2021-2022学年湖北省随州市曾都区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共11小题，共33.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 抛物线𝑦=−(𝑥+1)2+2的对称轴是( )
A. 直线𝑥=1 B. 直线𝑥=2 C. 直线𝑥=−1 D. 直线𝑥=−2
2. 用配方法解方程𝑥2−4𝑥−4=0时，原方程应变形为( )
A. (𝑥−2)2=0 B. (𝑥−2)2=8 C. (𝑥+2)2=0 D. (𝑥+2)2=8
3. 在平面直角坐标系中，将点𝑃(3,−4)绕原点旋转180°后，得到对应点𝑄的坐标是( )
A. (−3,4) B. (−3,−4) C. (−4,3) D. (4,−3)
4. 如图，以点𝑃为圆心作圆，所得的圆与直线𝑙相切的是( )
A. 以𝑃𝐴为半径的圆 B. 以𝑃𝐵为半径的圆 C. 以𝑃𝐶为半径的圆 D. 以𝑃𝐷为半径的圆
5. 已知反比例函数𝑦=
−1
，下列结论不正确的是( ) 𝑥
A. 该函数图象经过点(−1,1) C. 𝑦的值随着𝑥值的增大而增大
B. 该函数图象位于第二、四象限 D. 该函数图象关于原点成中心对称
6. 在一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，如果参加聚会的同学有𝑥名．根据题意列出的方程是( )
A. 𝑥 (𝑥+1)=110 C. 2𝑥 ( 𝑥+1)=110
B. 𝑥 (𝑥−1)=110 D. 𝑥 (𝑥−1)=110×2
7. 如图，𝐴𝐶，𝐵𝐸是⊙𝑂的直径，弦𝐴𝐷与𝐵𝐸交于点𝐹，连接𝐴𝐵，𝐴𝐸，𝐷𝐸，𝐶𝐹，下列三角形中，外心是点𝑂的是( )
A. △𝐴𝐵𝐹 B. △𝐴𝐶𝐹 C. △𝐴𝐷𝐸 D. △𝐴𝐸𝐹
8. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )
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A. 圆锥 B. 三棱锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱
9. 如图，𝐷𝐸//𝐵𝐶，则下列比例式正确的是( )
A. 𝐸𝐶=𝐷𝐵 B. 𝐴𝐵=𝐴𝐶 C. 𝐵𝐷=𝐵𝐶 D. 𝐴𝐶=𝐵𝐶
45°，60°10. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．我们已经知道30°，角的三角函数值，现在来求𝑡𝑎𝑛22.5°的值：
如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵中，∠𝐶=90°，∠𝐴𝐵𝐶=45°，延长𝐶𝐵至𝐷，使𝐵𝐷=𝐴𝐵，连接𝐴𝐷，得∠𝐷=22.5°.设𝐴𝐶=1，则𝐵𝐶=1，𝐴𝐵=√2=𝐵𝐷，所以𝑡𝑎𝑛22.5°==𝐶𝐷√2−1.类比这种方法，计算𝑡𝑎𝑛15°的值为( )
𝐴𝐶
11+√2𝐴𝐷
𝐷𝐸𝐴𝐷
𝐷𝐸𝐴𝐸
𝐴𝐷
𝐴𝐸𝐴𝐷
=
1−√2(1+√2)(1−√2)=
A. √3−√2
B. 2−√3 C. √3+√2 D. √3−2
𝐵(8,0)两11. 如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐交𝑥轴于𝐴(−3,0)，𝐷为直线𝐵𝐶上方抛物线上一点，点，交𝑦轴于点𝐶，连接𝐴𝐶，𝐶𝐷，𝐵𝐷.若点𝐷关于直线𝐵𝐶的对称点恰好落在𝑥轴上，且𝐶𝐷=𝐵𝐷，则下列结论：①5𝑎+𝑏=0；②𝐴𝐶=𝐶𝐷；③点𝐷的坐标为(4,5)；④△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．其中正确结论的个数是( )
A. 4
B. 3 C. 2 D. 1
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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
12. 如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°.让转盘自由转动，指针停止后落在红色区域的概率是______．
13. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵=70°，在同一平面内，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴逆时针旋转到△𝐴𝐵′𝐶′的位置，使得𝐶′𝐶//𝐴𝐵，则∠𝐵𝐴𝐵′等于______．
14. 在平面直角坐标系中，将函数𝑦=2(𝑥−1)2的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为______．
