一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22
纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米=0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为( )
A. 2.2×108 B. 2.2×10−8 C. 0.22×10−7 D. 22×10−9
2. 下列运算，正确的是( )
A. 2𝑥+3𝑦=5𝑥𝑦 B. (𝑥−3)2=𝑥2−9 C. (𝑥𝑦2)2=𝑥2𝑦4 D. 𝑥6÷𝑥3=𝑥2 3. 下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列说法正确的有( )个
①同位角相等；
②一条直线有无数条平行线；
③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ④如果𝑎//𝑏，𝑏//𝑐，则𝑎//𝑐；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 一组数据4，4，x，8，8有唯一的众数，则这组数据的平均数是( )
A. 5
28
B. 5或5
𝑥
𝑘
32
C. 5或5
2832
D. 5
6. 已知关于x的分式方程𝑥−2−4=2−𝑥的解为正数，则k的取值范围是( )
A. −8<𝑘<0 C. 𝑘>−8 且𝑘≠2 B. 𝑘>−8且𝑘≠−2 D. 𝑘<4且𝑘≠−2
𝑆菱形𝐴𝐵𝐶𝐷=48，BD相交于点O，7. 如图，菱形ABCD的对角线AC、过点D作𝐷𝐻⊥𝐴𝐵于点H，连接OH，若𝑂𝐴=6，
则OH的长为( )
A. 4 B. 8
18𝑥
C. √13
D. 6
8. 如图，点A在反比例函数𝑦1=
6
(𝑥>0)的图象上，过点A作𝐴𝐵⊥𝑥轴，垂足为B，交
反比例函数𝑦2=𝑥(𝑥>0)的图象于点𝐶.𝑃为y轴上一点，连接PA，𝑃𝐶.则△𝐴𝑃𝐶的面积为( )
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A. 5 B. 6 C. 11 D. 12
9. 如图，在菱形纸片ABCD中，𝐴𝐵=2，∠𝐴=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在
CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为( )
A. 4 B. 5 C. 10 D. 6√3
10. 二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(−2,−9𝑎)，下列
结论：
①𝑎𝑏𝑐>0；②4𝑎+2𝑏+𝑐>0；③5𝑎−𝑏+𝑐=0；④若方程𝑎(𝑥+5)(𝑥−1)=−1有两个根𝑥1和𝑥2，且𝑥1<𝑥2，则−5<𝑥1<𝑥2<1；⑤若方程|𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐|=2有四个根，则这四个根的和为−4． 其中正确的结论有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 11. 函数𝑦=𝑥+5中，自变量x的取值范围是______． 12. 分解因式：(𝑝+1)(𝑝−4)+3𝑝=______．
𝑦=𝑥+2
13. 如图，直角坐标系中，直线𝑦=𝑥+2和直线𝑦=𝑎𝑥+𝑐相交于点𝑃(𝑚,3)，则方程组{的解为______．
𝑦=𝑎𝑥+𝑐
𝑥−1
7199
7
𝑥甲=1.29𝑚，𝑥乙=1.29𝑚，14. 为考察甲、乙两种油菜的长势，分别从中抽取20株测其高度进行统计分析，结果如下：
22
𝑠甲=1.6米 2、𝑠乙=4.8米 2，则油菜花长势比较整齐的是______．
−
−
…，15. 如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由5个圆组成，第3个图由11个圆组成，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由______个圆组成，
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P是位似中心，16. 如图，已知矩形OABC与矩形FEDO是位似图形，若点A的坐标为(0,6)，
点E的坐标为(2,3)，则点B的坐标为______ ．
A、C两点分别位于x轴、y轴上，CP交OB于点Q，17. 如图，正方形OABC的边长为8，点P在AB上，函数𝑦=𝑥的
图象经过点Q，若𝑆△𝐵𝑃𝑄=9𝑆△𝑂𝑄𝐶，则k的值为______．
18. 如图，在边长为3的等边△𝐴𝐵𝐶中，点D在AC上，且𝐶𝐷=1，点E在AB上(不与点A、B重合)，连接DE，
把△𝐴𝐷𝐸沿DE折叠，当点A的对应点F落在等边△𝐴𝐵𝐶的边上时，AE的长为______．
三、解答题（本大题共10小题，共66.0分） 19. 计算：√8×√2−2𝑠𝑖𝑛60°−|√3−2|+(2)−1
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1
1
𝑘
20. 先化简，再求值：
21. 解方程：𝑥−1=𝑥2−1+1．
22. 某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在A处测得点O位于
北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得𝐴𝐶=840𝑚，𝐵𝐶=500𝑚.请求出点O到公路AC
的距离．
(参考数据：𝑠𝑖𝑛73.7°≈25，𝑐𝑜𝑠73.7°≈25，𝑡𝑎𝑛73.7°≈
24
7
247
𝑥
4
𝑥2𝑥2−1
÷(
1𝑥−1
+1)，其中x为整数且满足不等式组{
𝑥−1>1,
5−2𝑥≥−2.
