MF1与直线l相交于点N（x，y），由，解得．
即N（），又F1（﹣c，0），由中点坐标公式得M（c，）．
由双曲线的性质可得|MF1|﹣|MF2|＝2a，① 由MF1⊥MF2，得联立①②可得
∴点M的纵坐标为，则
，
，即b＝2a．
，②
∴e．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线性质的综合问题，考查数形结合的解题思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．
12．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C与圆C'：x2+（yA，B两点，且|AB|
）2
交于
．若过抛物线C的焦点的弦MN的长为8，则弦MN的中点到
直线x＝﹣2的距离为（ ） A．2
B．5
C．7
D．9
【分析】化简圆C'，得，可得圆经过原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）也
，联立可
经过原点，设A（0，0），B（m，n），m＞0，得到m2+n2＝5，
得m＝1，n＝2，求得B点坐标，把B点坐标代入y2＝2px，解得p＝2．可得抛物线方程，求出焦点坐标与准线方程，由抛物线定义及梯形中位线定理可得弦MN的中点到直线x＝﹣2的距离．
解：由圆C'：x2，得，
可得圆经过原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）也经过原点， 设A（0，0），B（m，n），m＞0， 由|AB|
，可得m2+n2＝5，又
，
联立可得m＝1，n＝2，即B（1，2）， 把B（1，2）代入y2＝2px，解得p＝2．
故抛物线方程为y2＝4x，焦点F（1，0），直线方程为x＝﹣1． 如图，过M、N分别作ME⊥l于E，NK⊥l于K， 可得|MF|＝|ME|，|NK|＝|NF|， 即有|MN|＝|MF|+|NF|＝|ME|+|KN|． 设MN的中点为P0，则P0到准线l的距离为
．
则弦MN的中点到直线x＝﹣2的距离为4+1＝5． 故选：B．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查数形结合的解题思想方法，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在某歌唱比赛中，一名参赛歌手的得分为169，162，150，160，159，则这名歌手得分的方差为 37.2 ．
【分析】先求出这名歌手得分的平均分，由此能求出这名歌手得分的方差． 解：在某歌唱比赛中，一名参赛歌手的得分为169，162，150，160，159， ∴这名歌手得分的平均分为：
（169+162+150+160+159）＝160，
则这名歌手得分的方差为： S2
（81+4+100+1）＝37.2．
故答案为：37.2．
【点评】本题考查方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝2，则△ABC的周长为 2
2 ．
．再结合余弦定理求得b+c＝2
；进而求得结•
，
【分析】先根据向量的数量积求得bc论． 解：因为
•
，得bccos60°
⇒bc．又因A＝60°，a＝2；
所以b2+c2﹣2bccos60°＝4⇒（b+c）2＝4+3bc＝12⇒b+c＝2；
所以：a+b+c＝2+2．
故答案为：2+2．
【点评】本题考查三角形周长，向量的数量积以及余弦定理，注重学生对运算能力的考
查．
15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣2）＝﹣f（x），且当x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2x
，则f（log220）＝ ﹣1 ．
【分析】根据题意，由f（x﹣2）＝﹣f（x）分析可得f（x﹣4）＝﹣f（x﹣2）＝f（x），即函数是周期为4的周期函数，据此可得f（log220）＝f（log2），结合函数的奇偶性与解析式求出f（log2）的值，分析可得答案．
解：根据题意，函数f（x）满足f（x﹣2）＝﹣f（x），则有f（x﹣4）＝﹣f（x﹣2）＝f（x），
即函数是周期为4的周期函数，
4＜log220＜5，则f（log220）＝f（log220﹣4）＝f（log2），
又由f（x）为奇函数且当x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2x，
则f（log2）＝﹣f（﹣log2）＝﹣f（log2）＝﹣[]＝﹣1；
故f（log220）＝﹣1； 故答案为：﹣1．
【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的求值，属于基础题． 16．如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体的体积为 32
．
