用小波配点法求解Burgers方程

维普资讯 http://www.cqvip.com 科　董艳　科！苑！论｝谈　用小波配点法求解Ｂｕｒｇｅｒｓ　方程　申亚男　王志丽　（１、北京科技大学应用科学学院，北京１０００８３　２、内蒙古科技大学理学院，内蒙古包头０１４０１０）　摘要：选用新的基函数，结合Ｌａｇｒａｎｇｅ插值法用小波配点法求解了Ｂｕｒｇｅｒｓ方程，得到了较高精度的计算结果，说明了该方法的可行性，　关键词：自动联系函数；小波配点法；Ｂｕｒｇｅｒｓ方程　随着小波理论的发展，许多学者将小波方　法和传统的微分方程组数值方法相结合用于数　值解偏微分方程。常见的方法有小波有限元法、　小波配点法。小波配点法要求基函数具有插值　性。用Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式确定解函数定义区　间之外的函数值，并选择尺度因子为３的自动　联系函数作基函数，用小波配点法对偏微分方　程的空间变量进行离散，建立起关于时间的常　微分方程组，然后采用传统的Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ￣”法　对该方程组求解，并借助于Ｍａｌｒａｂ软件来实现　上述算法，使方程的求解得到了较好的简化，并　达到一定的精确度。　１基函数的性质　文［２】构造了尺度因子ａ＝３且同时具有正　交性和紧支撑性的尺度函数‘Ｐ（ｘ），从而得到了　具有插值性质的自动联系函数　一起构成ｒ一个多分辨分析　，所以当　＋ｏｏ　时Ｕ　（ｘ，ｔ　一ｕ（ｘ，ｔ）．因此ｕ（ｘ，ｔ）有如下近似表达式：　“Ｗ＿（ｗ　）ｆ：　）枷　其中　（　）≈　（　）＝∑ｑＯ（３　—ｋ）　ｘ　（４）　去（３　（　一七）　七　…　×　一１　从而式（４）可以写成：　享　：　：　（多，１　“（　，１，　Ｄ：（ｄ　＾）ｆ２　－Ｉ１　２　，　，　其中ｄ　＝３　（，，ｌ一七），ｍ，ｋ＝ｌ，…，３　ｘ２—１　ｆ５１　Ｖｄ：）　（训　钏　（３ｉｘ－ｋ）　对　＝　＝　，ｍ：１，２，…，２ｘ３；一１，因为：　ｓｕｐｐ０　＝ｓｕｐｐＯ　＝卜３，３】有　ｆＷ—ＭＤ）Ｖ　　警岫　（ｌｍ叫　ＯＺｕ　（ｘ：ｄ）　（３　警　（　）　（７）　２．２对解函数的边界进行处理　由方程初边值条件（２），我们所求的解函数　够产生一个多分辨分析：　的空间变量是定义在有限区间上的，即ｘ∈　ｆ０，２】，而式（６）、（７）中的部分系数是在此区间外的　＝ｓｐａｎ｛Ｏｊ，ｋ｝，０，　＝３ｉ　３ＩＸ－－ｋ）　函数值．根据小波的特性，用多分辨分析尺度空　尺度函数０（ｘ）有以下性质：　间中的函数近似函数取）时，所产生的误差受函　（１）对称性：　（一　）：ｏ（ｘ）　数“ｘ）奇异性的影响，奇异性越大误差越大．因　其中Ｉ　（ｘ）为第一类１＂１阶修正Ｂｅｓｓｅｌ函数．　此我们需要在尽量不增加解函数在边界附近的　从表１可知，这一方法可以对非线性偏微分方　奇异性的前提下，对解函数进行延拓。本文使用　程进行很好的拟合。　