增城区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

增城区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 若函数y=|x|（1﹣x）在区间A上是增函数，那么区间A最大为（ ） A．（﹣∞，0） B．

C．[0，+∞） D．

2． 已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=（ ） A．2

B．﹣2

C．8

C．

D．﹣8

，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成

3． 在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=角的正切值为（ ） A．

B．

D．

4． 已知函数f（x）=x4cosx+mx2+x（m∈R），若导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为（ ）

A．﹣12 B．﹣10 C．﹣8 D．﹣6

5． 函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈（0，1）时，f（x）=x+1，则函数f（x）在（1，2）上的解析式为（ ）

A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x﹣3 C．f（x）=1﹣x D．f（x）=x+1 6． 已知f（x）=4+ax﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（ ） A．（1，5） B．（1，4） C．（0，4） D．（4，0） 7． 函数f（x）=x3﹣3x2+5的单调减区间是（ ） A．（0，2） B．（0，3）

8． 已知实数x，y满足约束条件A．[﹣

，0]

B．[0，

C．（0，1） D．（0，5）

，若y≥kx﹣3恒成立，则实数k的数值范围是（ ）

，+∞）

D．（﹣∞，﹣

]∪[0，+∞）

] C．（﹣∞，0]∪[

9． 给出以下四个说法：

①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； ②线性回归直线一定经过样本中心点，；

③设随机变量ξ服从正态分布N（1，32）则p（ξ＜1）=；

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精选高中模拟试卷

④对分类变量X与Y它们的随机变量K2的观测值k越大，则判断“与X与Y有关系”的把握程度越小． 其中正确的说法的个数是（ ） A．1

B．2

C．3

B．2

D．4

C．3

的点是（ ）

C．（，

）

D．4

10．设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（ ） A．1

11．在曲线y=x2上切线倾斜角为A．（0，0）

B．（2，4） D．（，）

12．已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（ ） A．1

B．

C．2

D．4

二、填空题

13．平面向量，满足|2﹣|=1，|﹣2|=1，则的取值范围 ．

14．如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ．

15．在ABC中，已知sinA:sinB:sinC3:5:7，则此三角形的最大内角的度数等 于__________.

16．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点． ①若AC=BD，则四边形EFGH是 ；

②若AC⊥BD，则四边形EFGH是 ．

17．抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 ．

118．已知函数fxx3mx,gxlnx.mina,b表示a,b中的最小值，若函数

4hxminfx,gxx0恰有三个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．

三、解答题

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19．已知函数f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx（a＞1）． （Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ） 若a=2，数列{an}满足an+1=f（an）． （1）若首项a1=10，证明数列{an}为递增数列；

（2）若首项为正整数，且数列{an}为递增数列，求首项a1的最小值．

20．（本小题12分）在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF是边长均为a正方形，CF平面

ABCD，BG平面ABCD，且AB2BG4BH．

（1）求证：平面AGH平面EFG； （2）若a4，求三棱锥GADE的体积．

【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，间在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．

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21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与

椭圆C交于不同的两点M，N， （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）当△AMN的面积为

22．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是等腰梯形，AB=CD=AD=1，BC=2，E，M，N分别是所在棱的中点．

（1）证明：平面MNE⊥平面D1DE； （2）证明：MN∥平面D1DE．

时，求k的值．

23．（本小题满分13分）

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在四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，AB//DC，ABD为PA的中点．

（Ⅰ）在棱PB上确定一点E，使得CE//平面PAD； （Ⅱ）若PAPBPD6，求三棱锥PBDF的体积．

2，AD22，AB2DC2，FPF

DCA

B

24．本小题满分12分某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售1件该商品可获利50元.若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元. Ⅰ若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y单位:元关于当天需求量n单位:件,n∈N的函数解析式； Ⅱ商店记录了50天该商品的日需求量单位:件,整理得下表:

日需求量n 8 9 频数 10 11 12 5 9 11 15 10 ①假设该店在这50天内每天购进10件该商品,求这50天的日利润单位:元的平均数；

②若该店一天购进10件该商品,以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润在区间

[400,550]内的概率.