)
23. “春节”是我国最重要的传统佳节，北方地区历来有“吃饺子”的习俗.某饺子厂为了解市民对去年销售较好的
猪肉大葱馅、韭菜鸡蛋馅、香菇馅、三鲜馅(分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成两幅统计图(尚不完整
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)．
请根据所给信息回答：
(1)本次参加抽样调查的居民有______ 人； (2)将两幅不完整的统计图补充完整；
(3)若居民区有8000人，请估计爱吃D种饺子的人数；
(4)若有外形完全相同的4盘饺子，分别装有A、B、C、D这4类饺子，老张从中挑了2盘.求他同时吃到A、B两种饺子的概率(用树状图或者列表分析)．
24. 如图，一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象与反比例函数𝑦=𝑥的图象交于𝐴(−2,1)，𝐵(1,𝑛)
两点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求△𝐴𝑂𝐵的面积；
(3)根据所给条件，请直接写出不等式𝑘𝑥+𝑏<𝑥的解集．
E是BC的中点，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐸//𝐷𝐶，𝐸𝐹⊥𝐶𝐷25. 如图，在四边形ABCD中，
于点F．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=10，求EF的长．
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𝑚
𝑚
26. 工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元，按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元
销售该工艺品12件所获利润相等．
(1)该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
(2)若每件工艺品按(1)中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件，若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件，如果既要每天要获得的利润4800元，又要使消费者得到实惠，问每件工艺品降价多少元出售？
(3)请商场如何定价可以使每天获得最高利润？
27. 已知：如图，⊙𝑂的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连结PD．
(1)求证：PD是⊙𝑂的切线． (2)求证：𝑃𝐷2=𝑃𝐵⋅𝑃𝐴．
(3)若𝑃𝐷=4，tan∠𝐶𝐷𝐵=2，求直径AB的长．
1
28. 如图，直线𝑦=𝑥+2与抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+6相交于𝐴(2,2)和𝐵(4,𝑚)，直线AB交x轴于点E，点P是线段
AB上异于A、B的动点，过点P作𝑃𝐶⊥𝑥轴于点D，交抛物线于点C． (1)求抛物线的解析式；
(2)连结AC、BC，是否存在一点P，使△𝐴𝐵𝐶的面积等于14？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若△𝑃𝐴𝐶与△𝑃𝐷𝐸相似，求点P的坐标．
15
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】 【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为𝑎×10−𝑛，其中1≤|𝑎|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为𝑎×10−𝑛，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】
解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10−8． 故选：B． 2.【答案】C
【解析】 【分析】
此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和积的乘方与幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别计算得出答案． 【解答】
