星期一,21.九月2020
第1题.考虑凸四边形ABCD.设P是ABCD内部一点.且以下比例等式成立: ∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.
证明:∠ADP的内角平分线、∠PCB的内角平分线和线段AB的垂直平分线三线共点.
第2题.设实数a,b,c,d满足a≥b≥c≥d>0,且a+b+c+d=1.证明:
(a+2b+3c+4d)aabbccdd<1.
第3题.有4n枚小石子,重量分别为1,2,3,...,4n.每一枚小石子都染了n种颜色之一,使得每种颜色的小石子恰有四枚.证明:我们可以把这些小石子分成两堆,同时满足以下两个条件: •两堆小石子有相同的总重量; •
星期二,22.九月2020
第4题.给定整数n>1.在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站.有两家缆车公司A和B,各运营k辆缆车;
每一堆恰有每种颜色的小石子各两枚.
每辆从一个车站运行到某个更高的车站(中间不停留其他车站).A公司的k辆缆车的k个起点互不相同，k个终点也互不相同,并且起点较高的缆车，它的终点也较高.B公司的缆车也满足相同的条件.我们称两个车站被某个公司连接，如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站(中间不允许在车站之间有其他移动).
确定最小的正整数k,使得一定有两个车站被两个公司同时连接.
第5题.有一叠n>1张卡片.在每张卡片上写有一个正整数.这叠卡片具有如下性质：其中任意两张卡片上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值. 确定所有的n,使得可以推出这叠卡片上的数均相等?
第6题.证明:存在正常数c具有如下性质:
对任意整数n>1,以及平面上n个点的集合S,若S中任意两点之间的距离不小于1，则存在一条分离S的直线ℓ,使得S中的每个点到直线ℓ的距离不小于cn−1/3.
(我们称直线ℓ分离点集S,如果某条以S中两点为端点的线段与ℓ相交.) 注.如果证明了比cn−1/3弱的估计cn−α，会根据α>1/3的值，适当给分.
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容