安徽省宿州市十三校联考2016-2017学年高一（下）期中数学试卷
一、选择题
1、集合A={x|3x+2＞0}，B={x| A、（﹣1，+∞） B、（﹣1，﹣） C、（3，+∞） D、（﹣
，3）
＜0}，则A∩B=（ ）
2、已知a，b，c为实数，且a＞b，则下列不等式关系正确的是（ ） A、a2＞b2 B、ac＞bc C、a+c＞b+c D、ac2＞bc2
3、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若b= A、 B、C、2 D、
，a=2，B=
，则c=（ ）
4、在数列{an}中，已知a1=0，an+2﹣an=2，则a7的值为（ ）
A、9 B、15 C、6 D、8
5、在下列函数中，最小值为2的是（ ） A、y=2x+2﹣x B、y=sinx+ C、y=x+
（1＜x＜3） （0＜x＜
）
D、y=log3x+
6、若点A（4，3），B（2，﹣1）在直线x+2y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（ ） A、（0，10） B、（﹣1，2） C、（0，1） D、（1，10）
7、在等比数列{an}中，3a5﹣a3a7=0，若数列{bn}为等差数列，且b5=a5 ， 则{bn}的前9项的
和S9为（ ） A、24 B、25 C、27 D、28
8、若实数x，y满足约束条件 A、9 B、4 C、6 D、3
9、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若（a+c+b）（b+a﹣c）=3ab，则C=（ ） A、150° B、60° C、120° D、30°
10、在等差数列{an}中，a1=﹣2012，其前n项和为Sn ， 若 （ ） A、8068 B、2017 C、﹣8027 D、﹣2013
11、设x＞0，y＞0，满足 A、4 B、 C、2 D、9
12、已知数列{an}满足a1=4，an+1=an+2n，设bn=
*
，若存在正整数T，使得对一切n∈N ，
，则z=2x+y的最大值为（ ）
﹣ =2002，则S2017=
+ =4，则x+y的最小值为（ ）
bn≥T恒成立，则T的最大值为（ ）
A、1 B、2 C、4 D、3
二、填空题
13、在△ABC中，若a=18，b=24，A=30°，则此三角形解的个数为________． 14、设关于x的不等式x+b＞0的解集为{x|x＞2}，则关于x的不等式 为________．
＞0的解集
15、若△ABC的内角A，C，B成等差数列，且△ABC的面积为2 ，则AB边的最小值是
________．
16、某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及
3万元，每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为4万元、
则该企业每天可获得最大利润为________万元 甲 乙 原料限额 A（吨） 2 5 10 B（吨） 6 3 18 三、解答题 17、如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=4，AC=2
，DC=2
(1)求cos∠ADC (2)求AB． 18、{bn}是各项均为正数的等比数列，b2﹣a3=2b3 ， 已知数列{an}是等差数列，满足a1=b1=1，a3﹣2b2=﹣1
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式
(2)设cn=an+bn ， n∈N* ， 求数列{cn}的前n项和Sn ． 19、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边且asinB=
bcosA
(1)求A.