解：𝐴.2𝑥+3𝑦，无法计算，故此选项错误； B.(𝑥−3)2=𝑥2−6𝑥+9，故此选项错误； C.(𝑥𝑦2)2=𝑥2𝑦4，正确；
D.𝑥6÷𝑥3=𝑥3，故此选项错误． 故选：C． 3.【答案】D
【解析】【试题解析】
解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】A
【解析】解：只有两直线平行时，同位角才相等，故①错误； 一条直线有无数条平行线，故②正确；
在同一平面内，当两条线段在同一条直线上，但不相交，就不是平行线，故③错误 如果𝑎//𝑏，𝑏//𝑐，则𝑎//𝑐，故④正确；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故⑤错误； 即正确的有2个， 故选：A．
根据平行线的性质和判定，平行公理及推论逐个判断即可．
本题考查了平行线的性质和判定，平行公理及推论等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
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5.【答案】C
【解析】解：因为一组数据4，4，x，8，8有唯一的众数， 所以𝑥=4或𝑥=8， 当𝑥=4时，𝑥=当𝑥=8时，𝑥=
−−
4×3+8×2
54×2+8×3
5
==
285
， ，
325
故选：C．
根据众数的意义，可得出𝑥=4或𝑥=8，分两种情况求平均数即可．
本题考查众数、平均数的意义和计算方法，求出x的值是求出平均数的前提． 6.【答案】B
【解析】解：分式方程𝑥−2−4=2−𝑥， 去分母得：𝑥−4(𝑥−2)=−𝑘， 去括号得：𝑥−4𝑥+8=−𝑘， 解得：𝑥=
𝑘+83
𝑥
𝑘
，
𝑘+83
由分式方程的解为正数，得到
>0，且
𝑘+83
≠2，
解得：𝑘>−8且𝑘≠−2． 故选：B．
表示出分式方程的解，根据解为正数确定出k的范围即可． 此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件． 7.【答案】A
【解析】 【分析】
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得𝑂𝐻=
12
𝐵𝐷．
1
𝑂𝐵=𝑂𝐷，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，由菱形的性质得出𝑂𝐴=𝑂𝐶=6，则𝐴𝐶=12，由直角三角形斜边上的中线性质得出𝑂𝐻=2𝐵𝐷，再由菱形的面积求出𝐵𝐷=8，即可得出答案． 【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴𝑂𝐴=𝑂𝐶=6，𝑂𝐵=𝑂𝐷，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷， ∴𝐴𝐶=12， ∵𝐷𝐻⊥𝐴𝐵， ∴∠𝐵𝐻𝐷=90°， ∴𝑂𝐻=2𝐵𝐷，
∵菱形ABCD的面积=2×𝐴𝐶×𝐵𝐷=2×12×𝐵𝐷=48， ∴𝐵𝐷=8， ∴𝑂𝐻=2𝐵𝐷=4； 故选A．
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1
1
1
1
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键．
连接OA和OC，利用三角形面积可得△𝐴𝑃𝐶的面积即为△𝐴𝑂𝐶的面积，再结合反比例函数中系数k的几何意义，利用𝑆△𝐴𝑂𝐶=𝑆△𝑂𝐴𝐵−𝑆△𝑂𝐵𝐶，可得结果． 【解答】
解：连接OA和OC，
∵点P在y轴上，𝐴𝐵⊥𝑥轴， ∴𝐴𝐵//𝑂𝑃，
∴△𝐴𝑂𝐶和△𝐴𝑃𝐶面积相等， ∵𝐴在𝑦1=
18
上，C在𝑦2=6
𝑥
𝑥上，𝐴𝐵⊥𝑥轴，∴𝑆△𝑂𝐴𝐵=1
9，𝑆△𝑂𝐵𝐶=1
2×18=2×6=3， ∴𝑆△𝐴𝑂𝐶=𝑆△𝑂𝐴𝐵−𝑆△𝑂𝐵𝐶=6，
∴△𝐴𝑃𝐶的面积为6， 故选：B． 9.【答案】A
【解析】解：如图，连接BE，BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠𝐴=60°，
∴𝐴𝐵=2=𝐵𝐶=𝐶𝐷，∠𝐴=60°=∠𝐶， ∴△𝐵𝐶𝐷是等边三角形， ∵𝐸是CD中点，
∴𝐷𝐸=1=𝐶𝐸，𝐵𝐸⊥𝐶𝐷，∠𝐸𝐵𝐶=30°， ∴𝐵𝐸=√3𝐶𝐸=√3， ∵𝐶𝐷//𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐸𝐵=90°， 由折叠可得𝐴𝐹=𝐸𝐹， ∵𝐸𝐹2=𝐵𝐸2+𝐵𝐹2， ∴𝐸𝐹2=3+(2−𝐸𝐹)2， ∴𝐸𝐹=7
4． 故选：A．
