(分式)

第17章分式

（八年级下学期）

2007．3．

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17.1分式

1、 教案目标 经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 2、 使学生能正确地判断一个代数式是否是分式

3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。 教案重点 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。

教案难点 能通过回忆分数的意义，探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教案过程

（一）复习与情境导入 （填空）

（1）面积为2平方M的长方形一边长为3M，则它的另一边长为M。 （2）面积为S平方M的长方形一边长为aM，则它的另一边长为M。

（3）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的住售价是元。

（4）根据一组数据的规律填空：1，

111,,……（用n表示） 4916先

观察你列出的式子，与以前学过的有什么不同？像这样的式子叫分式。 根据题意列代数式，并观察出它们的共性：分母中含字母的式子。 (二)实践与探索 例1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

（1）

1x3xy2xy；（2）；（3）；（4）.

3x2xy例2、探究：1 、当x取什么值时，下列分式有意义？

xx1（1）x2； （2）4x1。

x22、当x是什么数时，分式2x5的值是零？ 根据分式的意义判断。

可类比分数有意义来解决该问题 可类比分数值为0来解决

x1的值为正？可能为负吗？ x164、x取何整数值时，的值为整数？

x13、x取何值时，分式练习 讨论探索

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|x|22当x取什么数时，分式x4 （1）有意义 （2）值为零？

例3、已知分式

xa，当x=3时，分式值为0，当x=-3时，分式无意义，求

2axba,b的值。可类比分数来解。

讨论探索

（四）小结与作业分式的概念和分式有意义的条件。

作业：练习1．下列各式分别回答哪些是整式？哪些是分式？

2yx29x2n35， m， 2a-3b, y3, (x1)(x2),5

y2练习2 分式 y3，当y 时，分式有意义；当y 时，分式没有意义；当y

时，分式的值为0。 练习3 讨论探索

|x|22当x取什么数时，分式x4 （1）有意义 （2）值为零？

各抒已见。看谁说得最全。 （五）板书设计

概念例 值为0：

分式有（无）意义

(六)教案后记

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17.1分式的基本性质（1）

教案目标 掌握分式的基本性质，掌握分式约分方法，熟练进行约分，并了解最简分式的意义。

教案重点 分式约分方法

教案难点 分子、分母是多项式的分式约分 （一）复习与情境导入 分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示是：

AAMAAM, （ 其中M是不等于零的整式）。 BBMBBM与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分.可类比分数的基本性质来识记。 (二)实践与探索

例4、下列等式的右边是怎样从左边得到的？

x2xyxyy1y22y1（1） （2）（y≠—1）. x2xy1y21x2xyxy特别提醒：对，由已知分式可以知道x0，因此可以用x去x2x除以分式的分子、分母，因而并不特别需要强调x0这个条件，再如

y1y22y1是在已知分式的分子、分母都乘以y+1得到的，是在条件y1y21y+10下才能进行的，所以，这个条件必须附加强调。

例5：不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。 （1）

12xy2312xy23； （2）

0.3a0.5b. 仔细观察分母（分子）的变

0.2ab化利用分式的基本性质来解题。深入理解。尝试解题。

例6：约分

x2416x2y3（1）； （2）2 4x4x420xy4 / 27

x24(x2)(x2)x2解（2）2＝＝. 2x2x4x4(x2)说明：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母

分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式. 练习：约分：

m23m99212ax2y2a(ab)(ax)2x24；；；； ；。 2239m983b(ab)xy2y3axy(xa)先思考约分的方法，再解题，并总结如何约分：若分子和分母都是多项式，则往往

需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式. （四）小结与作业请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质 分式的约分运算，用到了哪些知识？

让学生发表，互相补充，归结为：（1）因式分解；（2）分式基本性质；（3）分式中符号变换规律；约分的结果是，一般要求分、分母不含“－”。 作业：课本习题1、2

各抒已见。看谁说得最全。 （五）板书设计

分子分母是单项式 例

约分

分子分母是多项式 分式基本性质

(六)教案后记

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17.1分式的基本性质（2）

教案目标 1．进一步理解分式的基本性质以及分式的变号法则。 2．使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤； 教案重点 让学生知道通分的依据和作用，学会分式通分的方法。 教案难点 几个分式最简公分母的确定。 教案过程 教师活动 学生活动 （一）复习与情境导入 1．分式

x3中，当x时分式有意义，当x时分式没有意义，当x时分式的值为2x40。

2．分式的基本性质。 (二)实践与探索

1、分式的的变号法则

例1 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号： （1）

5b2mx； （2）； （3）. 6an3yx2x； （2）. 221xx3例2 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数： （1）