𝐶𝐴=𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐵=90°，15. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷为𝐴𝐵𝐴𝐵=2√2，的中点，以点𝐷为圆心作圆心角为90°的扇形𝐸𝐷𝐹，点𝐶恰好在弧𝐸𝐹上，则图中阴影部分的面积为______(结果保留𝜋)．
16. 在△𝐴𝐵𝑂中，点𝐴(−6,0)，点𝐵(−4,−2)，𝑂为坐标原点，以点𝑂为位似中心，按相似比1：2把△𝐴𝐵𝑂放大，则点𝐵的对应点𝐵′的坐标为______．
𝐸为𝐴𝐷上一动点，连接𝐵𝐸，𝐶𝐸，17. 如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为5，以𝐶𝐸为边向右侧作正方形𝐶𝐸𝐹𝐺．
①若𝐵𝐸=√34，则正方形𝐶𝐸𝐹𝐺的面积为______； ②连接𝐷𝐹，𝐷𝐺，则△𝐷𝐹𝐺面积的最小值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(2𝑚−3)𝑥+𝑚2=0有两个实数根𝑥1，𝑥2．
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(1)求𝑚的取值范围；
(2)当𝑥1(1+𝑥2)+𝑥2=0，求𝑚的值． 19. (本小题8.0分)
如图，反比例函数𝑦1=(𝑘≠0)的图象与一次函数𝑦2=𝑚𝑥+𝑛(𝑚≠0)的图象交于第二、四
𝑥象限内的点𝐴(𝑎,4)和点𝐵(𝑏,−1).过点𝐴作𝑥轴的垂线，垂足为点𝐶，且△𝐴𝑂𝐶的面积为4． (1)求这两个函数的解析式；
(2)结合图象直接写出𝑚𝑥+𝑛≤的解集．
𝑥
𝑘
𝑘
20. (本小题8.0分)
某数学实践活动小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥𝐴𝐵是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥𝐴𝐵上方200米的点𝐶处悬停，此时测得桥两端𝐴，𝐵两点的俯角分别为70°和60°，求桥𝐴𝐵的长度．(参考数据：𝑠𝑖𝑛70°≈0.94，𝑐𝑜𝑠70°≈0.34，𝑡𝑎𝑛70°≈2.75，√2≈1.41，√3≈1.73，结果精确到0.1米)
21. (本小题8.0分)
某校为了了解九年级男生的体质锻炼情况，随机抽取部分男生进行1000米跑步测试，按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，其中良好的学生人数占抽取学生总数的40%，学校绘制了如下不完整的统计图：
(1)求被抽取的合格等级的学生人数，并补全条形统计图；
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(2)为了进一步强化训练，学校决定每天组织九年级学生开展半小时跑操活动，并准备从上述被抽取的成绩优秀的学生中，随机选取1名担任领队，小明是被抽取的成绩优秀的一名男生，求小明被选中担任领队的概率；
(3)学校即将举行冬季1000米跑步比赛．预赛分为𝐴，𝐵，𝐶三组进行，选手由抽签确定分组，求某班甲、乙两位选手在预赛中恰好分在同一组的概率是多少？请画出树状图或列表加以说明．
22. (本小题8.0分)
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，以𝐴𝐵为直径作⊙𝑂交𝐵𝐶于点𝐷，过点𝐷作⊙𝑂的切线交𝐴𝐶于点𝐸，交𝐴𝐵的延长线于点𝐹． (1)求证：𝐸𝐹⊥𝐴𝐶；
(2)若𝐴𝐵=6，𝐴𝐸=5，求𝐵𝐹的长．
23. (本小题10.0分)
某网店同时采取线上和线下两种方式销售一款北京冬奥会特许商品，进价为每件20元．调查发现，这款商品线下销售单价为30元时，每周线下卖出200件，如果该商品线下每涨价1元，则线下每周少卖出10件．现网店决定将该商品涨价销售，设线下销售单价为𝑥元，线下周销售量为𝑦件．
(1)直接写出𝑦(件)与𝑥(元)之间的函数关系式；
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(2)若线上售价始终比线下每件便宜5元，并且线上的周销售量始终为180件． ①求当线下销售单价是多少元时，该网店每周线上、线下销售总利润为4700元？
②求当线下销售单价是多少元时，该网店每周线上、线下销售总利润最大？最大总利润为多少元？
24. (本小题10.0分)
已知△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐵．
(1)【操作发现】如图1，将∠𝐸𝐷𝐹的顶点𝐷放在△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上(不与𝐵，𝐶重合)，绕点𝐷任意旋转∠𝐸𝐷𝐹，使𝐷𝐸交边𝐴𝐵于点𝑀，𝐷𝐹交边𝐴𝐶于点𝑁，通过探究发现总有△𝐵𝐷𝑀∽△𝐶𝑁𝐷，请你写出证明过程；