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连接BE，BD，证明△𝐵𝐶𝐷是等边三角形，证得∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐸𝐵=90°，由折叠可得𝐴𝐹=𝐸𝐹，由𝐸𝐹2=𝐵𝐸2+𝐵𝐹2可求出答案．
本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度． 10.【答案】A
【解析】解：∵抛物线的开口向上，则𝑎>0，对称轴在y轴的左侧，则𝑏>0，交y轴的负半轴，则𝑐<0， ∴𝑎𝑏𝑐<0，所以①结论错误； ∵抛物线的顶点坐标(−2,−9𝑎)， ∴−2𝑎=−2，
𝑏
4𝑎𝑐−𝑏24𝑎
=−9𝑎，
∴𝑏=4𝑎，𝑐=−5𝑎，
∴抛物线的解析式为𝑦=𝑎𝑥2+4𝑎𝑥−5𝑎，
∴4𝑎+2𝑏+𝑐=4𝑎+8𝑎−5𝑎=7𝑎>0，所以②结论正确， 5𝑎−𝑏+𝑐=5𝑎−4𝑎−5𝑎=−4𝑎<0，故③结论错误， ∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+4𝑎𝑥−5𝑎交x轴于(−5,0)，(1,0)，
∴若方程𝑎(𝑥+5)(𝑥−1)=−1有两个根𝑥1和𝑥2，且𝑥1<𝑥2，则−5<𝑥1<𝑥2<1，正确，故结论④正确， 𝑥2，若方程|𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐|=1有四个根，设方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=1的两根分别为𝑥1，则设方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=1的两根分别为𝑥3，𝑥4，则
𝑥3+𝑥42
𝑥1+𝑥22
=−2，可得𝑥1+𝑥2=−4，
=−2，可得𝑥3+𝑥4=−4，
所以这四个根的和为−8，故结论⑤错误，
故选：A．
根据二次函数的性质一一判断即可．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 11.【答案】𝑥≠−5
【解析】解：由分式分母不为0可知：𝑥+5≠0． 解得：𝑥≠−5． 故答案为：𝑥≠−5．
根据分式的分母不为0解答即可．
本题主要考查的是函数自变量的取值范围，明确分式的分母不为0是解题的关键． 12.【答案】(𝑝+2)(𝑝−2)
【解析】解：(𝑝+1)(𝑝−4)+3𝑝 =𝑝2−3𝑝−4+3𝑝 =𝑝2−4
=(𝑝+2)(𝑝−2)．
根据题目中的式子先化简，再利用平方差公式可以进行因式分解．
本题考查因式分解−运用公式法，解答本题的关键是明确因式分解的方法．
13.【答案】{𝑦=3
【解析】解：∵直线𝑦=𝑥+2过点𝑃(𝑚,3)， ∴3=𝑚+2， 𝑚=1， ∴𝑃(1,3)，
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𝑥=1
𝑦=𝑥+2𝑥=1
∴方程组{的解为：{．
𝑦=𝑎𝑥+𝑐𝑦=3𝑥=1
故答案为：{．
𝑦=3
首先求出P点坐标，再根据两函数图象的交点坐标即为两函数组成的方程组的解．
此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程(组)与一次函数图象的关系． 14.【答案】甲
【解析】解：因为平均数相同，故无法比较，但甲的方差小于乙的方差，所以甲种油菜花长势比较整齐． 故答案为：甲．
据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15.【答案】89
【解析】解：根据图形的变化，发现第n个图形的最上边的一排是1个圆，第二排是2个圆，第三排是3个圆，…，第n排是n个圆；
则第n个图形的圆的个数是： 2(1+2+⋯𝑛−1)+(2𝑛−1) =𝑛2+𝑛−1． 当𝑛=9时，
92+9−1=89， 故答案是：89．
首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
本题考查图形的变化类问题，重点考查了学生通过观察、归纳、抽象出数的规律的能力，难度不大． 16.【答案】(−4,6)
【解析】解：∵点A的坐标为(0,6)，点E的坐标为(2,3)， ∴𝑂𝐷=3，𝐴𝐷=3，𝐷𝐸=2，
∵矩形OABC与矩形FEDO是位似图形，P是位似中心， ∴𝐷𝐸//𝑂𝑃，𝑂𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐵//𝑂𝑃， ∵𝐴𝐷=𝐷𝑂，
∴𝑂𝑃=𝐴𝐵=𝑂𝐶， ∵𝐷𝐸//𝑂𝑃，
∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝑂𝑃， ∴𝑂𝑃=𝐴𝑂，即𝑂𝑃=2， 解得，𝑂𝑃=4， ∵𝑂𝐷//𝐵𝐶，
∴△𝑃𝑂𝐷∽△𝑃𝐶𝐵， ∴
