四川省成都市龙泉一中2011届高三二诊数学(理)

四川龙泉一中

2010—2011学年度高三“二诊”模拟

数学理试题

注意事项：

1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 2、本堂考试120分钟，满分150分。

3、本堂考试附有答题卡。答题时，请将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案规范地填涂在答题卡上； 4、答题前，请将自己的姓名、学号用2B铅笔规范地填涂在答题卡上，并在答题卷上密封线内用钢笔工整地填上自己的班级、姓名和学号。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题，每个小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合M{y|y1},N{x|yx1}，则MN=（D） x2 A (0,) B [0,) C (1,) D [1,) 2、复数z满足zi2i（i为虚数单位），则z=（C）

A 2i B 12i C 12i D 12i

x2y23．以抛物线y20x的焦点为圆心，且与双曲线1的渐近线相切的圆的方程是9162B

A.x2y210x90 B. x2y210x90 C. x2y210x90 D. x2y210x90

4. 设和是两个不重合的平面，给出下列命题：

①若内两条相交直线分别平行于内的两条直线 ，则//； ②若外一条直线l与内一条直线平行，则l//；

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③设l，若内有一条直线垂直于l，则； ④直线l的充要条件是l与内的两条直线垂直。 上面的命题中，真命题的序号是 A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④

（ ）

5．设y1x12x2x2x1，y22，命题甲：x1x2，命题乙：x1x2y1y2，则甲是乙33

（ ）

成立的

A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件．

6．在等差数列{an}中，a24，a612，那么数列A.2annA n1的前项和等于2n2n1nn(n1)11 B. C. D. nnnn122227．函数f(x)sin(x6)(0)的导函数f'(x)的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称

轴的方程是（ A ） A.x9 B.x6 C.x3 D.x2

8．设点P是三角形ABC内一点（不包括边界），且APmABnAC,m.nR,则

m2(n2)2的取值范围为（B）

A. (1,5) B. (1,5) C. (,5) D. (

9．设a1,a2,,an是1,2，…，n的一个排列，把排在ai的左边且比ai小的数的个数为ai （i=1,2，…n）的顺序数，如在排列6,4,5,3,2,1中，5的顺序数为1,3的顺序数为0，则在1至 8这8个数的排列中，8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数为（C）

A. 48 B. 120 C. 144 D. 192

122,5) 2x2y210．椭圆C1:221(ab0)的左准线为l，左右焦点分别为F1,F2,抛物线C2的准

ab第 2 页 共 11 页

线为l，焦点为F2，曲线C1,C2的一个交点为P，则 A. -1 B. 1 C. 11．设关于x的不等式aF1F2PF1PF1PF2等于（B）

11 D.

2232x3x4b的解集恰好是[a,b]，则ab的值为（ ） 4816A．5 B．4 C． D．

3312．某百货大楼在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该

商场内消费满一定金额后，按如下的规定获得相应金额的奖券： 消费金额（元）的范围 [200,400) [400,500) [500,700) 获得奖券金额/元 30 60 100 [700,900) 130   根据上述促销的方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，设购买商品得到的优惠率 =

购买商品获得的优惠额，试问：对于标价在［625，800］之内的商品，顾客要得

商品的标价1的优惠率，应购买商品的标价范围是 3

（ ）

到不小于

A．［525，600］ B．［625，750］ C．［650，760］ D．［700，800］

第Ⅱ卷 （非选择题）

二、填空题（本大题共四个小题，每小题4分，共16分） 13、(3x16)的展开式中的常数项为 -540 。 x14．已知R上的奇函数f(x)对xR都有f(x4)f(x)f(2)成立， 则f(2010)等于

0 .

15．某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1:2:1，用分

层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为400h，410h，440h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 415

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_ _h 。

16．已知在三棱锥T-ABC中，TA,TB,TC两两垂直，T在地面ABC上的投影为D，给出下

列命题：

①TA⊥BC, TB⊥AC, TC⊥AB; ②△ABC是锐角三角形; ③

1111; TD2TA2TB2TC22④SABC12(STABS2TACS2TBC)(注：SABC表示△ABC的面积) 3其中正确的是___①②③____(写出所有正确命题的编号)。 三、解答题(共76分)

17．（本小题满分12分）四川灾后重建工程督导评估小组五名专家被随机分配到A、B、C、

D四所不同的学校进行重建评估工作，要求每所学校至少有一名专家。 （1）求评估小组中甲、乙两名专家同时被分配到A校的概率；

（2）求评估小组中甲、乙两名专家不在同一所学校的概率。 （3）记到A校校进行重建评估工作的专家人数为，求E。 18．（本小题12分）在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的三边。 （1）若ab,sinBsin(A60)，求角A； （2）若BC=23，A=

3，设B=x，△ABC的面积为y，求函数yf(x)的关系式及

其最值，并确定此时x的值。

19．（本小题12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90º，

AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE⊥平面ABCD。 （1）求直线FD与平面ABCD所成的角； （2）求点D到平面BCF的距离；

