一类MIMO系统的反演滑模控制方法研究与仿真

摘 要：针对一类具有参数不确定性及外部干扰的MIMO（多输入多输出）系统，提出了一种反演滑模控制方法进行位置跟踪控制。该控制律基于Lyaponov定理设计，保证了系统的全局渐进稳定性，最后将此方法应用于一个2输入2输出的控制系统的设计中,仿真实例验证了该控制算法的有效性。

关键词：MIMO系统，反演滑模控制，Lyaponov定理

Study and Simulation of Backstepping Sliding Mode

Control for MIMO system

Abstract: In order to deal with the parameter uncertainties and external disturbances of MIMO system, a backstepping sliding mode control strategy is proposed. And based on Lyapunov methods, the control law can guarantee that the system is asymptotically stable. Finally, the proposed method is used for a two-in and two-out system. And numerical simulations are investigated to verify the effectiveness of the proposed scheme.

Key words: MIMO system, backstepping sliding mode control, Lyaponov methods

1. 引言

反演法又称反推法、反步法，其基本思想是将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统,然后为每一个子系统设计李雅普洛夫函数和中间虚拟控制量,一直回推到整个系统,直到完成整个控制律的设计，最终实现位置跟踪。而滑模变结构控制对系统中存在的不确定性具有极强的鲁棒性，由于滑动模态可以进行设计且与对象参数及扰动无关, 这就使得变结构控制具有快速响应、对参数变化及扰动不灵敏、无需系统在线辩识, 物理实现简单等优点。

本文通过结合滑模变结构控制和反演控制各自的优点,设计了一种针对MIMO系统的反演滑模控制[1-6]方法。该方法将被控对象由SISO（单输入单输出）推广到MIMO系统，一方面利用了反演控制动静态特性优良、稳定性好的特点,另一方面结合了滑模变结构控制结构简单、鲁棒性强的优势。在文中，首先运用了反演控制理论，逐步推导出其相应的控制策略,以提升系统动、静态控制精度。再引入滑模变结构控制增强控制器应对系统参数变化的能力。

2. 一类MIMO系统模型描述

假设一类MIMO系统的状态方程为

X1X2 （1） X2AX2Bu其输出方程为

YX1 （2）

TT其中X1[x1,x2,....xn]，X2[xn1,xn2,....x2n]，A为nn的矩阵，B为nn的T矩阵，u为n维控制输入，Y[y1,y2,....yn]为n维系统输出。

考虑到系统的不确定性和外部扰动，将（1）式写成

X2(AA)X2(BB)uf(t)=AX2Bu+AX2Buf(t) （3）

=AX2Bu+F其中A，B为系统参数不确定性，f(t)为外加干扰，F=AX2Buf(t)为

系统的总的不确定性，且满足FFmax。

3. 自适应反演滑模控制器设计

假设位置指令为Yd，且Yd具有二阶导数，控制器设计步骤如下 第一步：

定义跟踪误差为

e1YYd （4）

求导得

e1YYdX2Yd （5）

定义虚拟控制量

α11e1Yd （6）

其中1为非零正常数。 定义

e2X2α1

定义Lyapunov函数

V112eT1e1 求导得

V12eTe11112eT1eT1eT1e1e1(X2Yd)eT1(e2α1Yd)eT1(e21e1YdYd) eTneeT1111e21e21ieT1e2i1如果e20，则

nV211 e1i0i1 所以需要继续设计，下一步则要寻找控制律u，保证滑模面等于0 或趋近于原点。第二步：

e2X2α1AX2BuFα1 定义切换函数

Sk1e1e2 其中k为非零正常数。 定义Lyapunov函数

VV1212STS 求导得

VTn22V1SS1e1ieT1e2ST(k1e1e2) i1

将（5）（7）（11）式代入（14）得

（7）

（8）

（9） 10）

11）

12）

13）

14）

（ （ （ （ （V21e1i2e1Te2ST[k1(e2α1Yd)AX2BuFα1]i1nn111e1i2e2Te2ST[e2k1(e2α1Yd)AX2BuFα1]k1k1i1设计控制律为

（15）

uB1[k1(e2α1Yd)AX2α1Fmaxsgn(S)将（16）式代入（15）式得

1e2] （16） k1V21e1i2i1n1Te2e2ST[FFmaxsgn(S)] （17） k1其中FmaxF，0 则

1n2V21e1ie2iST[FFmaxsgn(S)]k1i1i12n1n21e1ie2iSTFSTFmaxk1i1i12n1e1i2i1n2n1e2i2STk1i1n （18）

1n2n1e1ie2iisi0k1i1i1i1

4. 仿真分析

考虑二阶MIMO系统，其状态方程为

x1x3xx24x35x34x4u1f1x42x33x4u2f2系统输出为

Yy1其中A=y2=x1Tx2

T5410，，外部干扰f1=20sint，f2=20sin2t，设位置指令B=2301TTTYdyd1yd2=sin5t2sin8t。系统的初始状态为x00000，控制器参

数120，k110，不确定总量上界Fmax50。 仿真结果如图1—3所示。

2y Position tracking10-1-2 0y Position trackingyd1y1 420-2-4 0yd2y2 1123time(s)452123time(s)450.200.50e1-0.2-0.4-0.6e2-0.50123time(s)45-10123time(s)45

图1 位置跟踪曲线和跟踪误差曲线

105s10-500.511.522.5time(s)33.544.551510s250-500.511.522.5time(s)33.544.55

图2 滑模切换面曲线

200100u10-100-20000.511.522.5time(s)33.544.55600400u22000-20000.511.522.5time(s)33.544.55图3 控制输入u1、u2曲线

图1为位置跟踪曲线和跟踪误差曲线，从图中可以看出在有外部干扰的情况下系统输出能够很好的追踪上位置指令，两者之间的跟踪误差随时间变化很快收敛于0，说明该方法实现了很好的跟踪性能。滑模面的动态曲线如图2所示，可以看出滑模面逐渐收敛于0，表明系统在短时间内到达切换面并保持在滑模面上滑动。系统的控制输入u1、u2曲线如图3所示。

5. 结论

本文提出的反演滑模控制方法将反演控制和滑模控制有效地结合在一起，利用了反演控制动静态特性良好、稳定性好和滑模变结构控制结构简单、鲁棒性强的优势。本文的创新点在于将反演滑模控制应用于MIMO控制系统中，实现了对多个输入的轨迹跟踪。仿真结果表明了该方法的有效性。

参考文献

[1] 刘金琨. 滑模变结构控制MATLAB仿真[M]. 清华大学出版社: 北京. 2006.

[2] 李渊, 何凤有, 王峰. 永磁同步电动机反演滑模控制系统的研究[J]. 工矿自动化, 2009, 8:72-75.

[3] 王家军, 王建中, 马国进. 感应电动机系统的变结构反推控制研究[ J] . 中国电机工程学报, 2007, 27

（6 ) :35-38.

[4] 李俊，徐德民. 非匹配不确定非线性系统的自适应反演滑模控制[J]. 控制与决策, 1999, 14（1）:46-50. [5] 张天平，严彩梅，贺兴亚.一类MIMO非线性系统的自适应模糊滑模控制[J].扬州大学学报, 2001,4

（1）:22-25.

[6] 周国荣, 李永丰.永磁同步电机的自适应反演滑模变结构控制[J].控制工程, 2009,16(1):49-51.