“隐圆”问题

(2017·苏北四市期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x+y-4x=0

及点A(-1,0),B(1,2).

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(例1)

(1) 若直线l平行于AB,与圆C相交于M,N两点,MN=AB,求直线l的方程.

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(2) 在圆C上是否存在点P,使得PA+PB=12若存在,求点P的个数;若不存在,请说明理由.

【思维引导】(1) 利用r=(2)+d求解;(2) 根据条件PA+PB=12,确定点P的轨迹,即为“隐圆”,然后利用两圆的位置关系,确定点P的个数.

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(2017·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx-y+2=0与直线

l2:x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为 .

【思维引导】两条直线均过定点,交点在以两个定点间线段为直径的圆周上,从而问题转化为求圆上的点到直线x-y-4=0距离的最大值.

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(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x+y=50⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗ ≤20,则点P的横坐标的取值范围是 . 上.若PA

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, 有些时候,在条件中没有直接给出圆方面的信息,而是隐藏在题目中的,要通过分析和转化,发现圆(或圆的方程), 从而最终可以利用圆的知识来求解,我们称这类问题为“隐圆”问题.如何发现隐圆(或圆的方程)是关键,常见的策略有以下几种: (1) 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆; 22(2) A,B是两个定点,动点P满足PA+ PB为定值确定隐圆; (3) 动点P对两定点A,B张角为90°(kPA·kPB =-1)确定隐圆; ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗ =l(l为常数)确定隐圆(如变式); (4) A,B是两个定点,动点 P满足PA(5) A,B是两个定点,动点P满足PA=λPB(λ>0且λ≠1)确定隐圆(阿波罗尼斯圆); (6) 由圆周角的性质确定隐圆等. ~

1. (2017·海安期末)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点P(-1,0),Q(2,1),直线

l:ax+by+c=0,其中实数a,b,c成等差数列,若点P在直线l上的射影为H,则线段QH的取值范围是 .

2. (2017·南通密卷)已知点A(2,3),点B(6,-3),点P在直线3x-4y+3=0上,若满足等式⃗⃗⃗⃗ ·BP⃗⃗⃗⃗ +2λ=0的点P有两个,则实数λ的取值范围是 . AP

…

3. (2017·通州检测)设m∈R,直线l1:x+my=0与直线l2:mx-y-2m-4=0交于点P(x0,y0),则

2x20+y0+2x0的取值范围是 .

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4. (2017·南京、盐城一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+b+2c=8,则△ABC 面积的最大值为 .

（

⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗ =λ(λ<0),且点C总不在以点B为圆心,1为半5. 已知线段AB的长为2,动点C满足CA2径的圆内,则负数λ的最大值为 .

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6. (2017 ·南通一模)在平面直角坐标系xOy 中,已知B,C为圆x+y=4上两点,点A(1,1),且 AB⊥AC,则线段BC的长的取值范围为 .

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7. 如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在直线l上.

(1) 若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程; (2) 若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.

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8. (2017 ·南通二模)一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线) n mile的A处,发现在其北偏东30°方向相距4 n mile的B处有一走私船正欲逃跑,缉私艇立即追击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.

(1) 若走私船沿正东方向逃离,试确定缉私艇的追击方向,使得用最短时间在领海内拦截成功;参考数据:sin17°≈,√33≈ 6

6

(2) 问:无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇是否总能在领海内成功拦截并说明理由.

√3