(2)若a=3，b=2c，求△ABC的面积． 20、已知数列{an}和{bn}（bn≠0，n∈N*），满足a1=b1=1，anbn+1﹣an+1bn+bn+1bn=0 (1)令cn=
，证明数列{cn}是等差数列，并求{cn}的通项公式
(2)若bn=2n﹣1 ， 求数列{an}的前n项和Sn ． 21、已知f（x）=x2﹣（m+
）x+1
(1)当m=2时，解不等式f（x）≤0
(2)若m＞0，解关于x的不等式f（x）≥0． 22、已知数列{an}的前n项和为Sn ， 满足Sn=
an﹣n（t＞0且t≠1，n∈N*）
(1)证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式（用t，n表示） (2)当t=2时，令cn=
，证明
≤c1+c2+c3+…+cn＜1．
答案解析部分
一、选择题 1、【答案】D
【考点】交集及其运算 【解析】【解答】解：由A中不等式解得：x＞﹣ 式解得：﹣1＜x＜3，即B=（﹣1，3）， 则A∩B=（﹣
，3），
，即A=（﹣
，+∞）， 由B中不等
故选：D．
【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出A与B的交集即可． 2、【答案】C
【考点】不等式的基本性质 【解析】【解答】解：∵a，b，c为任意实数，且a＞b，∴由不等式的性质可得 a+c＞b+c， 故选：C．
【分析】由条件a＞b，利用不等式的性质可得a+c＞b+c，从而得出结论． 3、【答案】B 【考点】正弦定理 【解析】【解答】解：∵b= 2=4+c2﹣2 ∴解得：c=
，a=2，B=
， ∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：
c，整理可得：c2﹣2 ．
c+2=0，
故选：B．
【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解c的值． 4、【答案】C
【考点】等差数列的通项公式 【解析】【解答】解：由an+2﹣an=2，可得数列{an}的奇数项构成以0为首项，以2为公差的等差数列， 则a7=a1+3×2=0+6=6． 故选：C．
【分析】由题意可得，数列{an}的奇数项构成以0为首项，以2为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式得答案． 5、【答案】A 【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A、y=2x+2x=2x+
﹣
，而2x＞0，则
有y≥2，符合题意， 对于B、y=sinx+ 有y＞2，y=sinx+
，令t=sinx，0＜x＜
，则0＜t＜1，
没有最小值，不符合题意；
对于C、y=x+ ，有x≠0，则有y≥2或y≤﹣2，不符合题意；
，令t=log3x，1＜x＜3，则有0＜t＜1，
对于D、y=log3x+
有y＞2，y=log3x+ 没有最小值，不符合题意； 故选：A．
【分析】根据题意，有基本不等式的性质依次分析4个选项函数的最小值，即可得答案． 6、【答案】A
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 【解析】【解答】解：点A（4，3），B（2，﹣1）在直线x+2y﹣a=0的两侧， 则（4+2×3﹣a）×（2﹣2﹣a）＜0， ∴a（a﹣10）＜0， 解得0＜a＜10， 故选：A．
【分析】由已知点A（4，3），B（2，﹣1）在直线x+2y﹣a=0的两侧，我们将A，B两点坐标代入直线方程所得符号相反，则我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 7、【答案】C
【考点】等比数列的前n项和 【解析】【解答】解：由题意{an}是等比数列，3a5﹣a3a7=0， ∴3a5﹣a52=0， 解得a5=3．
∵b5=a5 ， 即b5=3． b1+b9=2b5 那么
=27．
故选C
【分析】根据{an}是等比数列，3a5﹣a3a7=0，可得3a5﹣a52=0，解得a5=3．即b5=3，
，利用b1+b9=2b5即可求解．
8、【答案】A
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，
联立 ，解得A（3，3），
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，
由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为9． 故选：A．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 9、【答案】B 【考点】余弦定理 【解析】【解答】解：∵（a+c+b）（b+a﹣c）=3ab， ∴a2+b2﹣c2=ab， ∴cosC=