注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。

（2）当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号。

例3若x、y的值均扩大为原来的2倍，则分式均变为原来的一半呢？ 2、分式的通分 （1）．把分数

2x的值如何变化？若x、y的值23y135,,通分。 2461616333952510，解，

262124341262612（2．）什么叫分数的通分？ 先独立思考再交流总结变号法则。 注意转化为例1的类型。引导学生用多种方法解题。 （1） 赋值法（2）增值代入作商法

答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。

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3．和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的公分母。 4．讨论： （1）求分式

111的（最简）公分母。 ,,322342xyz4xy6xy分析：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个

3

分式的分母的字母，字母x为底的幂的因式，取其最高次幂x，字母y为底的幂的

434

因式，取其最高次幂y，再取字母z。所以三个分式的公分母为12xyz。 （2） 求分式

11与的最简公分母。

4x2x2x24分析：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即

22

4x—2x= —2x（x-2），x—4=（x+2）（x—2），

把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积，即2x（x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。 请同学概括求几个分式的最简公分母的步骤。 5．练习：填空：

（1）

； （2）1； 12x3y2z12x3y4z4x2y312x3y4z。 16xy412x3y4z215,,3ab24a2c6bc2； （2）；

（3）

求下列各组分式的最简公分母： （1）

111 ,,3x(x2)(x2)(x3)2(x3)2 （3）

x11,2,2

2x2xxx16、例3 通分

（1）

1111，； （2），； a2bab2xyxy答：1．取各分式的分母中系数最小公倍数；

2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；

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3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；

4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。

（3）

11，. 222xyxxy分析 ：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同

分母的分式。通分的关键是确定几个分式的公分母；要归纳出分式分式是多项式如何确定最简公分母，一般应先将各分母分解因式，然后按上述的方法确定分母。 练习 通分： （1）

1111x5，；（2）， （3）.合作交,3x212xyx2xx2x(2x)2x2—4流解法。

板演并互批。 （四）小结与作业

把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。分式通分，是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式，根据分式基本性质，通分前后分式的值没有改变。通分的关键是确定几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”，才能化成同一分母。确定公分母的方法，通常是取各分母所有因式的最高次幂的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 （五）板书设计

分子分母是单项式 例 约分

分子分母是多项式 分式基本性质 分母是单项式 通分 分母是多项式

(六)教案后记

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17．2（1）分式的乘除法

教案目标1、通过实践总结分式的乘除法，并能较熟练地进行式的乘除法运算。 2、理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算

3、引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力 教案重点 分式的乘除法、乘方运算 教案难点 分式的乘除法、混合运算，分式乘法，除法、乘方运算中符号的确定。

教案过程

（一）复习与情境导入

1、(1)什么叫做分式的约分？约分的根据是什么？ (2)：下列各式是否正确？为什么？

2、（1）回忆：

计

算

：

31241 563（2）尝试探究：计算：

a2xay2（1）； by2b2xa2xya2yz（2）2222.

bzbx概括：分式的乘除法用式子表示即抢答

尝试探究用式子表示,用文字表达。培养学生的合情推理能力。 (二)实践与探索1 例2计算

x2x292x3x4

分析：①本题是几个分式在进行什么运算？ ②每个分式的分子和分母都是什么代数式？

③在分式的分子、分母中的多项式是否可以分解因式，怎样分解？ ④怎样应用分式乘法法则得到积的分式？

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解 原式＝

x3x2(x3)(x3)＝. x3(x2)(x2)x2练习：①课本练习1。 ②

计

算

：

(三)实践与探索2 探索分式的乘方的法则 1、 思 考

我们都学过了有理数的乘方，那么分式的乘方该是怎样运算的呢？ 先做下面的乘法：

（1）

x21x22x(x1)x24x41x(xyx2)xy xynnn　　　　　　＝（n）3； ＝

mmm　　　　　　m（2）

＝（n）k. nnn　　　　　　＝

mmmm　　　　　　k个2、仔细观察这两题的结果，你能发现什么规律？与同伴交流一下，然后完成下面的填空：

老师应格外强调符号问题 自主探究，后合作交流学习探索分式的乘方的法则 （四）小结与作业 怎样进行分式的乘除法？怎样进行分式的乘方？ 作业：课本习题第1、5题。

各抒已见畅所欲言说分式的乘除法。分式的乘方 （五）板书设计

n(k)

