2011-2012学年上学期高三数学质量检测试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题要求的）

4且sincos1,则sin2等于 【 】 52412424 A． B． C． D．

25252552．对于直线m,n和平面、，的一个充分条件是 【 】

A．mn,m//,n// B．mn,m,n

1.已知sinC．n,m//n,m D．m//n,m,n

3x2y23．若将离心率为的椭圆221(ab0)绕着它的左焦点按逆时针方向旋转

42ab后，所得新椭圆的一条准线方程是3y+14=0，则新椭圆的另一条准线方程是 【 】

A．3y140 C．3y500

B．3y230

D．3y320

4． 设{an}是等差数列，从{a1，a2，a3，··· ，a20}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等

差数列，则这样不同的等差数列最多有 【 】 A．90个 . B． 120个. C．180个. D． 200个.

5. 已知函数f(x)log1(xaxa)的值域为R，且f(x)在（3,13)上是增函数，

22则a的范围是 【 】 A．0a2 B．6． 函数ylgsin( A．[k C．[k9a4 C．4a0 D． a0 262x)的单调递减区间为 【 】

6，k3](kZ)

B．[k6，k12](kZ)

575，k](kZ) ，k](kZ) D．(k36126a7． 当0x2时，不等式x2恒成立，则实数a的取值范围是 【 】

xA．(,1] B．(,0) C． (,0] D．(0,) 8．已知以x,y为自变量的目标函数kxy(k0)的可行域 如图阴影部分（含边界），若使取最大值时的最优解有无穷 多个，则k的值为

【 】

A．1 B．

3 C．2 2D．4

9． 定义在R上的函数f(x)满足f(x2)3f(x)，当x0,2时f(x)x22x，则

当x4,2时，f(x)的最小值是 【 】 A． －1 B．111 C． D． 39910．过抛物线y2x的焦点F的直线m的倾斜角点在x轴上方，则|FA|的取值范围是

A．(,1

4,m交抛物线于A、B两点，且A

【 】

142] 2B．[,1)

14C．(,1]

14D．(,)

1211．直平行六面体ABCD—A1B1C1D1的棱长均为2，BAD60，则对角线A1C与侧面

DCC1D1所成角的正弦值为

A．

C．

【 】

1 2B．

3 22 2D．

23 412．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b,c，则方程xbxc0有实根的

概率为 【 】 A．

1111719 B． C． D． 2183636二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上.） 13. 求xylg4x4yy2x3 。

x14. 函数yaa1及其反函数的图象与函数y221的图象交于A、B两点，若xAB22，则实数a的值等于_________ 。

15．已知向量m0,1,，向量ncosA,2cos2C，其中A,B,C为ABC的内角，2且A,B,C依次成等差数列，求mn的取值范围 。 16．P在直径为6的球面上，过P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条

弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是 。

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．某商场只设有超市部、服装部、家电部三个部门，共有200名售货员，计划三个部门日营业额共为55万元，各部门的商品每1万元营业额所需售货员人数如表（1），每1万元营

业额所得利润如表（2），若商场预期每日的总利润为a万元，且满足18.21a18.8，又已知商场分配给三个部门的日营业额为正整数万元，问商场怎样分配营业额给三个部门？各部门分别安排多少名售货员？

表（1） 部门 每1万元营业额所需人数 部门 每1万元营业额所需人数 超市部 0.3万元 4 超市部 服装部 0.5万元 5 服装部 家电部 0.2万元 2 家电部 表（2）

18．一个多面体的直观图，前视图(正前方观察)，俯视图(正上方观察)，侧视图(左侧正前方

观察)如下所示。

(1) 求A1A与平面ABCD所成角的大小及面AA1D1与面ABCD所成二面角的大小；

(2) 求此多面体的表面积和体积。

C1

D1 B1 A1 a 2

a a

C D

B A

直观图 前视图 俯视图 侧视图

19．（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p的最小值； （2）若三角形有一个内角为arccos7，周长为定值p，求面积S的最大值； 9 （3）为了研究边长a,b,c满足9a8b4c3的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：

16S2(abc)(abc)(abc)(abc)

[(ab)2c2][c2(ab)2]c42(a2b2)c2(a2b2)2 [c2(a2b2)]24a2b2

而[c2(a2b2)]20,a281,b264，则S36，但是，其中等号成立

2的条件是c2a2b2,a9,b8，于是c145与3c4矛盾，所以，此三角形

的面积不存在最大值。

以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案。

（注：16S2(abc)(abc)(abc)(abc)称为三角形面积的海伦公式，它

已经被证明是正确的）

20.已知2f(x)f()4x1x21,数列an、bn满足下列条件：x(nN*) ( 1 )求f(x)的解析式；

a11，

an12anf(n)，bnan1an（2）求bn的通项公式；（3）试比较2an与bn的大小，并加以证明.

21．如图，已知在坐标平面内，M、N是x轴上关于原点O对称的两点，P是上半平面内一 点，△PMN的面积为3,点A坐标为(13,3),MPmOA(m为常数),MNOP|MN|.

22（Ⅰ）求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程；

（Ⅱ）过点B（－1，0）的直线l交椭圆于C、D两点，交直线x=－4于点E，点B、E分 CD的比分别为1、2，求证：120.