𝑂𝐷𝐵𝐶𝐷𝐸
𝐴𝐷
2
1
=𝑃𝐶，即𝐵𝐶=2，
𝑃𝑂31
解得，𝐵𝐶=6，
∴点B的坐标为(−4,6)， 故答案为：(−4,6)．
(1)根据位似图形的概念得到𝐷𝐸//𝑂𝑃，𝑂𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐵//𝑂𝑃，根据相似三角形性质求出BC，进而求出点B的坐标． 本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似的两个图形必须是相似形、对应边平行仰角相
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似三角形的性质是解题的关键． 17.【答案】−36
【解析】解：∵𝑃𝐵//𝑂𝐶(四边形OABC为正方形)， ∴△𝑃𝐵𝑄∽△𝐶𝑂𝑄， ∴
𝑆△𝐵𝑃𝑄𝑆△𝑂𝑄𝐶
=()2=， 𝑂𝐶9
𝑃𝐵1
∵正方形OABC的边长为8， ∴𝑃𝐵=3𝑂𝐶=3．
∴点𝐶(0,8)，点𝑃(−8,3)，直线OB的解析式为𝑦=−𝑥①， ∴设直线CP的解析式为𝑦=𝑎𝑥+8， ∵点𝑃(−8,3)在直线CP上， ∴
163
16
16
1
8
=−8𝑎+8，解得：𝑎=，
3
1
1
故直线CP的解析式为𝑦=3𝑥+8②． 联立①②得：{𝑦=1𝑥+8，
3
𝑦=−𝑥
𝑥=−6
解得：{，
𝑦=6∴点Q的坐标为(−6,6)．
将点𝑄(−6,6)代入𝑦=𝑥中，得：6=−6， 解得：𝑘=−36． 故答案为：−36．
由𝑃𝐵//𝑂𝐶可得出△𝑃𝐵𝑄∽△𝐶𝑂𝑄，结合三角形面积比等于相似比的平方可得出𝑃𝐵=3𝑂𝐶，结合正方形OABC的边长为8可得出点C、点P的坐标，利用待定系数法即可求出直线CP的函数解析式，联立直线OB与直线CP的函数解析式即可得出点Q的坐标，利用待定系数法即可求出k值．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出点Q的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方结合给定条件求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可． 18.【答案】1或5−√13
1
𝑘
𝑘
【解析】解：①当F点落在边BC上时，
∵把△𝐴𝐷𝐸沿DE折叠， ∴∠𝐴=∠𝐸𝐹𝐷=60°， ∵∠𝐸𝐹𝐶=∠𝐵+∠𝐵𝐸𝐹，
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∴∠𝐸𝐹𝐷+∠𝐷𝐹𝐶=∠𝐵+∠𝐵𝐸𝐹
∵∠𝐸𝐹𝐷=∠𝐴=∠𝐵=60°， ∴∠𝐷𝐹𝐶=∠𝐵𝐸𝐹， ∴△𝐷𝐹𝐶∽△𝐹𝐸𝐵， ∴
𝐵𝐸𝐶𝐹
=𝐶𝐷=𝐷𝐹，
𝐵𝐹𝐸𝐹
而𝐸𝐹+𝐵𝐸=𝐸𝐴+𝐵𝐸=𝐴𝐵=3，𝐷𝐹=𝐷𝐴=𝐴𝐶−𝐶𝐷=2， ∴
3−𝐴𝐸𝐶𝐹
=
3−𝐶𝐹1
=
𝐴𝐸2
，
解得𝐴𝐸=5−√13，或𝐴𝐸=5+√13(舍去)； ②𝐹点落在边AB上时，
∵把△𝐴𝐷𝐸沿DE折叠，
∴∠𝐴=∠𝐷𝐹𝐸=60°，∠𝐷𝐸𝐴=90°，∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐹𝐷𝐸， ∴∠𝐴𝐷𝐸=30°，
∴𝐴𝐸=2𝐴𝐷=2(𝐴𝐶−𝐶𝐷)=2×2=1．
所以AE的长为1或5−√13． 分两种情况：当F点落在边BC上时，利用翻折的性质和等边三角形的性质可得∠𝐷𝐹𝐶=∠𝐵𝐸𝐹，可证△𝐷𝐹𝐶∽△𝐹𝐸𝐵，可得𝐶𝐹=𝐶𝐷=𝐷𝐹，可求AE；F点落在边AB上时，利用30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出AE．
本题考查翻折的性质，相似三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质，解题时要考虑全面，难度中等．
319.【答案】解：原式=4−2×√−(2−√3)+2 2
𝐵𝐸
𝐵𝐹
𝐸𝐹
1
1
1
=4−√3−2+√3+2
=4．
【解析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简各数得出答案．
20.【答案】解：原式=(𝑥+1)(𝑥−1)÷(𝑥−1+𝑥−1)
𝑥2𝑥−1
=⋅
(𝑥+1)(𝑥−1)𝑥=𝑥+1，
7𝑥−1>1,
解不等式组{得2<𝑥≤2，
5−2𝑥≥−2.𝑥
𝑥2
1𝑥−1
则不等式组的整数解为3， 当𝑥=3时，原式=3+1=4．
3
3
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【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求出其整数解，继而代入计算可得． 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式组的能力．