=
=
，
∵C∈（0，180°）， ∴C=60°． 故选：B．
【分析】由已知整理可得a2+b2﹣c2=ab，利用余弦定理可求cosC= 可求C=60°． 10、【答案】B
【考点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：∵数列{an}为等差数列，设其公差为d，则其前n项和为Sn=na1+ ∴ ∴ ∴{ ∴
=a1+ ﹣
d， =
，
的等差数列，
d，
，结合范围C∈（0，180°），
}为公差是 ﹣
=2002d=2002，解得d=1，
=2017．
∴S2017=2017×（﹣2012）+ 故选：B． 【分析】推导出{
}为公差是
的等差数列，从而 ﹣ =2002d=2002，解得d=1，
由此能求出S2017 ． 11、【答案】B 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：根据题意， ）≥4×（5+2
）=
+
=4， 则x+y=
，
×（
+
）（x+y）=
×（5+
+
（5+4）=
即x+y的最小值为 故选：B．
，
【分析】根据题意，将x+y变形可得x+y= ×（ + ）（x+y）= ×（5+ + ），由
基本不等式分析可得答案．
12、【答案】D
【考点】数列的函数特性 【解析】【解答】解：∵an+1=an+2n， ∴an+1﹣an=2n， ∴a2﹣a1=2， a3﹣a2=4， …
an﹣an﹣1=2（n﹣1），
累加可得an﹣a1=2（1+2+3+…+n﹣1）=n（n﹣1）， ∴an=n（n﹣1）+4， ∴bn=
=n﹣1+
≥2
﹣1=4﹣1=3，当且仅当n=2时取等号，
∴T≤3，
∴T的最大值为3， 故选：D
【分析】利用累加法求出数列的通项公式，再根据基本不等式求出bn的范围，即可求出T的范围．
二、填空题 13、【答案】2 【考点】正弦定理 【解析】【解答】解：由△ABC中，a=18，b=24，A=30°， 由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得182=242+c2﹣2×24ccos30°， 化简整理，得c2﹣24 由于△=（24
c+252=0，
）2﹣4×252=720＞0，
可得c有2解，可得此三角形解的个数有2个． 故答案为：2．
【分析】根据余弦定理，建立a2关于b、c和cosA的式子，得到关于边c的一元二次方程，解之得c有2解，由此可得此三角形有两解，得到本题的答案． 14、【答案】（﹣1，2）∪（6，+∞） 【考点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意，b=﹣2，关于x的不等式
＞0化为（x+1）（x﹣2）
（x﹣6）＞0， ∴关于x的不等式 ＞0的解集为（﹣1，2）∪（6，+∞）， 故答案为（﹣1，2）∪（6，+∞）．
【分析】求出b，利用根轴法，即可得出结论． 15、【答案】2
【考点】正弦定理
【解析】【解答】解：△ABC中，A、C、B成等差数列，故2C=A+B，故C=
，A+B=
． ∵
△ABC的面积为 •ab•sinC= =2 ，
∴ab=8，
∴AB2=c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab=8，（当且仅当a=b时等号成立）， ∴AB边的最小值为2 故答案为：2
．
，再利用三角形的面积公式求得ab=8，再利
．
【分析】由条件利用等差数列的定义求得C=
用余弦定理，基本不等式即可求得AB边的最小值． 16、【答案】13 【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元， 则 目标函数为 z=4x+3y．
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域． 由z=4x+3y得y=﹣ 平移直线y=﹣ 此时z最大，
x+
，
，由图象可知当直线y=﹣
x+
，
经过点A时，直线的截距最大，
解方程组 ，解得：A（ ），
∴zmax=4x+3y=10+3=13．
则每天生产甲乙两种产品分别为2.5，1吨，能够产生最大的利润，最大的利润是13万元． 故答案为：13．
【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．
三、解答题
17、【答案】（1）解：在△ADC中，AD=4，AC=2
，DC=2， 由余弦定理得cos∠ADC=
=﹣
