变限积分的教

变限积分的教学探讨

欧阳云

（河池学院，广西宜州546300）

【摘要】变限积分是微积分学中一类具有特殊形式的函数。它证明了原函数存在定理以及牛顿-莱布尼茨公式。本文分别从变限积分的定义、性质和应用教学三大块分析在变限积分教学中应注意的一些问题。

【关键词】变限积分；牛顿-莱布尼茨公式；原函数

0引言

推论1：若f（x）在区间［a，b］上连续，则Φ（x）=可导，且Φ′（x）=d（

在高等数学的微积分教学中，微积分学基本定理非常重要。微积分学基本定理———牛顿-莱布尼茨公式将定积分转化为原函数在积分上限和下限的函数值之差，为求定积分提供了一个很有效的方法。教材中，为了证明原函数存在定理和牛顿-莱布尼茨公式，引进变限积分的概念。可见变限积分在微积分学中是一个必不可少的工具。变限积分具有许多好的性质，它是我们将微分与积分联系起来的纽带。有了变限积分，我们可以更好的理解原函数存在定理以及牛顿-莱布尼茨公式。变限积分教学主要有三个内容：变限积分的定义，变限积分的性质以及变限积分的应用。下面分别从这三块分析在教学中应注意的问题，让学生更好的理解变限积分的定义，变限积分在微积分学中的作用以及一些变限积分如何求导如何求极限。

乙ft

a

x

′，dt在[a，b]上

f′t，dt）=f（x）（a≤x≤b）。

adx推论2：若f（x）在区间［a，b］上连续，F（x）是f（x）的任一个原函数，

乙x

则存在常数C，使得对任一x∈，有F（x）=a，b，乙ft

a

x

′，dt+C。

2.2

1

1．1

变限积分的定义教学

变限积分的定义

定义1[1]：若f（x）在［a，b］上可积，则称积分

教学中注意的问题

（1）从以上定理以及推论可看出，对f（x）作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是变限积分的特有性质。我们知道，函数的连续性是可导性的充分非必要条件。即函数f（x）在区间I连续，那么函数f（x）在区间I可导；如果已知函数f（x）在区间I可导，但是经过求导后，其导函数f′（x）不一定是连续的。

（2）推论1也称为原函数存在定理。从推论中，可以看出，连续函

通过定积分的形式给出了它的一个原函数。求原函数与求导运算是互

b为逆运算，可以说，原函数的求解本质上是微分学的问题；求定积分是

为f（x）在区间［a，b］上的积分上限函数（或者变上限积分）；称f乙t，求一个特定和式的极限，是积分学的问题。推论1把微分学和积分学

x

乙，，，为在区间上的积分下限函数或者变下限积联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。，（）［，］（dtx∈abfxab

分）。变上限积分与变下限积分统称为变限积分。

3变限积分的应用教学1.2教学中强调的问题

为了更好的让学生理解这个定义，一定要强调两点：变限积分的应用有三个：求变限积分导数，求变限积分的极限以（1）积分上限x与被积函数中自变量t的区别及证明牛顿-莱布尼茨公式。在教学中，求变限积分导数以及求变限积积分上限与被积函数中自变量，是两个不同的概念。为避免混淆，分的极限是难点。所以我们在教学过程中，要分析清楚。教材用x表示积分上限，改用t为被积函数的积分变量。这是由于定3.1求变限积分导数积分的值与积分变量的记号无关，把积分变量改用别的字母表示，不我们用推论1求变限积分的导数。不过经常用到变限复合函数的影响积分结果。求导公式。在教学过程中，首先一定要复习复合函数求导法则，然后再

a

乙ft

x

数必存在原函数，并且Φ（x）=

乙乙，dt乙x∈，a，b，乙ft

a

x

′，dt是函数f（x）的一个原函数，即

乙变上限积分Φ（x）=

乙ft

a

x

乙，dt的自变量是上限变量x，对其求导，

推导变限复合函数的求导公式。设u=u（x），则

是关于x求导；但在求积分时，则把x看作常数，积分变量t在积分区间[a，x]上变动。弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。

（2）变限积分的几何意义

变上限积分有明显的几何意义：设坌x∈，有f（x）≥0，则变上a，b，限积分Φ（x）

df′t，dt=d

adxdu′，=fu·u′

′，，·dux=f′u′x，dx同理有以下式子：

乙u（x）

乙ft

a

u

′，·dudt

dx乙ft

a

x

′，dt是区间[a，x]上的区边梯形的面积。如图（1）的阴

影部分。当x在区间[a，b]上变化时，阴影部分的曲边梯形面积也随之

变化，所以变上限定积分是上限变量x的函数。

ddxddx

=-fx，乙ftdt，=fψx，乙ftdt，b

′，′，，′，，，ψ′′x，-f，φ′x，φ′′x，x

ψ′x，φ′x，′，在讲解例题时，可以用换元思想来分析，学生更加容易理解。例1.求由

乙0

siny

edt+

t

。乙tantdt=0所确定的隐函数y对x的导数dydx0

x

sinysiny′，解：两端对x求导，得e·dsiny+tanx=0。即e··dy=-tanxcosy

dxdytanx整理得：。所以dy=-tanxsiny=-sinydxdxcosy·ecosy·e3.2

图1

dx求有变限积分参与的极限

有变限积分参与的极限问题的求解中，我们经常用到洛必达法则以及变限积分的求导公式。科2

2．1

变限积分的性质教学

关于积分上限函数的性质理论

定理1：如果f（x）在[a，b]上可积，则Φ（x）=

●

【参考文献】

［1］黄立宏.高等数学：上册[M].上海：复旦大学出版社，2012，141．

乙ft

a

x

′，dt在[a，b]上连续。

［责任编辑：周娜］

作者简介：欧阳云（1982—），女，江西萍乡人，河池学院数学系，讲师，研究方向为组合优化。

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