(2)𝐷𝐸交边𝐴𝐵于点𝑀，【类比学习】如图2，将∠𝐸𝐷𝐹的顶点𝐷放在△𝐴𝐵𝐶的边𝐶𝐵的延长线上，𝐷𝐹交𝐴𝐶的延长线于点𝑁，则(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)𝑆△𝐶𝑁𝐷=1：【拓展延伸】将图2中的∠𝐸𝐷𝐹绕点𝐷逆时针旋转，使𝐷𝐸经过点𝐴，如图3，若𝑆△𝐵𝐷𝑀：2，𝐵𝐷=1，𝐷𝑁=4√3，直接写出𝐴𝐶的长．
25. (本小题12.0分)
如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−2与𝑥轴交于点𝐴(−3,0)，𝐵(4,0)，与𝑦轴交于点𝐶． (1)求出抛物线的解析式；
(2)已知点𝑃是坐标平面内一点，若线段𝑂𝐴关于点𝑃的对称线段𝑂′𝐴′(点𝑂′，𝐴′分别是点𝑂，𝐴的对称点)的两个端点恰好都落在该抛物线上，求点𝑃的坐标；
(3)若点𝑀为𝑥轴上一动点，将线段𝑀𝐶绕点𝑀逆时针旋转90°得到线段𝑀𝐷，试探究是否存在点
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𝑀，使点𝐷恰好落在该抛物线上？若存在，求出点𝐷的坐标；若不存在，请说明理由．
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答案和解析
1.【答案】𝐶
【解析】解：∵抛物线𝑦=−(𝑥+1)2+2， ∴该抛物线的对称轴是直线𝑥=−1， 故选：𝐶．
根据抛物线的顶点式，可以写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出抛物线的对称轴．
2.【答案】𝐵
【解析】解：𝑥2−4𝑥−4=0， 移项，得𝑥2−4𝑥=4，
两边同时加4，得𝑥2−4𝑥+4=8， ∴(𝑥−2)2=8， 故选：𝐵．
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
3.【答案】𝐴
【解析】解：∵将点𝑃(3,−4)绕原点旋转180°后，得到的对应点𝑄， ∴点𝑄和点𝑃关于原点对称， ∵点𝑃的坐标为(3,−4)， ∴点𝑄的坐标是(−3,4)． 故选：𝐴．
根据题意可得，点𝑃和点𝑃的对应点𝑄关于原点对称，𝑃、𝑄两点的横纵坐标互为相反数，据此求出𝑄的坐标即可．
本题考查坐标与图形变化−旋转，中心对称等知识，解题的关键是利用中心对称的性质，属于中考常考题型．
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4.【答案】𝐵
【解析】解：∵𝑃𝐵⊥𝑙于𝐵，
∴以点𝑃为圆心，𝑃𝐵为半径的圆与直线𝑙相切． 故选：𝐵．
根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．
本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设⊙𝑂的半径为𝑟，圆心𝑂到直线𝑙的距离为𝑑.若直线𝑙和⊙𝑂相交⇔𝑑<𝑟；直线𝑙和⊙𝑂相切⇔𝑑=𝑟；直线𝑙和⊙𝑂相离⇔𝑑>𝑟．
5.【答案】𝐶
【解析】解：𝐴、(−1,1))代入𝑦=
−1
得：左边=右边，故本选项正确，不符合题意； 𝑥
B、该函数图象位于第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；
C、当𝑥<0或𝑥>0时，𝑦随𝑥的增大而增大，故本选项不正确，符合题意； D、该函数图象关于原点成中心对称，故本选项正确，不符合题意； 不正确的只有选项C． 故选：𝐶．
根据反比例函数的性质：当𝑘<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内𝑦随𝑥的增大而增大进行分析即可．
本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数𝑦=(𝑘≠0)，当𝑘>0，反比例函数图象在一、三象限，每个象限内，𝑦随𝑥的增大而减小；当𝑘<0，反比例函数图象在第二、四象限内，每个象限内，𝑦随𝑥的增大而增大．
𝑘𝑥6.【答案】𝐵
【解析】 【分析】
设参加聚会的有𝑥名同学，根据“每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品”，列出关于𝑥的一元二次方程，解之即可．
本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 解：参加聚会的有𝑥名同学， 根据题意得：
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𝑥(𝑥−1)=110， 故选：𝐵．
7.【答案】𝐶
【解析】解：如图所示：△𝐴𝐷𝐸的三个顶点都在圆𝑂上，故外心是点𝑂的为△𝐴𝐷𝐸． 故选：𝐶．
利用三角形外心的定义：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而判断得出即可．