（3）求二面角B—FC—D的大小。

20．（本小题满分12分）已知数列{an}满足an12an1且a13,bn前n项和为Sn。

（1）求数列{an}的通项an； （2）求Sn；

（3）设f(x)(x2n1)ln(x2n1)x(nN*)，求证：f(x)≥

3Sn2。

6Sn2an1，数列{bn}的anan1x2y2321．（本小题12分）已知椭圆C：22=1（a>b>0）的离心率为，且在x轴上的顶

ab2第 4 页 共 11 页

点分别为A1(2,0),A2(2,0). （1）求椭圆方程；

（2）若直线l：xt(t2)与x轴交于点T，P为l上异于T的任一点，直线PA1、PA2分别与椭圆交于M、N两点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。 22．（理）、（本小题14分）已知函数f(x)的图像在[a,b]上连续不断，定义：

f1(x)min{f(t)/atx}(x[a,b])，f2(x)max{f(t)/atx}(x[a,b])，

其中min{f(x)/xD)表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)/xD)表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)f1(x)k(xa)对任意的

x[a,b]成立，则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”

（1）若f(x)cosx,x[0,]，试写出f1(x)，f2(x)的表达式；

（2）已知函数f(x)x2,x[1,4],试判断f(x)是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”， 如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由；

（3）已知b0，函数f(x)x33x2,是[0,b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围

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参考答案

17．解：（1）记评估小组中甲、乙两名专家同时被分配到A校的事件为E，则P(E)=

A332C5A441，40所以评估小组中甲、乙两名专家同时被分配到A校的概率为

1。 40A342C5A44（2）记评估小组中甲、乙两名专家被分配在同一所学校的事件为F，那么P(F)=1，10所以甲、乙两名专家不在同一所学校的概率为：P(F)=1－P(F)=（3）随机变量的可能取值为1,2，则P(=2)= 所以的分布列是：

23C5A324C5A49。 1013；P(=1)=1－P(=2)=。 44

P

1 2

3 41 4315 所以的数学期望E=1×+2×=。

44418．解：（1）由ab得sinAsinBsin(A60)。 sin(A60)0，又0＜A＜，∴A=60º（2）∵

BC23ACBCsinxsinx4sinx。 ，∴ACsinxsinA3sin321313niAcosA sinAcosA，即s2222 同理：AB ∴yBC2sinC4sin(x)。 sinA31224sinx4sin(x)sinA43sinxsin(x)6sinxcosx23sin2x= 2333sin2x3cos2x323sin(2x6)3，

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∵A3，∴0＜x＜

27，∴＜2x＜，当2x=，即x时，f(x) 3666623有最大值33。因此，当x3时，函数f(x)取得最大值63。

19．解：（1）∵平面ABFE⊥平面ABCD，∠EAB=90º，即EA⊥AB，而平面ABFE平面

ABCD=AB，∴EA⊥平面ABCD。作FH∥EA交AB于H，则FH⊥平面ABCD。连接DH，则∠FDH为直线FD与平面ABCD所成的角。

在Rt△FHD中，∵FH=EA=1，DH=•AD2AH212122， ∴tanFDH2FH12,∴∠FDH=arctan,

2DH222。 2 即直线FD与平面ABCD所成的角为arctan（2）∵平面ABFE⊥平面ABCD，EA⊥AB，∴EA⊥平面ABCD。

分别以AD,AB,AE所在直线为x轴,y轴,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、E(0,0,1)、B(0,2,0)、F(0,1,1), ∴AF(0,1,1),BC(1,0,0),BF(0,1,1).

∵AFBC0,AFBF0,∴AF⊥平面BCF， 即AF=(0,1,1)为平面BCF的一个法向量， 又DC(0,2,0)，

∴点D到平面BCF的距离为d|DCAF||AF|0012100112222。

（3）∵DC(0,2,0),DE(1,0,1)，设n1(x,y,z)为平面CDEF的一个法向量，则

n1DC0y0令x1，得z1， xz0n1DE0即n1(1,0,1)。

又（1）知，n2AF(0,1,1)为平面BCF的一个法向量， ∵〈n1,n2〉=n1n2|n1||n2|1， 2且二面角B—FC—D的平面角为钝角， ∴二面角B—FC—D的大小为120º。

20．解：（1）由an12an1得an112(an1)，且a112，

∴数列{an1}是以2为首项，2为公比的等比数列，an122n1，

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∴an2n1。

2n11（2）由（1）知an21，∴bnn，

(21)(2n11)2n12n11n Sn1111111111。 22334nn1n12121212121212121321132n1162n122123(1)n12n1122n,f'(x)ln(x2n1), 62n12113S2（3）n6Sn2 当x2n时，f'(x)0；x＞2n时f'(x)＞0，f(x)在(2n,)上递增；2n1＜x＜2n时，f(x)min2n ∴f(x)≥