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增城区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：y=|x|（1﹣x）=再结合二次函数图象可知

函数y=|x|（1﹣x）的单调递增区间是：故选：B．

． ，

2． 【答案】B

【解析】解：∵f（x+4）=f（x）， ∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）， 又∵f（x）在R上是奇函数， ∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2． 故选B．

【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．

3． 【答案】D 【解析】解：双曲线

（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x

联立方程组，解得A（，），B（，﹣），

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设直线x=与x轴交于点D

∵F为双曲线的右焦点，∴F（C，0）

∵△ABF为钝角三角形，且AF=BF，∴∠AFB＞90°，∴∠AFD＞45°，即DF＜DA ∴c﹣

＜

222222

，b＜a，c﹣a＜a∴c＜2a，e＜2，e＜

又∵e＞1

∴离心率的取值范围是1＜e＜故选D

【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是找到含a，c的齐次式，再解不等式．

4． 【答案】C

34

【解析】解：由已知得f′（x）=4xcosx﹣xsinx+2mx+1， 34

令g（x）=4xcosx﹣xsinx+2mx是奇函数，

由f′（x）的最大值为10知：g（x）的最大值为9，最小值为﹣9， 从而f′（x）的最小值为﹣9+1=﹣8． 故选C．

【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．

5． 【答案】A

【解析】解：∵x∈（0，1）时，f（x）=x+1，f（x）是以2为周期的偶函数， ∴x∈（1，2），（x﹣2）∈（﹣1，0）， f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x）=2﹣x+1=3﹣x， 故选A．

6． 【答案】A

x1

【解析】解：令x﹣1=0，解得x=1，代入f（x）=4+a﹣得，f（1）=5，

则函数f（x）过定点（1，5）． 故选A．

7． 【答案】A

32

【解析】解：∵f（x）=x﹣3x+5，

2

∴f′（x）=3x﹣6x，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，

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故选：A．

【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．

8． 【答案】A

【解析】解：由约束条件

作可行域如图，

联立联立由题意得：

，解得B（3，﹣3）．

，解得A（

，解得：

． ）．

．

∴实数k的数值范围是故选：A．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．

9． 【答案】B

【解析】解：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故①错； ②线性回归直线一定经过样本中心点（，），故②正确； ③设随机变量ξ服从正态分布N（1，32）则p（ξ＜1）=，正确；

④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故④不正确． 故选：B．

【点评】本题考查统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X，Y的关系，属于基础题．

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10．【答案】B

222

【解析】解：根据题意，M∩N={（x，y）|x+y=1，x∈R，y∈R}∩{（x，y）|x﹣y=0，x∈R，y∈R}═{（x，y）

|}

222

将x﹣y=0代入x+y=1， 2

得y+y﹣1=0，△=5＞0，

所以方程组有两组解，

因此集合M∩N中元素的个数为2个， 故选B．

【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题

11．【答案】D

2【解析】解：y'=2x，设切点为（a，a）

∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1， ∴a=，

2

的点是（，）．

在曲线y=x上切线倾斜角为故选D．

【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

12．【答案】B

【解析】解：设圆柱的高为h，则 V圆柱=π×12×h=h，V球=∴h=

．

=

，

故选：B．

二、填空题

13．【答案】 [

，1] ．

【解析】解：设两个向量的夹角为θ， 因为|2﹣|=1，|﹣2|=1，

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所以所以所以5

[

所以故答案为：[围．

14．【答案】

．

，

=

，

=1，所以，1]，

； ，1]．

，

2

，所以5a﹣1∈[]，

【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范

【解析】解：由题意图形折叠为三棱锥，底面为△EFC，高为AC， 所以三棱柱的体积：××1×1×2=， 故答案为：．

【点评】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力．

15．【答案】120 【解析】

考

点：解三角形．

【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中根据

sinA:sinB:sinC16．【答案】 菱形 ；

3:5，根据正弦定理，可设:7a3,b5,7，即可利用余弦定理求解最大角的余弦，

熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键．

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矩形 ．

【解析】解：如图所示：①∵EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC ∴四边形EFGH是平行四边形 又∵AC=BD ∴EF=FG

∴四边形EFGH是菱形．

②由①知四边形EFGH是平行四边形 又∵AC⊥BD， ∴EF⊥FG

∴四边形EFGH是矩形． 故答案为：菱形，矩形

【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，主要涉及了线段的中点，中位线定理，构成平面图形，研究平面图形的形状，是常考类型，属基础题．

17．【答案】 （ 1，±2） ．

2

【解析】解：设点P坐标为（a，a）

依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2 a2+2=

，求得a=±2

）

∴点P的坐标为（ 1，±2故答案为：（ 1，±2

）．

【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题．

5318．【答案】,

44【解析】

第 12 页，共 17 页

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2试题分析：fx3xm，因为g10，所以要使hxminfx,gxx0恰有三个零点，须满足

f10,f(5m153m)0,m0，解得m,m 343244考点：函数零点

【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.