21.【答案】解：𝑥−1=𝑥2−1+1，
方程两边都乘(𝑥−1)(𝑥+1)，得 𝑥(𝑥+1)=4+(𝑥−1)(𝑥+1)， 解得𝑥=3，
检验：当𝑥=3时，(𝑥−1)(𝑥+1)=8≠0． 故𝑥=3是原方程的解．
𝑥4
【解析】方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程求解．最后注意需验根． 22.【答案】解：作𝑂𝑀⊥𝐵𝐶于M，𝑂𝑁⊥𝐴𝐶于N， 则四边形ONCM为矩形， ∴𝑂𝑁=𝑀𝐶，𝑂𝑀=𝑁𝐶，
设𝑂𝑀=𝑥，则𝑁𝐶=𝑥，𝐴𝑁=840−𝑥， 在𝑅𝑡△𝐴𝑁𝑂中，∠𝑂𝐴𝑁=45°，
∴𝑂𝑁=𝐴𝑁=840−𝑥，则𝑀𝐶=𝑂𝑁=840−𝑥， 在𝑅𝑡△𝐵𝑂𝑀中，𝐵𝑀=tan∠𝑂𝐵𝑀=24𝑥， 由题意得，840−𝑥+24𝑥=500， 解得，𝑥=480，
∴𝑂𝑁=840−480=360(𝑚)， 即点O到公路AC的距离360米．
7
𝑂𝑀
7
【解析】作𝑂𝑀⊥𝐵𝐶于M，𝑂𝑁⊥𝐴𝐶于N，设𝑂𝑀=𝑥，根据矩形的性质用x表示出OM、MC，根据正切的定义用x表示出BM，根据题意列式计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键． 23.【答案】600
【解析】解：(1)60÷10%=600(人) 答：本次参加抽样调查的居民有600人； 故答案为：600．
(2)𝐶类型的人数600−180−60−240=120(人)， C类型的百分比120÷600×100%=20%，
A类型的百分比100%−10%−40%−20%=30% 补全统计图如图所示：
第15页，共21页
(3)8000×40%=3200(人)，
答：该居民区有8000人，估计爱吃D种饺子的人有3200人．
(4)根据题意画图如下
共有12种等可能的情况数，其中老张吃到A、B两种饺子的有2种， 则他吃到A、B两种饺子的概率是12=6．
(1)利用频数÷百分比=总数，求得总人数；
(2)根据条形统计图先求得C类型的人数，然后根据百分比=频数÷总数，求得百分比，从而可补全统计图； (3)用居民区的总人数×40%即可；
(4)根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出他同时吃到A、B两种饺子的的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题主要考查的是条形统计图、扇形统计图以及概率的计算，读懂统计图，获取准确信息是解题的关键．
2
1
24.【答案】解：(1)把点𝐴(−2,1)代入反比例函数𝑦=𝑥得：
1=
𝑚−2
𝑚
，
解得：𝑚=−2，
即反比例函数的解析式为：𝑦=−𝑥， 把点𝐵(1,𝑛)代入反比例函数𝑦=−𝑥得：
𝑛=−2，
即点A的坐标为：(−2,1)，点B的坐标为：(1,−2)， 把点𝐴(−2,1)和点𝐵(1,−2)代入一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏得： −2𝑘+𝑏=1{， 𝑘+𝑏=2𝑘=−1
解得：{，
𝑏=−1
即一次函数的表达式为：𝑦=−𝑥−1， (2)把𝑦=0代入一次函数𝑦=−𝑥−1得： −𝑥−1=0，
第16页，共21页
22
解得：𝑥=−1，
即点C的坐标为：(−1,0)，OC的长为1，
点A到OC的距离为1，点B到OC的距离为2，
𝑆△𝐴𝑂𝐵=𝑆△𝑂𝐴𝐶+𝑆△𝑂𝐵𝐶 =
=， 2
(3)如图可知：𝑘𝑥+𝑏<𝑥的解集为：−2<𝑥<0，𝑥>1．
𝑚
3
11
×1×1+×1×2 22
【解析】(1)把点𝐴(−2,1)代入反比例函数𝑦=𝑥，得到关于m的一元一次方程，解之，得到m的值，即可得到反比例函数的解析式，把点𝐵(1,𝑛)代入反比例函数𝑦=−𝑥得到关于n的一元一次方程，解之，即可得到n的值，得到点A和点B的坐标，利用待定系数法，解之，即可得到k和b的值，即可得到一次函数的表达式，
(2)把𝑦=0代入一次函数𝑦=−𝑥−1，解之，得到点C的横坐标，根据点A和点B的纵坐标，分别求出△𝑂𝐴𝐶和△𝑂𝐵𝐶的面积，二者相加即可得到答案，
(3)根据函数图象，结合点A和点B的横坐标，即可得到答案．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，解题的关键是：(1)正确掌握代入法和待定系数法，(2)正确掌握三角形的面积公式，(3)正确掌握数形结合思想． 25.【答案】证明：(1)∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐸//𝐷𝐶， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵∠𝐵𝐴𝐶=90°，E是BC的中点， ∴𝐴𝐸=𝐶𝐸=𝐵𝐶，