【分析】该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，两个四棱柱的体积和为：V＝2×2×2×4＝32，交叉部分的体积为四棱锥S﹣ABCD的体积的2倍，由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形ABCD为边长为
的棱形，设
AC的中点为H，连结BH，SH，由题意得SH为四棱锥S﹣ABCD的高，求出
，由此能求出这个几何体的体积．
解：该几何体的直观图如图所示，
该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积， 两个四棱柱的体积和为：V＝2×2×2×4＝32， 交叉部分的体积为四棱锥S﹣ABCD的体积的2倍， 在等腰△ABS中，SB＝2
，SB边上的高为2，则SA
，
∴由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形ABCD为边长为的棱形，
设AC的中点为H，连结BH，SH，由题意得SH为四棱锥S﹣ABCD的高， 在Rt△ABH中，BH又AC＝SB＝2
，∴
2，
4
，
∵BH＝SH，∴，
∴这个几何体的体积为V＝322＝32．
故答案为：32．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于难题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an﹣2n+1． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记bn＝（﹣1）n•log2[（an+4）
]，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．
【分析】（Ⅰ）运用数列的递推式：n＝1时，a1＝S1，n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，化简整理，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；
（Ⅱ）运用对数的运算性质化简可得bn＝（﹣1）n•n，再对n讨论是奇数和偶数，运用并项求和，计算可得所求和．
解：（Ⅰ）当n＝1时，由Sn＝2an﹣2n+1，可得a1＝S1＝2a1﹣2+1，即有a1＝1． 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2n+1﹣2an﹣1﹣2n+2﹣1， 即为an＝2an﹣1+2，可得an+2＝2（an﹣1+2），显然an﹣1+2≠0， 所以数列{an+2}是首项为3，公比为2的等比数列，
﹣﹣
则an+2＝3•2n1，即有an＝3•2n1﹣2，n∈N*；
（Ⅱ）bn＝（﹣1）n•log2[（an+4）
n
]＝（﹣1）n•log2[（3•2n﹣1+2）
]＝（﹣1）
•log22n＝（﹣1）n•n，
n；
当n为偶数时，Tn＝（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣n+1+n）
当n为奇数时，Tn＝Tn﹣1+bn（n﹣1）﹣n（n+1）．
综上可得，Tn．
【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式以及求和公式，同时考查对数的运算性质，对数值n的奇偶性进行分类讨论求解，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．
18．截至2019年，由新华社《瞭望东方周刊》与瞭望智库共同主办的“中国最具幸福感城市”调查推选活动已连续成功举办12年，累计推选出60余座幸福城市，全国约9亿多人次参与调查，使“城市幸福感”概念深入人心．为了便于对某城市的“城市幸福感”指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下不完整的2×2列联表（数据单位：人）
非常幸福 比较幸福 总计
男
女 11 9
总计 15 30
（Ⅰ）将列联表补充完整，并据此判断是否有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关；
（Ⅱ）若感觉“非常幸福”记2分，“比较幸福”记1分，从上表男性中随机抽取3人，
记3人得分之和为ξ，求ξ的分布列，并根据分布列求ξ≤4的概率． 附：K2
，其中n＝a+b+c+d
P（K2≥k0）
k0
0.10 2.706
0.05 3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
0.6＜2.706，从而没
【分析】（Ⅰ）完成2×2列联表，求出K2
有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关．
（Ⅱ）由题可知，ξ的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和ξ≤4的概率．