（2）解：∴∠ADC=120°，∠ADB=60°， 在△ABD中，AD=4，∠B=45°，∠ADB=60°，
由正弦定理得AB 2
【考点】三角形中的几何计算 【解析】【分析】（1）在△ADC中，利用余弦定理表示出cos∠ADC，把三角形的三边长代入，化简可得值，（2）根据由∠ADC的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出∠ADC的度数，根据邻补角定义得到∠ADB的度数，再由AD和∠B的度数，利用正弦定理即可求出AB的长． 18、【答案】（1）解：设数列{an}是公差为d的等差数列， {bn}是各项均为正数且公比为q的等比数列，
由a1=b1=1，b2﹣a3=2b3 ， a3﹣2b2=﹣1， 可得q﹣（1+2d）=2q2 ， 1+2d﹣2q=﹣1，
解得d=﹣ ，q= ，
可得an=a1+（n﹣1）d=1﹣ （n﹣1）= （3﹣n）；
bn=b1qn1=（
﹣）n1 ， n∈N*
﹣
（2）解：cn=an+bn= （3﹣n）+（
）n1 ， 可得数列{cn}的前n项和Sn=
﹣
n（1+
）+
=﹣
n2+
n﹣ +2
【考点】数列的求和，数列递推式
【解析】【分析】（1）设数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是各项均为正数且公比为q的等比数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）求出cn=an+bn=
（3﹣n）+（
）n1 ， 运用数列的求和方法：分组求和，
﹣
结合等差数列和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和． 19、【答案】（1）解：由asinB=
bcosA得sinAsinB=
sinBcosA，∴tanA=
， ∴A=
（2）解：由余弦定理得9=4c2+c2﹣2•2c•c•
，∴c=
，∴b=2
所以△ABC的面积
为S= × ×2 × =
【考点】三角形中的几何计算 【解析】【分析】（1）由条件，利用正弦定理，即可得出结论；（2）由余弦定理求出c，可得b，即可求△ABC的面积．
20、【答案】（1）证明：由anbn+1﹣an+1bn+bn+1bn=0，得 =1，
因为cn= ，
所以cn+1﹣cn=1，
所以数列{cn}是等差数列，所以{cn}=n
﹣﹣﹣
（2）由bn=2n1得an=n•2n1 ， 所以Sn=1×20+2×21+3×22+…+n•2n1 ， ① 2Sn=1×21+2×22+3×33+…+n•2n ， ②
由②﹣①，得Sn=2n（n﹣1）+1 【考点】数列的求和，数列递推式 【解析】【分析】（1）数列{an}和{bn}（bn≠0，n∈N*），满足a1=b1=1，anbn+1﹣an+1bn+bn+1bn=0，又cn=
，可得cn+1﹣cn=1，即可证明；（2）利用错位相减法求和即可．
21、【答案】（1）解：m=2时，不等式化为（x﹣ ）（x﹣2）≤0， ∴ ，
∴不等式的解集为{x| }
（2）解：由题意得f（x）=（x﹣m）（x﹣ ） 当0＜m＜1时，m＜ ，不等式解集
为{x|x≤m或x≥ }
当m=1时，m= ，不等式解集为R
当m＞1时，m＞ ，不等式解集为{x|x≥m或x≤ }
【考点】二次函数的性质，一元二次不等式的解法 【解析】【分析】（1）m=2时，不等式化为（x﹣
）（x﹣2）≤0，即可解不等式f（x）≤0
（2）若m＞0，分类讨论解关于x的不等式f（x）≥0．
22、【答案】（1）证明：∵数列{an}的前n项和为Sn ， 满足Sn= ∈N*）， ∴由题意当n=1时，a1=t﹣1，
an﹣n（t＞0且t≠1，n
∵Sn= an﹣n，①
∴Sn+1= an+1﹣（n+1），②
②﹣①得an+1=tan+t﹣1，即an+1+1=t（an+1）， ∴{an+1}是以t为首项，以t为公比的等比数列 ∴数列{an}的通项公式
（2）证明： = =
令Tn=c1+c2+c3+…+cn ，
则Tn=（1﹣ ）+（ ）+（ ）+…+（ ）=1﹣ ．
∵Tn单调递增，∴当n=1时，（Tn）min= ，当n趋向无穷大时，Tn趋近1．
∴
≤c1+c2+c3+…+cn＜1
【考点】等比数列的通项公式，数列与不等式的综合 【解析】【分析】（1）当n=1时，a1=t﹣1，an+1+1=t（an+1），由此能证明{an+1}是以t为首项，以t为公比的等比数列，并能求出数列{an}的通项公式．（2） 用裂项求和法求出Tn=c1+c2+c3+…+cn=1﹣
，由此能证明
=
，利
≤c1+c2+c3+…+cn＜1．
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