此题主要考查了三角形外心的定义，正确把握外心的定义是解题关键．
8.【答案】𝐶
【解析】解：由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱柱； 故选：𝐶．
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，即可得出答案． 本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力．
9.【答案】𝐴
【解析】解：𝐴.∵𝐷𝐸//𝐵𝐶， ∴𝐸𝐶=𝐷𝐵， 故A符合题意； B.∵𝐷𝐸//𝐵𝐶， ∴𝐴𝐶=𝐴𝐵， 故B不符合题意； C.∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，
∴∠𝐷=∠𝐵，∠𝐸=∠𝐶， ∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐶， 故C不符合题意；
𝐴𝐷
𝐷𝐸𝐴𝐸
𝐴𝐷𝐴𝐸
𝐴𝐷
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D.∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，
∴∠𝐷=∠𝐵，∠𝐸=∠𝐶， ∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶， ∴
𝐴𝐸𝐴𝐶
=
𝐷𝐸， 𝐵𝐶
故D不符合题意； 故选：𝐴．
根据平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，逐一判断即可．
本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例是解题的关键．
10.【答案】𝐵
【解析】解：如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵中，∠𝐶=90°，∠𝐴𝐵𝐶=30°，
延长𝐶𝐵至𝐷，使𝐵𝐷=𝐴𝐵，连接𝐴𝐷，得∠𝐷=15°． 设𝐴𝐶=1，
则𝐵𝐴=𝐵𝐷=2，𝐵𝐶=√3． ∴𝐶𝐷=𝐵𝐶+𝐵𝐷=2+√3． 在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中， 𝑡𝑎𝑛15°=𝑡𝑎𝑛𝐷=故选：𝐵．
仿照题例作等腰三角形，利用直角三角形的边角间关系计算得结论．
本题考查了解直角三角形，看懂题例，仿照题例作出辅助线是解决本题的关键．
𝐴𝐶
𝐶𝐷
=
12+√3=2−√3．
11.【答案】𝐶
【解析】解：∵抛物线经过𝐴(−3,0)，𝐵(8,0)两点， ∴抛物线对称轴为直线𝑥=−==2， 2𝑎2∴𝑏=−5𝑎，
∴5𝑎+𝑏=0，①正确．
如图，点𝐷关于直线𝐵𝐶的对称点为𝐷′，连接𝐶𝐷′，𝐷𝐷′，
𝑏
8−3
5
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∵𝐵𝐶垂直平分𝐷𝐷′， ∴𝐵𝐷=𝐵𝐷′，𝐶𝐷=𝐶𝐷′， ∵𝐶𝐷=𝐵𝐷，
∴𝐶𝐷=𝐵𝐷=𝐵𝐷′=𝐶𝐷′，即四边形𝐶𝐷𝐵𝐷′为菱形， ∴𝐶𝐷//𝑥轴，
∴点𝐷与点𝐶关于抛物线对称轴对称，且点𝐴与点𝐵关于抛物线对称轴对称， ∴𝐴𝐶=𝐵𝐷=𝐶𝐷，②正确． ∵抛物线对称轴为直线𝑥=，
2∴𝐶𝐷=𝐴𝐶=2×2=5，
在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐶中，由勾股定理得𝑂𝐶=√𝐴𝐶2−𝑂𝐴2=4， ∴点𝐶坐标为(0,4)，
∴点𝐷坐标为(5,4)，③错误．
在𝑅𝑡△𝐵𝑂𝐶中，由勾股定理得𝐵𝐶=√𝑂𝐶2+𝑂𝐵2=4√5， ∵𝐴𝐶2=25，𝐵𝐶2=80，𝐴𝐵2=121， ∴𝐴𝐶2+𝐵𝐶2≠𝐴𝐵2，
∴△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形，④错误． 故选：𝐶．
由抛物线经过𝐴(−3,0)，𝐵(8,0)两点可得抛物线对称轴，从而求得𝑎与𝑏的数量关系可判断①，点𝐷关于直线𝐵𝐶的对称点为𝐷′，连接𝐶𝐷′，𝐷𝐷′，可判断四边形𝐶𝐷𝐵𝐷′为菱形，从而判断②③，分别求出𝐴𝐶，𝐵𝐶，𝐴𝐵的边长，根据勾股定理的逆定理判断④．
本题考查二次函数与图形的结合，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握菱形的判定与性质，掌握勾股定理的逆定理等．
5
5
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12.【答案】6
【解析】解：∵红色区域的圆心角为60°， ∴红色区域所占的面积比例为
60360
1
=，
1616
则指针停止后落在红色区域的概率是； 故答案为：．
求出红色区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．