解：（Ⅰ）完成2×2列联表（数据单位：人），得：
非常幸福 比较幸福 总计 K2
男 4 6 10
女 11 9 20
0.6＜2.706，
总计 15 15 30
∴没有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关． （Ⅱ）由题可知，ξ的可能取值为3，4，5，6， 则P（ξ＝3）
，
P（ξ＝4），
P（ξ＝5），
P（ξ＝6），
∴ξ的分布列为：
ξ P
3
4
5
6
∴ξ≤4的概率P（ξ≤4）＝P（ξ＝3）+P（ξ＝4）．
【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的要布列、概率的求法，考查超几何分布等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题． 19．在如图所示的几何体中，底面ABCD是矩形，平面MAD⊥平面ABCD，平面MAB∩平面MCD＝MN，△MAD是边长为4的等边三角形，CD＝2MN＝2． （Ⅰ）求证：MN⊥MD；
（Ⅱ）求二面角M﹣BD﹣N的余弦值．
【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥AD，AB⊥平面MAD，从而AB∥平面MCD，进而MN∥AB，MN⊥平面MAD，由此能证明MN⊥MD．
（Ⅱ）设AD的中点为O，过O作OH∥AB，交BC于H，由题意知OA，OH，OM两两垂直，以O为原点，分别以OA，OH，OM为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣BD﹣N的余弦值．
解：（Ⅰ）证明：由底面ABCD为矩形，得AB⊥AD，
∵平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD， ∴AB⊥平面MAD，
∵AB∥CD，CD⊂平面MCD，AB⊄平面MCD， ∴AB∥平面MCD，
∵平面MAB∩平面MCD＝MN，∴MN∥AB，∴MN⊥平面MAD， ∵MD⊂平面MAD，∴MN⊥MD．
（Ⅱ）解：如图，设AD的中点为O，过O作OH∥AB，交BC于H， 由题意知OA，OH，OM两两垂直，
以O为原点，分别以OA，OH，OM为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则B（2，2，0），D（﹣2，0，0），M（0，0，2
），N（0，1，2
），
设平面MBD的法向量（x，y，z），
则，取x＝3，得（3，﹣6，），
设平面NBD的法向量（a，b，c），
则，取a＝1，得（1，﹣2，0），
∴cos．
∴二面角M﹣BD﹣N的余弦值为．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题． 20．已知椭圆C：
1（a＞0）的中心为原点O，左焦点为F，离心率为，不与坐
标轴垂直的直线l与椭 圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）若K（2，1）为线段MN的中点，求直线l的方程． （Ⅱ）若点P是直线x
上一点，点Q在椭圆C上，且满足
•
0，设直
线PQ与直线OQ的斜率分别为k1，k2，问：k1k2是否为定值？若是，请求出k1k2的值；若不是，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）由题意离心率的值及a，b，c之间的关系可得a的值，进而求出椭圆的方程，由MN的中点坐标，由点差法可得直线MN的斜率，进而由点斜式求出直线MN的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得P点所在的直线方程，及左焦点F的坐标，设P的坐标，及椭圆上的点Q的坐标，将Q的坐标代入椭圆的方程可得横纵坐标的关系，求出式，由题意求出k1k2的表达式，进而将
0代入可得k1k2为定值．
的表达
解：（Ⅰ）由题意可得，且c2＝a2﹣4，解得a2＝3，
所以椭圆的方程为：1，
设M（x1，y1），N（x2，y2）， 由于M，N在椭圆上，所以
作差可得
0，
因为K（2，1）为线段MN的中点，所以，
故直线l的方程为y﹣1（x﹣2），即8x+9y﹣25＝0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得直线xa2，点F（，0），
设P（，t），Q（x0，y0），易知x0≠0，
因为0，即（，﹣t）•（x0，﹣y0）＝0，可得ty0＝4x0，
因为Q在椭圆上，所以1，即y02＝4（1），
所以k1k2，
所以k1k2的值为定值，且为．
【点评】本题考查向量与椭圆方程的综合问题，及点差法求直线的斜率的求解问题，属于中档题．
21．已知f（x）＝2e2x﹣1+4ax（a∈一、选择题）． （Ⅰ）若a
，求f（x）在x＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）若f（x）在[1，2]上的最大值为3e3，求a的值．