22.已知二次函数f(t)at2bt

14a(tR)有最大值且最大值为正实数，集合

xa0}，集合B{x|x2b2}。 x（1）求A和B； （2）定义A与B的差集：AB{x|xA且xB}。设a，b，x均为整数，且xA。A{x|P(E) 为x取自AB的概率，P(F)为x取自AB的概率，写出a与b的三组值，使

P(E)21，P(F)，并分别写出所有满足上述条件的a（从大到小）、b（从小到大）33依次构成的数列{an}、{bn}的通项公式（不必证明）；

aan，bbn ，t2是方程f(t)0的两个根，（3）若函数f(t)中， 设t1、判断|t1t2|

是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。

参考答案

ACCCA, BCADA, DD 13.3,11 14. (21)21 15.2252105 16. 2517. 解：设商场分配给超市部、服装部、家电部的营业额依次为x万元，y万元，z万元

（x,y,z均为正整数），由题意得：

xyz55 14x5y2z200 2 a0.3x0.5y0.2z18.21a18.8 32y30x3 4 由（1），（2）得1x25x321 a0.3x.0530x0.225x33 20-0.1x 18.2120-0.1x18.8,  12x17.9 x,y,z为正整数，由4知x能被3整除， x12或15

x12x154x484x60 y22 或y20,  5y110 或5y100.

z21z202z422z40答：分配给超市部、服装部、家电部的营业额分别为12万元，22万元，21万元，售货员人数分别为48人，110人，42人；或者分配给三部门的营业额依次为15万元，20万元，20万元，售货员人数分别为60人，100人，40人。

18. 解：（1）由已知图可得，平面A1AB平面ABCD，取AB中点H，连接A1H，

在等腰A1AB中有A1HAB，则A1H平面ABCD，A1AB是A1A与平面

ABCD所成角， A1B2AH，∴A1ABarctan2

HK取AD中点K，连接D1K,KH，同理有D1K平面ABCD，即A在平面ABCD内的射影，在AA1AD11D1中，AA是AA1D1

52a,A1D1a，22SAA1D1321a 又SAHKa2，设面AA1D1与面ABCD所成二面角的大小为，88则cosSAHK11 ∴面AA1D1与面ABCD所成二面角的大小为arccos。

3SAA1D133212225a2 （2）此多面体的表面积Sa4a4aa28211aa533 此多面体的体积Va4aa

3222619.解：（1）设直角三角形两直角边长为x、12x，斜边长为y，则

2yx212x2x67262

22 ∴两直角边长为6时，周长p的最小值为1262。

（2）设三角形中边长为x、y的两边所夹的角为arccos7，则周长9pxyx2y22xy7 9 ∴p2xy2xy92148p xyxy，即xy6493 又S22172222p。 xysinarccosxyp，∴面积S的最大值为3229932 （3）不正确。16S2(abc)(abc)(abc)(abc)

[(bc)2a2][a2(bc)2]a42(b2c2)a2(b2c2)2

[a(bc)]4bc

222222 而[a(bc)]0,b64,c16，则S16，

222222其中等号成立的条件是 a2b2c2,b8,c4，则a45 ∴当三角形的边长为45,8,4的直角三角形时，其面积取得最大值16。 （ 另法：S20.解：（1）

11bcsinA84sin9016 ） 2214122f(x)f()4x1 ① 2f()f(x)2x1 ②

xxxx 由①②可得，f(x)2x1 （2）

an12an2n1,则an2an12n1，两式相减得an1an（2anan1）2，

即bn2bn12，则有bn22(bn12)且b1a2a14

n1，则bn32n2． bn2是首项为6，公比为2的等比数列， bn262 （3）

an12an2n1,① 又an1anbn32n2 ②

由①②可得，an32n2n32anbn32n（4n+1)

当n1时，2a1b1202a1b1;当n2时，2a2b202a2b2当n3时，2a3b3802a3b3;猜测当n3时，2anbn0

21. 解：（1）设M(c,0),N(c,0)(c0),P(x0,y0),

则MNOP(2c,0)(x0,y0)2cx0,

2cx02c,故x01. ① 又SPMNMP(x0c,y0),OA(13,133(2c)|y0|,y0. ② 222c33), 由已知(x0c,y0)m(13,), 22即

x0c13my032,故3(x0c)(13)y0. ③ 2将①②代入③，

33(1c)(13), c2c(33)0, 22c3. 2(c3)(c31)0, c3,y0x2y2322)在椭圆上， 设椭圆方程为221(ab0).ab3,P(1,2ab3x21224y21. 221,故b1,a4,∴椭圆方程为：4b3b（2）①当l的斜率不存在时，l与x4无交点， 不合题意.

②当l的斜率存在时，设l方程为yk(x1)，

x2y21 代入椭圆方程4

化简得：(4k1)x8kx4k40.

2222设点C(x1,y1)、D(x2,y2)，则：

0,8k2,x1x224k14k24.x1x224k11x11x2x2x2,41，

111211x14x1,2,

x21x24x11x141)[2x1x25(x1x2)8] x21x24(x21)(x24)12(4k248k2528 而2x1x25(x1x2)824k214k1

2122. （1）∵f(t)atbt4a(tR)有最大值，∴a0。配方得

14k12(8k2840k232k28)0， 120

f(t)a(tb2)2a1b0b1b14，由。 4aa ∴A{x|ax0}，B{x|bxb}。 （2）要使P(E)23，P(F)1可以使①A中有3个元素，AB中有2个元素， AB 3。

中有1个元素。则a4,b2。②A中有6个元素，AB中有4个元素， AB中有2个元素。则a7,b3。③A中有9个元素,AB中有6个元素,AB中有3个元素。则a10,b4。an3n1,bnn1。

（3） f(t)0，得bn10。

g(n)|t1t2|(t1t2)24t1t2 ∵9n1nbn12ann9n6n1219n16， n129n16ng(n)在N上单调递增。，当且仅当n3时等号成立。∴

14|t1t2|maxg(1)

,没有最小值。