三、解答题

19．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）∵∴

当a=2时，则

， （x＞0），

在（0，+∞）上恒成立，

当1＜a＜2时，若x∈（a﹣1，1），则f′（x）＜0，若x∈（0，a﹣1）或x∈（1，+∞），则f′（x）＞0， 当a＞2时，若x∈（1，a﹣1），则f′（x）＜0，若x∈（0，1）或x∈（a﹣1，+∞），则f′（x）＞0， 综上所述：当1＜a＜2时，函数f（x）在区间（a﹣1，1）上单调递减， 在区间（0，a﹣1）和（1，+∞）上单调递增； 当a=2时，函数（0，+∞）在（0，+∞）上单调递增；

当a＞2时，函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（0，1）和（a﹣1，+∞）上单调递增． （Ⅱ）若a=2，则

，由（Ⅰ）知函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，

（1）因为a1=10，所以a2=f（a1）=f（10）=30+ln10，可知a2＞a1＞0， 假设0＜ak＜ak+1（k≥1），因为函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增， ∴f（ak+1）＞f（ak），即得ak+2＞ak+1＞0，

由数学归纳法原理知，an+1＞an对于一切正整数n都成立， ∴数列{an}为递增数列．

（2）由（1）知：当且仅当0＜a1＜a2，数列{an}为递增数列， ∴f（a1）＞a1，即设

∴函数g（x）在区间由于

（x≥1），则

上递增，

，g（6）=ln6＞0，又a1为正整数，

（a1为正整数），

，

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∴首项a1的最小值为6．

【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，同时考查函数的零点存在定理和数学归纳法的运用，考查运算能力，属于中档题．

选做题：本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题计分．【选修4-2：矩阵与变换】 20．【答案】

【解析】（1）连接FH，由题意，知CDBC，CDCF，∴CD平面BCFG． 又∵GH平面BCFG，∴CDGH． 又∵EFCD，∴EFGH……………………………2分

13152222a， 由题意，得BHa，CHa，BGa，∴GHBGBH442165252FG2(CFBG)2BC2a2，FH2CF2CH2a，

416222则FHFGGH，∴GHFG．……………………………4分

又∵EFFGF，GH平面EFG．……………………………5分

∵GH平面AGH，∴平面AGH平面EFG．……………………………6分

21．【答案】

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【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，

∴

∴b=

；

∴椭圆C的方程为

（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立2222

，消元可得（1+2k）x﹣4kx+2k﹣4=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=∴|MN|=

∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为∴∴k=±1．

，

=

，

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|．

22．【答案】

【解析】证明：（1）由等腰梯形ABCD中，

∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中点，∴NE⊥DE， 又NE⊥DD1，且DD1∩DE=D， ∴NE⊥平面D1DE， 又NE⊂平面MNE， ∴平面MNE⊥平面D1DE．… （2）等腰梯形ABCD中，

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∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中点，∴AB∥DE，∴AB∥平面D1DE， 又DD1∥BB1，则BB1∥平面D1DE，

又AB∩BB1=B，∴平面ABB1A1∥平面D1DE， 又MN⊂平面ABB1A1，∴MN∥平面D1DE．…

23．【答案】（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）当E为PB的中点时，CE//平面PAD． （1分） 连结EF、EC，那么EF//AB，EF∵DC//AB，DC1AB． 21AB，∴EF//DC，EFDC，∴EC//FD． （3分） 2又∵CE平面PAD， FD平面PAD，∴CE//平面PAD． （5分）

（Ⅱ）设O为AD的中点，连结OP、OB，∵PAPD，∴OPAD， 在直角三角形ABD中，OB1ADOA, 又∵PAPB，∴PAOPBO，∴POAPOB,∴2OPOB，

∴OP平面ABD． （10分）

POPA2AO2(6)2(2)22，BDAD2AB22

1112∴三棱锥PBDF的体积VPBDFVPABD22． （13分）

2233PF

EDCOA

B

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24．【答案】

【解析】：Ⅰ当日需求量n10时,利润为y5010(n10)3030n200； 当需求量n10时，利润y50n(10n)1060n100. 所以利润y与日需求量n的函数关系式为：y30n200,n10,nN

60n100,n10,nNⅡ50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元.

4401150015530105605477. 25011151018② 若利润在区间[400,550]内的概率为P

5025 ①

3809第 17 页，共 17 页