） =___________（k是正整数） m10 / 27

17.2 （2）分式的加减法

教案目标 1、使学生掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同分母，异

分母分式的加减运算。

2、通过同分母、异分母分式的加减运算，复习整式的加减运算、多项式去括号

法则以及分式通分，培养学生分式运算的能力。

3、教案重点 让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法。

教案难点 分式的分子是多项式的分式减法的符号法则，去括号法则应用。 （一）实践与探索1

1、回忆：同分母的分数的加减法

2、类似地，同分母的分式的加减法法则如下：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 3．例1：计算：

222（xy）(xy)2(xy)(xy)（1）；（2）xyxyxyxy.

（3）

xy－ 2222xyyx(xy)2(xy)2(xy)2(xy)2解（1） ＝ xyxyxyx22xyy2x22xyy22(x2y2)(xy)2(xy)2＝ ＝ （2）－

xyxyxyxy222222(xy)(xy)＝ ＝ (x2xyy)(x2xyy) ＝ 4xy ＝4.

xyxyxy提示：（3）可转化为同分母的分式的减法，但应注意符号问题。 4、练习：课本练习1。

复习分数的加减法法则类比引出分式的加减法法则，学生尝试解题并自己总结注意事项。

（1）符号问题

（2）结果应化为最简分式或整式。

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指名板演。

(二)实践与探索2二、异分母分式的加减法 1． 回忆：异分母分数的加减法 计算：

11325 236662、与异分母分数的加减法类似，异分母分式相加减，需要先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 异分母分式 同分母分式 分母不变 通分 法则 的加减法的加减法 分子相加 通分时，最简公分母由下面的方法确定：

① 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ② 最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积； ③ 分母是多项式时一般需先因式分解。

3．例2 计算：

13324＋； （2）. 223x4xx4x161349x9x4解 （1）2＋ ＝ ＝

3x4x12x212x212x2（1）

（2）因为最简公分母是______________， 所以

3242＝_______＝_____________＝_________-. x4x164．练习：课本练习2（1、2、3小题）

a2ab 5、例3：计算

ab

a2aba2(ab)(ab)解：原式= ab)ab1abab

a2(a2b2)b2 abab

6、练习：计算

4a2a2 （1）a1 （2）

a2a112 / 27

（3）111111（4） 复1(ab)(ac)(bc)(ba)(ca)(cb)1xx2习分数的加减法法则类比引出异分母分式的加减法法则

(三)小结与作业

异分母分式的加减法步骤：

1. 正确地找出各分式的最简公分母。

求最简公分母概括为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母为底的幂的因式都要取；（3）相同字母的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。

2. 准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式。 3. 用公分母通分后，进行同分母分式的加减运算。 4. 公分母保持积的形式，将各分子展开。 5. 将得到的结果化成最简分式（整式）。 作业：课本2、3、4。 （四）板书设计 分式的乘方

分式的乘除法 约分 例

分式运算 同分母

分式的加减法 异分母 通分 （五）教案后记

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分式的混合运算（补充）

1、 教案目标 能类比分数的混合运算探究出分式的混合运算法则. 2、 会进行简单的分式四则混合运算。 3、 能灵活运用运算律简便运算。

4进一步培养学生严谨的治学态度，实事求是的精神。 教案重点 会进行简单的分式四则混合运算 教案难点 能灵活运用运算律简便运算。。 （一）复习并问题导入

1、 回忆：我们已经学习了分式的哪些运算？

2、 分式的乘除运算主要是通过 （ ）进行的，分式的加减法主要是通过

（ ）什么进行的。分数的混合运算法则是（ ，类似的，分式的混合运算法则是先算（ ），再算（ ），最后算（ ），有括号先算（ ）里的。 （二）典型例题探究

例1：计算：4xx2 2x2x2x4x4分析：应先算括号里的。

4y24x2y例2：x2y x2yx24y2本题应采用逐步通分的方法依次进行。

例3：

11xyxy 引导学生分析运算顺序，并说解法。2xxy2x指名板演。合作交流解法。代表板演。积极探求简便解法。

分析：本题可用分配律简便计算。

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例4：1111 ab2ab2ababx22x1x1 2、11、 x1x1x12分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分。积极探求简便解法。 （三）同步训练

3、

12ab2bc1xy+4、xyxyx2y2 (ab)(ac)(ab)(ca)(三)小结与作业

1、分数的混合运算法则是（ ，类似的，分式的混合运算法则是先算（ ），再算（ ），最后算（ ），有括号先算（ ）里的。 2、 一些题应用运算律、公式简便运算。

11x22x12其中x21 作业：1、先化简再求值x1x1x1

教案后记

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17．3可化为一元一次方程的分式方程（1）

教案目标 1、使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.