【分析】（I）af（0）
﹣
时，f（x）＝2e2x1x，f′（x）＝4e2x﹣1，可得f′（0），
．利用点斜式可得f（x）在x＝0处的切线方程：yx．进而得出切线与
两坐标轴围成的三角形的面积．
（II）f′（x）＝4e2x﹣1+4a．（i）a≥0时，f′（x）＞0，利用函数f（x）的单调性与最大值可得a．
（ii）a＜0时，由f′（x）＝0，解得x的单调性与最大值可得a． 解：（I）a
．
时，f（x）＝2e2x﹣1
x，f′（x）＝4e2x﹣1
，∴f′（0）
，f（0）
[1+ln（﹣a）]．对a分类讨论利用函数f（x）
可得：f（x）在x＝0处的切线方程：yx．
令x＝0，可得y．令y＝0，可得x．
∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
﹣
（II）f′（x）＝4e2x1+4a．
（i）a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，∴f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）＝2e3+8a＝3e3，∴a
．
（ii）a＜0时，由f′（x）＝0，解得x[1+ln（﹣a）]．
①[1+ln（﹣a）]≤1，即﹣e≤a＜0时．故f（x）在[1，2]上单调递增，∴f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）＝2e3+8a＝3e3，∴a
，舍去．
②[1+ln（﹣a）]≥2，即a≤﹣e3时．故f（x）在[1，2]上单调递减，∴f（x）在[1，2]上的最大值为f（1）＝2e+4a＝3e3，∴a
e3
e，舍去．
③1[1+ln（﹣a）]＜2，即﹣e3＜a＜﹣e时．故f（x）在[1，[1+ln（﹣a））]上单调
递减，在（[1+ln（﹣a）），2]上单调递增，
由①②可知：f（2）不可能为最大值，而f（1）＝2e+8a＝3e3，f（2）﹣f（1）＝2e3﹣2e+4a＜0，解得a
e
e3．
f（x）在[1，2]上的最大值为f（1）＝2e+4a＝3e3，∴a
e3eee3，舍去．
综上可得：a．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（其中t为参数，α∈[0，
π）），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（Ⅰ）若点P（x，y）在直线l上，且
2，求sinα的值；
（Ⅱ）若α，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式和点到直线的距离公式的应用求出结果． 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（﹣2+tcosα，2+tsinα）， 所以
，整理得3sinα＝cosα，由于sin2α+cos2α＝1，
（其中t为参数，α∈[0，π）），则P
由于α∈[0，π），
解得．
（Ⅱ）曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．整理得ρ2＝2ρsinθ，根据转换
为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1．
直线l的方程转换为直角坐标方程为x﹣y+4＝0， 所以圆心（0，1）到直线l的距离d
，
所以圆上的点到直线的最大距离为．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知f（x）＝|x﹣1|﹣|ax﹣2a|（a∈R）． （Ⅰ）若a＝1，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥x﹣4在x∈[2，9）上恒成立，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）将a＝1代入f（x）中，然后利用绝对值三角不等式求出f（x）的值域；（Ⅱ）由f（x）⩾x﹣4，得|a|（x﹣2）≤3，然后分x＝2和2＜x＜9两种情况，由不等式f（x）≥x﹣4在x∈[2，9）上恒成立，求出a的取值范围． 解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣2|， ∴|f（x）|＝||x﹣1|﹣|x﹣2||≤|（x﹣1）﹣（x﹣2）|＝1， ∴﹣1≤f（x）≤1，∴f（x）的值域为[﹣1，1]； （Ⅱ）当2≤x＜9时，f（x）＝x﹣1﹣|a|（x﹣2）， 由f（x）⩾x﹣4，得|a|（x﹣2）≤3，
当x＝2时，不等式f（x）≥x﹣4显然成立； 当2＜x＜9时，可得|a|
，
∵当2＜x＜9时，，
∴只需|a|，即，
∴a的取值范围为．
【点评】本题考查了利用绝对值三角不等式求函数的值域和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容