带电粒子在有界磁场中运动时间问题的解题策略

带电粒子在有界磁场中运动时间问题的解题策略

作者：冯守灿

来源：《中学物理·高中》2013年第10期

求解带电粒子在有界磁场中运动时间问题是磁场中一种常见题型，求解粒子运动时间的基本方法是：根据粒子圆周运动的周期T和轨道所对应的圆心角 ，并根据 求得。除粒子运动时间计算问题之外，还有磁场中粒子运动时间的定性分析问题，比如：不同粒子在磁场中运动时间的比较以及粒子在磁场中运动时间的最值问题，此类问题除了用常规方法求解之外，还可以结合题目所给条件，从不同角度加以分析判断，效果更好，现结合实例从两方面分析如下： 1、如何求解粒子在磁场运动时间 1.1利用周期和圆心角求时间

例1、如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度B=2×10-8 T；磁场宽度L=0.2 m、一带电粒子电荷量q=-3.2×10-19 C，质量m=6.4×10-27 kg，以v=4×104 m/s的速度沿OO′垂直射入磁场，在磁场中偏转后从右边界射出.求：

（1）大致画出带电粒子的运动轨迹；（画在题图上） （2）带电粒子在磁场中运动的轨道半径； （3）带电粒子在磁场中运动时间？ 解析：（1）轨迹如图.

（2）带电粒子在磁场中运动时，由牛顿运动定律，有

qvB=mv2R R=mvqB=6.4×10-27×4×1043.2×10-19×2×10-3 m=0.4 m. （3）带点粒子在磁场中运动的周期为

设粒子在磁场中运动对应的圆心角为 ，由上图可知： 所以粒子在磁场中运动的时间为 1.2利用周期和速度偏转角求时间

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

例2、如图所示，一束电子（质量为m，电量为e）以速度v0沿水平方向由S点射入垂直于纸面向里，磁感应强度为B，而宽度为d的匀强磁场。射出磁场时的速度方向与竖直边界成30°，则穿过磁场所用的时间是多少？

解析：已知初速度和末速度的方向，易得速度的偏转角 ，由几何知识可知：粒子运动的圆弧对应的圆心角 等于粒子速度的偏转角 。故粒子运动时间 可得

掌握圆心角和偏转角关系后，在已知偏转角情况下，可直接求解，而不需再画轨迹和找圆心角，从而简化了解题。 1.3利用周期和圆切角求时间

例3、如图所示，在直角区域aob内，有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子从o点沿纸面以 相同速度射入磁场中，速度方向与边界ob成30°角，求正、负电子在磁场中运动的时间之比.

解析：当带电粒子在进入边界为直线的磁场中时，其速度方向与边界夹角又称圆切角，由数学知识可知：圆切角的2倍等于运动轨迹对应的圆心角。在遇到类似右图问题时，也不需再画轨迹和找圆心角，可直接利用结论求解。

根据左手定则判断粒子受力情况，可得出：正粒子向上偏，其圆切角为 ，负粒子向下偏，其圆切角为 ，所以其对应的圆心角之比为2：1，又因周期相同，故运动时间之比为2：1 2、如何比较粒子在磁场中运动时间

2.1若粒子运动周期相同，利用圆心角、偏转角比较时间

例4、（2011·海南）、空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界.一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射.这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子.不计重力.下列说法正确的是（ ）

A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 C.在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

D.在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大

解：根据题目所给条件，可知不同粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相同，根据 在磁场中运动时间越长，则轨迹对应的圆心角也越大，故D正确，

对于入射速度相同的粒子，由于粒子的比荷相同，根据半径公式 ，轨道半径相同，故粒子在磁场中运动轨迹一定相同。故B正确。

而对于速度不同的粒子，粒子运动的轨道半径不同，但当粒子速度较小时，不同速度的粒子可能都打在正方形的左边上，尽管粒子轨迹不同，但由于轨迹对应的圆心角都是 ，所以运动时间是相同的，故A、C错误。

2.2若粒子周期和轨道半径均相同，利用弦长比较时间

例5、在真空中半径 的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切，磁场 垂直于纸面向里，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为 的带正电的粒子，已知粒子荷质比为 ，则哪个粒子在磁场中运动时间最长？最长时间t有多大？

解析 ： 粒子的速度方向虽然不同，但粒子的运动周期相同，粒子在磁场中运动的时间最长，则粒子在磁场中运动对应的圆心角最大，也就是其粒子轨迹对应的弦最长。由于粒子入射点和出射电都在圆周上，最长弦长就是圆周的直径，所以粒子要在磁场中的运动时间最长，必定从O点进，而从M点出。 因为

由弦SM和半径R可作出粒子在磁场中的运动轨迹。 由图易知：

所以，粒子在磁场中运动的最长时间为

3.3若粒子运动速率相同，还可以利用弧长大小比较时间

例6、如图所示，在半径为R的圆形区域内有匀强磁场.在边长为2R的正方形区域里也有匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小相同.两个相同的带电粒子以相同的速率分别从M、N两点射入匀强磁场.在M点射入的带电粒子，其速度方向指向圆心；在N点射入的带电粒子，速度方向与边界垂直，且N点为正方形边长的中点，则下列说法正确的是（ ） A.带电粒子 在磁场中飞行的时间可能相同

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

B.从M点射入的带电粒子可能先飞出磁场 C.从N点射入的带电粒子可能先飞出磁场

D.从N点射入的带电粒子不可能比M点射入的带电粒子先飞出磁场

解析：如果我们把两种磁场的图进行叠合，见右图，当粒子速度为某值时，粒子恰好从两磁场的交点射出，由于粒子的半径相同，故其对应运动的圆弧长度相等，又因为两者速度大小相等，两者在磁场中运动时间可以相等；选A

但对于其他的任一条轨迹，从图中可知，在圆形磁场中的运动的弧长都小于方形磁场的圆弧长度，所以，从N点射入的带电粒子在磁场中运动应大于从M点射入的带电粒子的运动时间。选BD