2、使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.

3、使学生领会“ 转化”的思想方法，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解.

4、培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。

教案重点，理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程. 教案难点 使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法. （一）问题情境导入

问题：轮船在顺水中航行80千M所需的时间和逆水航行60千M所需的时间相同. 已知水流的速度是3千M/时，求轮船在静水中的速度。 读题、审题、设元、列方程，激发探究热情。 （二）实践与探索1：分式方程的概念： [分析]： 设轮船在静水中的速度为x千M/时，根据题意，得

8060x3x3

方程（1）有何特点？

[概括] 方程（1）中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.

提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？ 辨析：判断下列各式哪个是分式方程． (1)

； (2)

； (3)

； (4)

；

(5)

根据定义可得：(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程． 学生观察分析后，发表意见，达成共识。学生举出分式方程的例子，根据分式方程的概念进行判定，加深对分式方程概念的理解。 （三）实践与探索2：分式方程的解法 1、思 考 ： 怎样解分式方程呢？

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为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：

1）、回顾一下一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ 2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？ 方程（1）可以解答如下：

方程两边同乘以（x+3）(x-3)，约去分母，得80（x-3）=60(x+3). 解这个整式方程，得x=21.

所以轮船在静水中的速度为21千M/时 2、概 括

上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.

1223、例1 解方程：x1x1.

解： 方程两边同乘以（x-1）,约去分母，得x+1=2.

解这个整式方程，得x=1.事实上，当x=1时，原分式方程左边和右边的分母（x－

2

1）与（x－1）都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的根，应当舍去.所以原分式方程无解.

4、在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.

5．那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？ 6、验根的方法

解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，即为增根.

如例1中的x=1，代入x2－1＝0，可知x=1是原分式方程的增根. 7、有了上面的经验，我们再来完整地解二个分式方程.

2

1例2 解方程：（1）

x514xx4 （2）

x216x22x2x4x2 可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结。深入理

解。学生尝试解题，并思考产生增根的原因。总结解分式方程的步骤，并真正理解增根。

板演并小组批改。

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(三)

小结与作业 ①、什么是分式方程？举例说明；②、解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．解这个整式方程．.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去．3、解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？各抒已见畅所欲言说分式方程及其解法，特别要注意验根。 （四）板书设计

分式方程（1） 例： 乘 最简公分母

整式方程

（五）教案后记

17．3可化为一元一次方程的分式方程（2）

教案目标 ①、进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程。

②、通过分式方程的应用教案，培养学生数学应用意识。

教案重点 让学生学习审明题意设未知数，列分式方程 教案难点 在不同的实际问题中，设元列分式方程 （一）复习并问题导入 1复习练习

2373x4x222x6 解下列方程： （1）x1x1 （2）x32、列方程解应用题的一般步骤？

[概括]这些解题方法与步骤，对于学习分式方程应用题也适用。这节课，我们将学习列分式方程解应用题。 讨论后回答。

（二）实践与探索1：列分式方程解应用题

[例1]某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知

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甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？

[分析]（1）如何设元（2）题目中有几个相等关系？（3）怎样列方程

解 设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲每分能输入2x名学生的成绩，根据题意得

264026402602x＝x.

解得x＝11.

经检验，x＝11是原方程的解.并且x＝11，2x＝2×11＝22，符合题意. 答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩.