本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概率的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
1613.【答案】40°
【解析】解：∵𝐶𝐶′//𝐴𝐵，∠𝐶𝐴𝐵=70°， ∴∠𝐶′𝐶𝐴=∠𝐶𝐴𝐵=70°，
又∵𝐶、𝐶′为对应点，点𝐴为旋转中心， ∴𝐴𝐶=𝐴𝐶′，即△𝐴𝐶𝐶′为等腰三角形， ∴∠𝐵𝐴𝐵′=∠𝐶𝐴𝐶′=180°−2∠𝐶′𝐶𝐴=40°． 故答案为：40°．
𝐵与𝐵′，𝐶与𝐶′分别是对应点，∠𝐵𝐴𝐵′=∠𝐶𝐴𝐶′，𝐴𝐶=𝐴𝐶′，旋转中心为点𝐴，根据旋转的性质可知，再利用平行线的性质得∠𝐶′𝐶𝐴=∠𝐶𝐴𝐵，把问题转化到等腰△𝐴𝐶𝐶′中，根据内角和定理求∠𝐶𝐴𝐶′． 本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
14.【答案】𝑦=2(𝑥−2)2−3
【解析】解：将函数𝑦=2(𝑥−1)2的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为：𝑦=2(𝑥−1−1)2−3，即𝑦=2(𝑥−2)2−3． 故答案为：𝑦=2(𝑥−2)2−3．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
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本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
15.【答案】2−1
【解析】解：连接𝐶𝐷，过点𝐷作𝐷𝑀⊥𝐵𝐶于𝑀，𝐷𝑁⊥𝐴𝐶于𝑁，设𝐷𝐹交𝐵𝐶于点𝐺，𝐷𝐸交𝐴𝐶于𝐻， 则扇形𝐹𝐷𝐸的面积=
90𝜋×(√2)
360
2
𝜋
=2．
𝜋
∵𝐶𝐴=𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐵=90°，点𝐷为𝐴𝐵的中点， ∴𝐶𝐷平分∠𝐵𝐶𝐴，𝐷𝐶=𝐴𝐵=√2， 又∵𝐷𝑀⊥𝐵𝐶，𝐷𝑁⊥𝐴𝐶，
∴𝐷𝑀=𝐷𝑁=1，四边形𝐷𝑀𝐶𝑁是正方形， ∴扇形𝐹𝐷𝐸的面积=90𝜋×(√2)=𝜋
3602∵∠𝐺𝐷𝐻=∠𝑀𝐷𝑁=90°， ∴∠𝐺𝐷𝑀=∠𝐻𝐷𝑁， 在△𝐷𝑀𝐺和△𝐷𝑁𝐻中，
∠𝐷𝑀𝐺=∠𝐷𝑁𝐻
{𝐷𝑀=𝐷𝑁, ∠𝐺𝐷𝑀=∠𝐻𝐷𝑁
∴△𝐷𝑀𝐺≌△𝐷𝑁𝐻(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝑆四边形𝐷𝐺𝐶𝐻=𝑆四边形𝐷𝑀𝐶𝑁=1． ∴阴影部分的面积=2−1． 故答案为：2−1．
连接𝐶𝐷，过点𝐷作𝐷𝑀⊥𝐵𝐶于𝑀，𝐷𝑁⊥𝐴𝐶于𝑁，证明△𝐷𝑀𝐺≌△𝐷𝑁𝐻(𝐴𝑆𝐴)，则𝑆四边形𝐷𝐺𝐶𝐻=𝑆四边形𝐷𝑀𝐶𝑁，求得扇形𝐹𝐷𝐸的面积，则阴影部分的面积即可求得．
本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出正方形，得到𝑆四边形𝐷𝐺𝐶𝐻=𝑆四边形𝐷𝑀𝐶𝑁是解答此题的关键．
𝜋
𝜋
2
12
16.【答案】(−8,−4)或(8,4)
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【解析】解：∵以原点𝑂为位似中心，按相似比1：2把△𝐴𝐵𝑂放大，点𝐵(−4,−2)， ∴点𝐵的对应点𝐵′的坐标为(−4×2,−2×2)或(−4×(−2),−2×(−2))，即(−8,−4)或(8,4)， 故答案为：(−8,−4)或(8,4)．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为𝑘，那么位似图形对应点的坐标的比等于𝑘或−𝑘．
17.【答案】①29；
②75
8．
【解析】解：①∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=5，∠𝐴=∠𝐷=90°， ∵𝐵𝐸=√34，
∴𝐴𝐸=√𝐵𝐸2−𝐴𝐵2=√(√34)2−52=3， ∴𝐷𝐸=𝐴𝐷−𝐴𝐸=5−3=2， ∴𝐸𝐶2=𝐷𝐸2+𝐶𝐷2=22+52=29， ∴正方形𝐶𝐸𝐹𝐺的面积=𝐸𝐶2=29． 故答案为：29；
②设𝐷𝐸=𝑥，则𝐶𝐸=√25+𝑥2， ∵𝑆△𝐷𝐸𝐶+𝑆△𝐷𝐹𝐺=1
2𝑆正方形𝐶𝐸𝐹𝐺，
∴𝑆1△𝐷𝐹𝐺=
2(𝑥2+25)−1
2
×5𝑥 =15252
𝑥2−2
𝑥+
2 =1
5
752(𝑥−2)2+8，
∵1
2>0，
∴𝑥=5
75
2时，△𝐷𝐹𝐺的面积的最小值为8． 故答案为：758．
①利用勾股定理求出𝐸𝐶2即可解决问题；
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②设𝐷𝐸=𝑥，则𝐶𝐸=√25+𝑥2，根据𝑆△𝐷𝐸𝐶+𝑆△𝐷𝐹𝐺=2𝑆正方形𝐶𝐸𝐹𝐺，求出△𝐷𝐹𝐺面积的函数表达式，配方求最值即可．
本题主要考查了利用配方法求二次函数的最值、正方形的性质、勾股定理等，根据𝑆△𝐷𝐸𝐶+𝑆△𝐷𝐹𝐺=