（３）具有双尺度方程：　Ｌａｇ＇ｒａｎｇｅ外插法，取部分ｕ（ｘ，ｔ）区间内的点作为　表１插值延拓对应小波配点法数值结果　‘Ｑ㈣蚴　谡蠹　插值结点，建立Ｌ次的Ｌａｇｒａｎｇｅ多项式，由多　（　：　（３ｘ）＋∑　【　（３　—　）＋口（３ｘ＋　）】，ｓｕｐｌｘｐ＝［一Ｎ，Ｎ】　项式的函数值近似代替函数在边界外的值．贝０　（４）导数性质：　式（６）、（７）变为：　ｕ　砷（嘲瞬田柱　娜Ｄｊ妊强吲乃＆ｌＩ　嘲５咀抽锄　（　）：　（　）＝ｅ　（，）　（　，ＯｆｔＥＮ　Ｔ　０（　）能　：　舞　ｎＺＴｒ￣ｔ　Ｒｅ．　Ｑ舸疆每鳓０．Ｉ瑚醴Ｂ蜘瘫明　锄，　．０涸　嬲（　）插值性：　）：｛　：（　ｚ）　ｊＩ　：　（　：　（砷、一　、（眦）　ｋ　２￣　３Ｊ－。“（训　（　）（８）　：ｎ　ｉ钉　ｎ弱卿９ｌｏ｜２　ｇ　Ｉ　Ｕａ如ｎ∞晒　翻彩６，婚　　１２￣　－Ｌｌ霜姻四醐枷５驾　１９６同时给出了它的一阶和二阶导数值：　口　（１）＝～０．７５００００００００００．　（２）＝０．１５００００００００００，　（　ｋ＝ｌ　，）　（　）（９）　口，（３）＝一０．１６６６６６６６６６６７．口　（０）＝一９．７２２２２２２２２２２Ｉ　口　（１）：６．７４９９９９９９９９９９，０　（２）：一２　２５００００００００００　其中　ｆＩ＆　ｘ　一　）＋　一　）　蠊．￡｛－—　ｌ　－－＿－ｘ，，　口　（３）＝０．３６１１１１１１１１１１　（ｍ一　）：｛　（ｍ一　）　：　＋１．．．２ｘ　—Ｌ－１　ｎ踟翘梵监５９目∞　氆为糍璃８５８　呕ｌ５ｃ暖疆巧∞９　．０００咀　ｌ　翻勰　Ｉ　ｉ钉　瑚塑　塾　塑　堕　些　并且０（ｘ）的紧支集是：ｓｕｐｐ０（ｘ）＝【一３，３】　２数值解Ｂｕ￣ｅｍ方程　Ｂｕ￣ｅｍ方程是：　Ｏｕ＋“　：　＋“　：　Ｌ蔓．　ｘ．－ｘ，　一　一　一　）．｝＝　；，　一一　—４结束语　本章以Ｂｕｒｇｅｒｓ方程为例，选择尺度因子　为３的自动联系函数作为逼近空间的基函数．　结合Ｌａｇｒａｎｇｅ插值延拓用小波配点法求解非线　性偏微分方程，并得到了数值结果．结果表明这　方法是有效的．　参考文献　１　０２ｕ，’。　ｕ　２，ｒ≥。ｓ　ｚ＇　之０　…　『１１　叫　Ｉ　～ｎ）＋　（ｍ一　）．　＝２ｘ２￣一上’．２×　—Ｉ　它的初始条件和边界条件为：　ｌ“（０，ｔ）＝“（２，ｔ）＝０　Ｉ“（　，０）＝ｓｉｎ＂ｉｆｘ　（２）　厦。２．１对方程的空间变量进行离散　首先对该方程进行空间离散。对任意的时　间－０，定义算子：　ｄｕ（　ｘ．，ｔ）在方程（１）中职：中取　　：孑，，　：ｌｌ，２，…，　３　２一２一　－［１１刘钦圣，张晓丹，王兵团．数值计算方法教程　［Ｍ１．ｊｂ京：冶金工业出版社，１９９８．　【Ｚｌ龙爱芳．微分方程的小渡解【．『】．河南师范大学　学报（自然科学版），２００２，３０（４）Ｉ　２３—２８．　作者简介：董艳，北京科技大学应用科学　学院数力系硕士研究生，内蒙古科技大学数理　系助教　（“）＝　（　，ｔ）＝∑ｑＯ（３　—ｋ）∈　（３）　好　＝　Ｙｕ（　）　帕　ｍ　（１　ｏ）　网和　＋去（３　）　“（训　（ｍ—　＝（“（　，ｆ），“（　，ｆ），…，“（　￣ｔ＇ｆ））　Ｍ＝ｄｉａｇ（Ｖ）　责任编辑：程稿