21
2
𝑚
∴四边形AECD是菱形； (2)过A作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于点H，
∵∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=10， ∴𝐴𝐶=√102−62=8，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐵𝐶⋅𝐴𝐻=2𝐴𝐵⋅𝐴𝐶， ∴𝐴𝐻=
6×8101
1
=
245
，
∵点E是BC的中点，𝐵𝐶=10，四边形AECD是菱形， ∴𝐶𝐷=𝐶𝐸=5，
∵𝑆▱𝐴𝐸𝐶𝐷=𝐶𝐸⋅𝐴𝐻=𝐶𝐷⋅𝐸𝐹， ∴𝐸𝐹=𝐴𝐻=
245
．
法二：连接ED交AC于O，
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由题意得：𝐴𝐶=8，计算得𝐸𝐷=6． 𝑆△𝐸𝐶𝐷=⋅𝐷𝐶⋅𝐸𝐹=⋅𝐸𝐷⋅𝑂𝐶．
2
2
1
1
计算得5𝐸𝐹=6×4， 𝐸𝐹=
245
．
【解析】(1)根据平行四边形和菱形的判定证明即可； (2)根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．
此题考查菱形的判定和性质，关键是根据平行四边形和菱形的判定和性质解答． 26.【答案】解：(1)设该工艺品每件的进价是x元，每件的标价是y元， 𝑦−𝑥=45
依题意得：{，
8×(0.85𝑦−𝑥)=12×(𝑦−35−𝑥)𝑥=155
解得：{．
𝑦=200
答：该工艺品每件的进价是155元，每件的标价是200元．
(2)设每件工艺品降价m元出售，则每件的销售利润为(45−𝑚)元，每天的销售量为(100+4𝑚)件， 依题意得：(45−𝑚)(100+4𝑚)=4800， 整理得：𝑚2−20𝑚+75=0， 解得：𝑚1=5，𝑚2=15． ∵要使消费者得到实惠， ∴𝑚=15．
答：每件工艺品降价15元出售．
(3)设每天获得的利润为w元，𝑤=(45−𝑚)(100+4𝑚)=−4𝑚2+80𝑚+4500=−4(𝑚−10)2+4900． ∵−4<0，
∴当𝑚=10时，w取得最大值，最大值为4900，此时200−𝑚=190． ∴当商场将该工艺品定价为190元/件时，每天可获得最高利润．
【解析】(1)设该工艺品每件的进价是x元，每件的标价是y元，根据“按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元，按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设每件工艺品降价m元出售，则每件的销售利润为(45−𝑚)元，每天的销售量为(100+4𝑚)件，根据每天要获得的利润4800元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合要使消费者得到实惠，即可确定m的值；
(3)设每天获得的利润为w元，根据每天获得的利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用以及二次函数的最值，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)利用二次函数的性质，解决最值问题． 27.【答案】(1)证明：连接OD，OC， ∵𝑃𝐶是⊙𝑂的切线， ∴∠𝑃𝐶𝑂=90°，
∵𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，AB是直径，
⏜， ⏜=𝐵𝐶∴𝐵𝐷
∴∠𝐷𝑂𝑃=∠𝐶𝑂𝑃， 在△𝐷𝑂𝑃和△𝐶𝑂𝑃中， 𝐷𝑂=𝐶𝑂
{∠𝐷𝑂𝑃=∠𝐶𝑂𝑃， 𝑂𝑃=𝑂𝑃
∴△𝐷𝑂𝑃≌△𝐶𝑂𝑃(𝑆𝐴𝑆)，
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∴∠𝑃𝐷𝑂=∠𝑃𝐶𝑂=90°， ∵𝐷在⊙𝑂上，
∴𝑃𝐷是⊙𝑂的切线；
(2)证明：∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径， ∴∠𝐴𝐷𝐵=90°， ∵∠𝑃𝐷𝑂=90°，
∴∠𝐴𝐷𝑂=∠𝑃𝐷𝐵=90°−∠𝐵𝐷𝑂， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐷， ∴∠𝐴=∠𝐴𝐷𝑂， ∴∠𝐴=∠𝑃𝐷𝐵， ∵∠𝐵𝑃𝐷=∠𝐵𝑃𝐷， ∴△𝑃𝐷𝐵∽△𝑃𝐴𝐷， ∴
𝑃𝐷𝑃𝐵
=
𝑃𝐴𝑃𝐷
，