1𝑆，求出△𝐷𝐹𝐺面积关于𝑥的函数表达式是解题的关键． 2正方形𝐶𝐸𝐹𝐺
1
18.【答案】解：(1)𝛥=[−(2𝑚−3)]2−4𝑚2
=4𝑚2−12𝑚+9−4𝑚2
=−12𝑚+9，
∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(2𝑚−3)𝑥+𝑚2=0有两个实数根， ∴𝛥=−12𝑚+9≥0， ∴𝑚≤4；
(2)由题意可得𝑥1+𝑥2=2𝑚−3，𝑥1𝑥2=𝑚2， 又∵𝑥1(1+𝑥2)+𝑥2=0， ∴(𝑥1+𝑥2)+𝑥1𝑥2=0， ∴𝑚2+2𝑚−3=0， ∴𝑚1=−3，𝑚2=1， 又∵𝑚≤， ∴𝑚=−3．
(1)由一元二次方程𝑥2+(2𝑚−3)𝑥+𝑚2=0有两个实数根，【解析】根据根的判别式的意义得到𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐≥0，即[−(2𝑚−3)]2−4𝑚2≥0，解关于𝑚的不等式即可；
(2)根据根与系数的关系𝑥1+𝑥2=2𝑚−3，𝑥1𝑥2=𝑚2，代入𝑥1(1+𝑥2)+𝑥2=0求出𝑚的值即可． 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
3
43
19.【答案】解：(1)∵点𝐴(𝑎,4)，
∴𝐴𝐶=4， ∵𝑆△𝐴𝑂𝐶=4， ∴2×4⋅𝑂𝐶=4，
1
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∴𝑂𝐶=2，
∵点𝐴(𝑎,4)在第二象限， ∴𝑎=−2，即点𝐴(−2,4)， 将𝐴(−2,4)代入𝑦1=得：𝑘=−8，
𝑥∴反比例函数的解析式为：𝑦1=−，
𝑥把𝐵(𝑏,−1)代入𝑦1=−，得：𝑏=8， ∴𝐵(8,−1)；
∵直线𝑦2=𝑚𝑥+𝑛(𝑚≠0)过点𝐴(−2,4)，𝐵(8,−1)， −2𝑚+𝑛=4∴{，解得{𝑚=−2． 8𝑚+𝑛=−1𝑛=3∴𝑦2=−𝑥+3．
综上，反比例函数的解析式为：𝑦1=−，一次函数的解析式为：𝑦2=−𝑥+3． (2)由图象可以看出𝑚𝑥+𝑛≤的解集为：−2≤𝑥<0或𝑥≥8．
𝑥【解析】(1)见答案；
(2)不等式𝑚𝑥+𝑛≤，即一次函数图象位于反比例函数图象的下方，由图象可以看出𝑚𝑥+𝑛≤的解集为：−2≤𝑥<0或𝑥≥8
(1)由△𝐴𝑂𝐶的面积为4，可求出𝑎的值，确定反比例函数的关系式，把点𝐵坐标代入可求𝑏的值得到𝐵点坐标，然后由𝐴、𝐵两点坐标可得一次函数的解析式．
(2)根据图象观察当自变量𝑥取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的下方即可，注意有两部分．
本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，三角形的面积、待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键．
𝑘𝑥
𝑘𝑥
𝑘
8𝑥
12
12
1
8𝑥
8
𝑘
20.【答案】解：如图，过𝐶点作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为𝐷．
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∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐷𝐶=90°． 在𝑅𝑡△𝐵𝐷𝐶中，
∵∠𝐶𝐵𝐷∠𝐵𝐶𝑁=60°，𝐶𝐷=200米， ∴𝐵𝐷=𝑡𝑎𝑛60∘=
𝐶𝐷
200√3≈115.61(米)，
在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐶中，∵∠𝐴=∠𝐴𝐶𝑀=70°，𝐶𝐷=200米， ∴𝐴𝐷=𝑡𝑎𝑛70∘=2.75≈72.73(米)，
∴𝐴𝐵=𝐴𝐷+𝐵𝐷=72.73+115.61≈188.3(米)． 答：桥𝐴𝐵的长度约为188.3米．
【解析】过𝐶点作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为𝐷，根据锐角三角函数解直角三角形即可求出结果． 本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义并解直角三角形．
𝐶𝐷
200
21.【答案】解：(1)合格等级的人数为16÷40%−12−16−4=8，
补全图形如下：
(2)∵被抽取的成绩优秀的学生有12人， ∴小明被选中担任领队的概率为； (3)根据题意画树状图如下：
112
∵共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两人恰好分在同一组的结果数为3， ∴甲、乙两人恰好分在同一组的概率是=．
933
1