强调：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意；时间要统一。 读题、审题、设元、找相等关系列方程。本题有两个相等关系： （1）甲速=2乙速 （2）甲时+120=乙时

其中（1）用来设，（2）用来列方程 注意如何检验。 2、概 括

列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意；

（2）设未知数（要有单位）；

（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程； （4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意； （5）写出答案（要有单位）。 练习：求解本章导图中的问题. 对照题目理解。

（二）实践与探索2：例2 A，B两地相距135千M，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车的速度。

解读：设大车的速度为2x千M/时，小车的速度为5x千M/时，根据题意得

13513515解之得x=9 2x5x2经检验x=9是原方程的解 当x=9时，2x=18，5x=45

答：大车的速度为18千M/时，小车的速度为45千M/时 练习：（1）甲乙两人同时从离为

，则可列方程为（ ）

地出发，骑自行车到

地，已知

两地的距

，甲每小时比乙多走

，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走

19 / 27

AB．C．D．

（2）我军某部由驻地到距离30千M的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。读题、审题、设元、找相等关系列方程 板演。

（三）创新实践与探索3：自编一道可列方程为

1020的应用题各抒己见畅所欲言说心里话。 xx5 (三)小结与作业

本课小结：列分式方程与列一元一次方程解应用题的差别是什么？ 你能总结一下列分式方程应用题的步骤吗？各抒己见畅所欲言 （四）板书设计

列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意；

（2）设未知数（要有单位）； 例 （3）根据题目中的数量关系 列出式子，找出相等关 系，列出方程；

（4）解方程，并验根，还要看 方程的解是否符合题意；

（5）写出答案（要有单位）。 （五）教案后记

17．3可化为一元一次方程的分式方程复习 教案目标 1。使学生能较熟练的列可化为一元一次方程的分式方程解应用题。

2、提高分析问题和解决问题的能力。

教案重点 分析应用题中的数量关系，提高思维能力。 教案难点 分析应用题中的数量关系，提高思维能力。 教案过程

（一）复习并问题导入 1复习练习

1、(02苏州)某农场挖一条960m长的渠道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提

20 / 27

前4天完成了任务。若设原计划每天挖xm，则根据题意可列出方程（）

9609609609604B. 4 xx20x20x9609609609604 D. 4 C. xx20x20xA.

2、（03苏州）为了绿化江山，某村计划在荒山上种植1200棵树，原计划每天种x

棵，由于邻村的支援，每天比原计划多种了40棵，结果提前了5天完成了任务，则可以列出方程为（ ）

1200120012001200－=5 B）－=5 xx40x40x1200120012001200 C）－=5 D）－=5

x40xxx40A）

（二）创新例题讲解与练习巩固 例1 购一年期债券，到期后本利只获2700元，如果债券年利率12.5%，&127。那么利息是多少元?

解：(1)设利息为x元，则本金为(2700-x)元，依题意列分式方程为：

解此方程得

经检验x=300为原方程的根 答：利息为300元。 合作交流解法，学以致用。

[练习]一组学生乘汽车去春游，预计共需车费120元，后来人数增加了

1，费用仍4不变，这样每人少摊3元，原来这组学生的人数是多少个？

本题是策略问题，应让学生合作交流解法。注意分类讨论思想。合作交流解法

例2：某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书。施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元, 乙工程队工程款1.1万元。工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算：

（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；

（3）若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成。 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？

一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），

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可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元， （1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？

（2） 若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级

学生有多少人？

(三)小结与作业

列分式方程解应用题的一般步骤：列方程解应用题注意分析题目中的数量，分清哪些是未知数，哪些是已知数，再找出这些数量间的关系，尽量找出多的数量关系，一般地，其中一个用来设立未知数，另一个用来立方程。 课本11、12、15。 （四）教案后记

17．4（1）零指数幂与负整指数幂

教案目标 1、使学生掌握不等于零的零次幂的意义。

2、使学生掌握

an1an（a≠0，n是正整数）并会运用它进行计算。

3、通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法。 教案重点难点 不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质是本节课的重点也是难点。 （一）复习并问题导入 问题1 在§13.1中介绍同底数幂的除法公式am÷an=am-n时，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即m=n或m＜n时，情况怎样呢？设置矛盾冲突，激发探究热情。 （二）探索1：

不等于零的零次幂的意义 先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如考察下列算式：

223355

5÷5，10÷10，a÷a(a≠0).

一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得 222-20

5÷5＝5＝5，

22 / 27

10÷10＝10＝10， a5÷a5＝a5-5＝a0(a≠0).

另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1. [概 括] 我们规定：

000

5=1，10=1，a=1（a≠0）.

这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.

自主探究，合作交流思想：任何不等于零的数的零次幂都等于1. （三）探索2： 负指数幂 我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况， 例如考察下列算式：

2537

5÷5， 10÷10，

一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得

252-5-3373-7-45÷5＝5＝5， 10÷10＝10＝10.

另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为

333-30

152525÷5＝5＝2＝

5553532

5

自主探究，合作交流思想：任何不等于零的数的－

n （n为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.