∴𝑃𝐷2=𝑃𝐴⋅𝑃𝐵； (3)解：∵𝐷𝐶⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐷𝑀𝐵=90°，
∴∠𝐴+∠𝐷𝐵𝑀=90°，∠𝐶𝐷𝐵+∠𝐷𝐵𝑀=90°， ∴∠𝐴=∠𝐶𝐷𝐵， ∵tan∠𝐶𝐷𝐵=，
2∴𝑡𝑎𝑛𝐴=2=𝐴𝐷， ∵△𝑃𝐷𝐵∽△𝑃𝐴𝐷，
∴
∵𝑃𝐷=4，
∴𝑃𝐵=2，𝑃𝐴=8， ∴𝐴𝐵=8−2=6．
𝑃𝐵𝑃𝐷𝐵𝐷1
=== 𝑃𝐷𝑃𝐴𝐴𝐷21
𝐵𝐷1
【解析】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，有一定的难度．
(1)连接OD、OC，证△𝐷𝑂𝑃≌△𝐶𝑂𝑃，得出∠𝑃𝐷𝑂=∠𝑃𝐶𝑂=90°，根据切线的判定推出即可；
(2)求出∠𝐴=∠𝐴𝐷𝑂=∠𝑃𝐷𝐵，根据相似三角形的判定推出△𝑃𝐷𝐵∽△𝑃𝐴𝐷，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案；
(3)根据相似得出比例式，求得PA、PB的值，利用𝐴𝐵=𝑃𝐴−𝑃𝐵即可求出答案． 28.【答案】解：(1)∵𝐵(4,𝑚)在直线𝑦=𝑥+2上， ∴𝑚=4+2=6， ∴𝐵(4,6)，
∵𝐴(2,2)，𝐵(4,6)在抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+6上，
115
∴{
𝑎+2𝑏+6=24
∴抛物线的解析式为𝑦=2𝑥2−8𝑥+6；
(2)设动点P的坐标为(𝑛,𝑛+2)，则C点的坐标为(𝑛,2𝑛2−8𝑛+6)， ∵点P是线段AB上异于A、B的动点， ∴2<𝑛<4，
∴𝑃𝐶=(𝑛+2)−(2𝑛2−8𝑛+6)，
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1
𝑎=2
，解得{，
𝑏=−816𝑎+4𝑏+6=6
15
=−2𝑛2+9𝑛−4，
∵△𝐴𝐵𝐶的面积等于14， ∴𝑃𝐶⋅(𝑥𝐵−𝑥𝐴)=14，
21
2
(−2𝑛+9𝑛−4)(4−2)=14， 2
1
1
2𝑛2−9𝑛+12=0，
△=92−4×1×12<0， 原方程无实数解，
∴不存在一点P，使△𝐴𝐵𝐶的面积等于14； (3)∵𝑃𝐶⊥𝑥轴， ∴∠𝑃𝐷𝐸=90°，
∵△𝑃𝐴𝐶与△𝑃𝐷𝐸相似， ∴△𝑃𝐴𝐶也是直角三角形，
①当P为直角顶点，则∠𝐴𝑃𝐶=90°
由题意易知，𝑃𝐶//𝑦轴，∠𝐴𝑃𝐶=45°，因此这种情形不存在； ②若点A为直角顶点，则∠𝑃𝐴𝐶=90°．
如图1，过点𝐴(2,2)作𝐴𝑁⊥𝑥轴于点N，则𝑂𝑁=2，𝐴𝑁=2．
过点A作𝐴𝑀⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△𝐴𝑀𝑁为等腰直角三角形， ∴𝑀𝑁=𝐴𝑁=2，
∴𝑂𝑀=𝑂𝑁+𝑀𝑁=2+2=3， ∴𝑀(3,0)．
设直线AM的解析式为：𝑦=𝑘𝑥+𝑏，
3𝑘+𝑏=0𝑘=−15，解得{则：{1， 𝑘+𝑏=𝑏=322
1
5
515
1
5
∴直线AM的解析式为：𝑦=−𝑥+3 ① 又抛物线的解析式为：𝑦=2𝑥2−8𝑥+6 ②
𝑦=−𝑥+3
联立①②式，{
𝑦=2𝑥2−8𝑥+6𝑥=2𝑥=3
解得：{或{5(与点A重合，舍去)， 𝑦=0𝑦=2∴𝐶(3,0)，即点C、M点重合． 当𝑥=3时，𝑦=𝑥+2=5， ∴𝑃1(3,5)；
1
第20页，共21页
③若点C为直角顶点，则∠𝐴𝐶𝑃=90°． ∵𝑦=2𝑥2−8𝑥+6=2(𝑥−2)2−2， ∴抛物线的对称轴为直线𝑥=2．
如图2，作点𝐴(2,2)关于对称轴𝑥=2的对称点C， 则点C在抛物线上，且𝐶(2,2). 当𝑥=2时，𝑦=𝑥+2=
7
11275
15
．
711∴𝑃2(,).
22∵点𝑃1(3,5)、𝑃2(2,2)均在线段AB上，
∴综上所述，若△𝑃𝐴𝐶与△𝑃𝐷𝐸相似，点P的坐标为(3,5)或(2,2).
711
711
【解析】(1)已知𝐵(4,𝑚)在直线𝑦=𝑥+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过待定系数法即可求得解析式；
(2)设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据三角形面积公式列方程可解答；
(3)当△𝑃𝐴𝐶为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．
本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数；解(3)的关键是利用直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．
第21页，共21页
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