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【解析】(1)先利用良好等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出合格等级的人数，从而补全统计图； (2)直接根据概率公式求解即可；
(3)画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲、乙两人恰好分在同一组的结果数，然后根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率与列举法求概率的知识．此题难度适中，注意理解题意是解此题的关键，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】(1)证明：如图，连接𝐴𝐷，𝑂𝐷，
∵𝐴𝐵为⊙𝑂的直径， ∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴𝐵𝐷=𝐶𝐷，
∴𝑂𝐷是△𝐵𝐴𝐶的中位线， ∴𝑂𝐷//𝐴𝐶， ∵𝐸𝐹切⊙𝑂于点𝐷， ∴𝑂𝐷⊥𝐸𝐹， ∴𝐸𝐹⊥𝐴𝐶； (2)解：设𝐵𝐹=𝑥， ∵𝐴𝐵=6， ∴𝑂𝐵=𝑂𝐷=3， ∵𝑂𝐷//𝐴𝐶， ∴△𝑂𝐷𝐹∽△𝐴𝐸𝐹， ∴𝐴𝐸=𝐴𝐹，
𝑂𝐷
𝑂𝐹
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∴5=𝑥+6，
解此方程并检验得𝑥=． ∴𝐵𝐹=2．
【解析】(1)连接𝐴𝐷，𝑂𝐷，证明𝑂𝐷是△𝐵𝐴𝐶的中位线，进而可以解决问题； (2)结合(1)证明△𝑂𝐷𝐹∽△𝐴𝐸𝐹，对应边成比例即可解决问题．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△𝑂𝐷𝐹∽△𝐴𝐸𝐹．
3
323𝑥+3
23.【答案】解：(1)由题意可得，
𝑦=200−10(𝑥−30)=−10𝑥+500， ∴𝑦与𝑥之间的函数关系式为𝑦=−10𝑥+500； (2)①由题意可得，
180(𝑥−5−20)+(𝑥−20)(−10𝑥+500)=4700， 解得𝑥1=40，𝑥2=48，
答：当销售单价是40元或48元时，该网店每周线上、线下的销售利润是4700元； ②设总利润为𝑤元，由题意可得：
𝑤=180(𝑥−5−20)+(𝑥−20)(−10𝑥+500) =−10𝑥2+880𝑥−14500
=−10(𝑥−44)2+4860， ∵−10<0，
∴当𝑥=44时，𝑤取得最大值，此时𝑤=4860，
答：当线下销售单价是44元时，该网店每周线上、线下的销售总利润最大，最大利润是4860元． 【解析】(1)根据题意，可以写出𝑦(件)与𝑥(元)之间的函数关系式； (2)①根据题意和(1)中函数关系式，可以列出相应的方程，然后求解即可；
②根据题意，可以得到利润与𝑥的函数关系式，然后化为顶点式，即可得到当销售单价是多少元时，该网店每周线上、线下的销售利润最大，最大利润是多少元．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和函数关系式，利用二次函数的性质求最值
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24.【答案】(1)证明：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，
∴∠𝐵=∠𝐶，
在△𝐵𝐷𝑀中，∠𝐶𝐷𝑀=∠𝐵+∠𝐵𝑀𝐷， ∵∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐵，
∴∠𝐶𝐷𝑀=∠𝐸𝐷𝐹+∠𝐵𝑀𝐷， ∵∠𝐶𝐷𝑀=∠𝐸𝐷𝐹+∠𝐶𝐷𝑁， ∴∠𝐵𝑀𝐷=∠𝐶𝐷𝑁， ∴△𝐵𝐷𝑀∽△𝐶𝑁𝐷；
(2)解：(1)中结论仍然成立，理由如下： ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐷𝐵𝑀=∠𝑁𝐶𝐷，
在△𝐵𝐷𝑀中，∠𝑀𝐵𝐶=∠𝐵𝑀𝐷+∠𝐵𝐷𝑀， ∵∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐵𝐷𝑀+∠𝐶𝐷𝑁=∠𝑀𝐵𝐶， ∴∠𝐵𝑀𝐷=∠𝐶𝐷𝑁， ∴△𝐵𝐷𝑀∽△𝐶𝑁𝐷；
(3)解：𝐴𝐶=3√2． 【解析】(1)见答案； (2)见答案；
(3)解：同(2)的方法得，△𝐵𝐷𝑀∽△𝐶𝑁𝐷， ∵𝑆△𝐵𝐷𝑀：𝑆△𝐶𝑁𝐷=1：2， ∴𝐶𝑁=𝑁𝐷=𝐶𝐷=，
√2∵𝐵𝐷=1，𝐷𝑁=4√3，
∴𝐶𝑁=√2𝐵𝐷=√2，𝐷𝑀=√2𝐷𝑁=√2×4√3=2√6，𝐶𝐷=√2𝐵𝑀， ∵𝐷𝐸经过点𝐴，
∴𝐴𝐷=2√6，𝐶𝐷=√2𝐴𝐵， 设𝐴𝐵=𝑥(𝑥>0)，则𝐶𝐷=√2𝑥，
11𝐵𝐷
𝐷𝑀
𝐵𝑀
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∴𝐵𝐶=𝐶𝐷−𝐵𝐷=√2𝑥−1，
过点𝐴作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，则∠𝐴𝐻𝐵=90°，𝐵𝐻=1𝐵𝐶=√2𝑥−1，