3Sn2，

6Sn23Sn2成立。

6Sn221．（1）由已知椭圆C的离心率ec3,a2，可得c3,b1 a2x2椭圆的方程为y21

4（2）设M(x1,y1),N(x2,y2)，直线A1M斜率为k1

则直线A1M的方程为yk1(x2)

yk1(x2)8k1224k12由x，解得x1 ,y12224k114k11y144k18k122M点坐标为（，）

4k1214k12124k28k22同理，设直线A2N的斜率为k2 则N点坐标为（，） 224k214k21由直线A1M与直线A2N的交点P(t,yp)在直线l上 又ypk1(t2),ypk2(t2)，k1(t2)k2(t2)，k1k22

k1k2t又MN的方程为

yy1y2y1 xx1x2x1第 8 页 共 11 页

令y0，得xx2y1x1y24

y1y2t4

t

42 t即直线MN与x轴交点为(,0) 又t2,0又椭圆右焦点为(3,0)，故当t43时，MN过椭圆的焦点． 3M和N的坐标，这样就说明:由于A1、A2两点已知，故易求得直线与椭圆的交点

易求出MN与x轴的交点，在计算过程中要注意计算的技巧．

22．解：（1）由题意可得：f1(x)cosx,x[0,]，f2(x)1,x[0,]。

21x,x[1,0)21,x[1,1)x,x[1,0) （2）f1(x)，f2(x)2，f2(x)f1(x)1,x[0,1)

0,x[0,4]x,x[1,4]x2,x[1,4] 当x[1,0]时，1x2k(x1),k1x,k2; 当x(0,1)时，1k(x1),k21,k1; x1x216,k. 当x[1,4]时，xk(x1),kx1516综上所述，k。

5即存在k4，使得f(x)是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。

（3）f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0得x0或x2。 函数f(x)的变化情况如下： x (,0) - 0 0 0 (0,2) + 2 0 4 (2,) - f(x) f(x)    令f(x)0得x0或x3。

（i）当b2时，f(x)在[0,b]上单调递增，因此，f2(x)f(x)x33x2，

f1(x)f(0)0。因为f(x)x33x2是[0,b]上的“二阶收缩函数”，所以，

①f2(x)f1(x)2(x0)对x[0,b]恒成立； ②存在x[0,b]，使得f2(x)f1(x)(x0)成立。

3232①即：x3x2x对x[0,b]恒成立，由x3x2x解得0x1或x2。

要使x3x2x对x[0,b]恒成立，需且只需0b1。 ②即：存在x[0,b]，使得x(x3x1)0成立。

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232

由x(x23x1)0解得x0或所以，只需b综合①②可得3535。 x2235。 235b1。 2（i i）当2b3时，f(x)在[0,2]上单调递增，在[2,b]上单调递减，因此，

f2(x)f(2)4，f1(x)f(0)0，f2(x)f1(x)4,x0x，显然当x0时，f2(x)f1(x)2(x0)不成立。

（i i i）当b3时，f(x)在[0,2]上单调递增，在[2,b]上单调递减，因此，显然当x0f2(x)f(2)4，f1(x)f(b)0，f2(x)f1(x)4f(b)4,x0x，时，f2(x)f1(x)2(x0)不成立。

综合（i）（i i）（i i i）可得：22（文）．（本小题14分）

已知f(x)ax3bx2cxd（a0）是定义在R的函数，其图像交x轴于A、B、C三点，若点B的坐标为（2,0），且f(x)在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性，在[0,2]和[4，5]上有相反的单调性。 （1） 求c的值；

（2） 在函数f(x)的图像上是否存在一点M（x0，，使得f(x)在点M处的切y0）

线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） 求|AC|的取值范围。

解（1）因为f(x)在[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性，所以x=0是f(x)的一个极值点，

故f'(0)0，即3ax2bxc0有一个解x=0，则c=0 （2）因为f(x)交x轴于点B（2,0）， 所

以

8a+4b+d=0

，

即

d=

235b1。 24(b2a)，令

f'x()，得

3ax22bx0，x10，x22b，因为f(x)在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性 3a第 10 页 共 11 页

2b23所以2b

43{所以6b3，假设存在点M（x0，y0）使得f(x)在点M处的切线斜率为3b a则f'(x)=3b即3ax022bx03b0

b(2b)243a(3b) =4b236ab4ab(9)

ab0故不存在点M(x0，y0)，而63，使得f(x)在点M处的切线斜率

a为3b。

0)，依题意可令 （4） 设A(，0)、C(，

f(x)a(x)(x2)(x)a[x(2)x(22)x2]32

ba(2) 则d2a 即

{{2d2aba

|AC||| b2d()24 =(2)2 aa =(2)16(d4(b2a)) 又6 当

ba2b3， abb6时，|AC|max43， 当3时，|AF|min3， aa 故3|AC|43

说明：我们知道二次函数的表示方法有：一般式、顶点式、零点式、对于三次函数也有零点表示式，也就是说，如果三次函数与x轴的3个交点的横坐标分别为x1、x2、x3，那么其解析式可表示为f(x)a(xx1)(x1x2)(x2x3)，这也是解

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