110310310÷10＝7＝3＝ 44101010103

7

-3

概 括：由此启发，我们规定： 5＝

11-4

， 10＝. 53104an一般地，我们规定：

1an(a≠0，n是正整数)

这就是说，任何不等于零的数的－n （n为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.

（四）典例探究与练习巩固 例1计算：

11010-2

（1）8÷8；（2）10；（3）101

3练 习：计算：

023 / 27

11-2

（1）（-0.1）；（2）；（3）2；（4）.

200320

02例2计算：

1010练习：计算

20102100；

24422024264102

（1）(21)1(21)02sin450 （2）(2)()0122(2)2

3

（3）（03苏州）计算：16÷（—2）—（

1-10

）+（3-1） 3例3用小数表示下列各数：

-4-5

（1）10；（2）2.1×10. 练习：用小数表示下列各数：

-343

（1）-10×（-2）（2）（8×105）÷（-2×10）

(三)

小结与作业

mnm-nmn

1、 同底数幂的除法公式a÷a=a (a≠0,m>n)当m=n时，a÷a =当m < n 时，

am÷an =

2、 任何数的零次幂都等于1吗？ 3、 规定an1其中a、n有没有限制，如何限制。 na

课本习题1、复习题A2。 （四）板书设计零次幂 例

同底数幂的除法

负整指数幂 （五）教案后记

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教案目标

17．4（2）科学记数法

1、使学生掌握不等于零的零次幂的意义。

2、使学生掌握

an1an（a≠0，n是正整数）并会运用它进行计算。

3、通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法。 教案重点难点 重点：幂的性质（指数为全体整数）并会用于计算以及用科学记数法表示一些绝对值较小的数

难点：理解和应用整数指数幂的性质。 教案过程

（一）复习并问题导入1、()；(3)1=；()2

120142=，(13)=，(3)1=。 10

抢答

2、（04苏州）不用计算器计算：12÷（—2）—2 +

-1

131（二）探索1：

“幂的运算” 中幂的性质现在，我们已经引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数.那么，在§14.1“幂的运算”中所学的幂的性质是否还成立呢？与同学们讨论并交流一下，判断下列式子是否成立. ．．．．．（1）a2a3a2(3)；（2）(a·b)

-3

=ab； （3）(a)=a-3-3-32(-3)×2

2、概括：指数的范围已经扩大到了全体整数后，幂的运算法则仍然成立。

2-3-2-5

[例1] 计算(2mn)(mn)并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式。

1-84 n4解：原式= 2mn×mn= mn= 888m-3-3-6

-510

练习：计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：

-322-32-2-2-1-3

（1）(a)(ab)；（2）(2mn)(mn).

理解指数的范围已经扩大到了全体整数后，幂的运算法则仍然成立。 （三）探索2： 科学记数法

25 / 27

1、回忆： 在§2.12中，我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的

n

5

数，即利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成 a×10的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.例如，864000可以写成8.64×10.

2、 类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10. ．．．．．．．．．．．．．．．3、探索：

10=0.1 10= 10= 10= 10=

归纳：10=

例如，上面例2（2）中的0.000021可以表示成2.1×10.

[例2]一个纳M粒子的直径是35纳M，它等于多少M？请用科学记数法表示. 分 析 我们知道：1纳M＝

-9

-9

-5

-n

-5-4-3-2-1

-n

所以35纳M＝35×10M.

1＋（－9）

11-9-9

M.由＝10可知，1纳M＝10M. 991010-9

而35×10＝（3.5×10）×10

＝35×10＝3.5×10，

-8

所以这个纳M粒子的直径为3.5×10M. 5、练 习

①用科学记数法表示：

（1）0.00003；（2）-0.0000064；（3）0.0000314；（4）2013000. ②用科学记数法填空：

（1）1秒是1微秒的1000000倍，则1微秒＝_________秒； （2）1毫克＝_________千克；

（3）1微M＝_________M； （4）1纳M＝_________微M； （5）1平方厘M＝_________平方M； （6）1毫升＝_________立方M.] 回忆并强调指出∣a∣的取值范围。 猜想0的个数与n的关系。 (三)小结与作业 引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立。科学记数法不仅可以表示一个绝对值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a必须满足，1≤∣a∣＜10. 其中．．．．．．．．．．

-8

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n是正整数 ．．．．．

课本习题2、3；第20页复习题A3。 （四）板书设计

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