2
2
∴𝐷𝐻=𝐷𝐵+𝐵𝐻=
√2𝑥+1
2
，
在𝑅𝑡△𝐴𝐻𝐷中，𝐴𝐻2=𝐴𝐷2−𝐷𝐻2， 在𝑅𝑡△𝐴𝐻𝐵中，𝐴𝐻2=𝐴𝐵2−𝐵𝐻2， ∴𝐴𝐷2−𝐷𝐻2=𝐴𝐵2−𝐵𝐻2， ∴
(√2𝑥+1)24−
4
2
=𝑥
2
(√2𝑥−1)−
4
2
，
∴𝑥=3√2或𝑥=−4√2(由于𝑥>0，不符合题意，舍去)， ∴𝐴𝐶=𝐴𝐵=3√2．
(1)先判断出∠𝐵=∠𝐶，再判断出∠𝐵𝑀𝐷=∠𝐶𝐷𝑁，即可得出结论； (2)同(1)的方法，即可得出结论；
(3)先根据相似得出==𝐶𝐷=，进而得出𝐶𝑁=√2，即𝐴𝐷=2√6，𝐷𝑀=2√6，𝐶𝐷=√2𝐵𝑀，𝐶𝑁𝑁𝐷√2设𝐴𝐵=𝑥，则𝐶𝐷=√2𝑥，得出𝐵𝐶=√2𝑥−1，过点𝐴作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，则∠𝐴𝐻𝐵=90°，𝐶𝐷=√2𝐴𝐵，𝐵𝐻=
√2𝑥−1
𝐵𝐷𝐷𝑀𝐵𝑀12
，进而得出𝐷𝐻=𝐷𝐵+𝐵𝐻=
√2𝑥+1
2
，再根据勾股定理得出𝐴𝐷2−𝐷𝐻2=𝐴𝐵2−𝐵𝐻2，
解方程即可求出答案．
此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)将点𝐴(−3,0)，𝐵(4,0)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−2，
∴{
9𝑎−3𝑏−2=0
，
16𝑎+4𝑏−2=0𝑎=6
11， 𝑏=−6
1
1
∴{
∴𝑦=6𝑥2−6𝑥−2；
(2)根据中心对称的性质可知，𝑂′𝐴′//𝑥轴，𝑂′𝐴′=𝑂𝐴=3，点𝐴′在点𝑂′的右边， 设点𝑂′的横坐标为𝑚，则点𝐴′的横坐标为
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𝑚+3，它们的纵坐标相等， ∵𝑂′，𝐴′在该抛物线上，
∴𝑚2−𝑚−2=(𝑚+3)2−(𝑚+3)−2， 解方程得𝑚=−1， ∴点𝑂′(−1,−)，
3
如图1，过点𝑃作𝑃𝑄⊥𝑥轴于点𝑄，过点𝑂′作𝑂′𝐺⊥𝑥轴于点𝐺，则𝑃𝑄为△𝑂𝑂′𝐺的中位线， ∴𝑂𝑄=2，𝑃𝑄=，
6∴𝑃(−2,−6)；
(3)存在点𝑀，使点𝐷恰好落在该抛物线上，理由如下：
如图2，当点𝐷在𝑥轴下方时，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝑀于点𝐹，
∴∠𝐹𝑀𝐷+∠𝑀𝐷𝐹=90°， ∵∠𝑂𝑀𝐶+∠𝐹𝑀𝐷=90°， ∴∠𝑂𝑀𝐶=∠𝐹𝐷𝑀，
∵∠𝐶𝑂𝑀=∠𝑀𝐹𝐷=90°，𝐶𝑀=𝑀𝐷， ∴△𝐶𝑂𝑀≌△𝑀𝐹𝐷(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝑀𝐹=𝑂𝐶=2，𝑂𝑀=𝐷𝐹， 设𝑂𝑀=𝐷𝐹=𝑐(𝑐>0)， ∴𝑂𝐹=𝑂𝑀+𝑀𝐹=𝑐+2， ∴𝐷(𝑐+2,−𝑐)， ∵点𝐷在抛物线上，
∴6(𝑐+2)2−6(𝑐+2)−2=−𝑐， 解得𝑐=1或𝑐=−10(舍去)． ∴𝐷(3,−1)；
如图3，当点𝐷在𝑥轴上方时，设𝑂𝐹=𝑐(𝑐>0)，
过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝑀于点𝐹，
1
1
1
51
55
16
16
16
16
第23页，共24页
同理可证△𝐶𝑂𝑀≌△𝑀𝐹𝐷(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐶𝑂=𝑀𝐹=2，𝐷𝐹=𝑂𝑀=𝑐+2， ∴𝐷(−𝑐,𝑐+2)， ∵点𝐷在抛物线上，
∴(−𝑐)2−(−𝑐)−2=𝑐+2， 解得𝑐=8或𝑐=−3(舍去)， ∴𝐷(−8,10)；
综上所述：𝐷点坐标为(3,−1)或(−8,10)．
【解析】(1)将点𝐴(−3,0)，𝐵(4,0)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−2，即可求解；
(2)由旋转的性质可设点𝑂′的横坐标为𝑚，则点𝐴′的横坐标为𝑚+3，它们的纵坐标相等，再将𝑂′，𝐴′代入函数解析式可求出𝑚值，再过点𝑃作𝑃𝑄⊥𝑥轴于点𝑄，过点𝑂′作𝑂′𝐺⊥𝑥轴于点𝐺，则𝑃𝑄为△𝑂𝑂′𝐺的中位线，即可求解；
(3)分两种情况讨论：①当点𝐷在𝑥轴下方时，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝑀于点𝐹；②当点𝐷在𝑥轴上方时，设𝑂𝐹=𝑐(𝑐>0)，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝑀于点𝐹；通过构造直角三角形全等，利用全等的性质求出𝐷点坐标，再将𝐷点坐标代入二次函数解析式即可求解．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，图形旋转的性质，三角形全等的判定与性质是解题的关键．
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