圆锥曲线中焦直角梯形的若干性质

４２　数学教学研究　２００２年第５期　：　至！：：：：：：！：　１（ｎ＋１）（口　＋口　）　题目条件同时满足上述某一类中的两个井刊结论　时，该题目设计才有意义，否则，题目设计不合理而　下面两题的设计则是合理的：　１）一十有奇数项的等差数列，其奇数项之和为　１７１，偶数项之和为１５２，求其项数．　２）项数为奇数项的等差数列，奇数项之和为　Ｔ但口２＋口２．　口ｌ＋口　Ｌ，　ｎ’　，即若等差数列有奇数项，其偶数　项之和与奇数项之和的比是某相邻两自然数之比．　而上侧中，　＝２丽７６不能玎分成两个相邻自然　４４，偶数项之和为３３，求项数　及其中问一项　通过对这道错题的分析，我们可得到如下启示：　对于某些同时满足几十条件或结论的命题，在利用　它们设计新的问题时一定耍考虑其有意义的所有条　件或结论，特别是对并列的条件或结论，不能仅仅利　用单十的条件或结论就从某一方面来设计题目，否　则，会因考虑不周全，而使设计的题目不够严密或出　现错误．　数之比，因此原题目设计不合理．　一般地，对于等差数列｛　，若有２ｎ＋１项，则　ｓ々一５＿＝。ｎ＋－且　；若有２ｎ项，则ｓ＿一５　一，且　＝　等…　圆锥曲线中焦直角梯形的若干性质　罗永高　（浙江省奉化市奉港中学３￣５５ｏｏ）　因而Ａ、Ｐ、ｃ三点共线　同理可证Ｂ、Ｐ、Ｄ三　圆锥曲线中与对称轴不垂直的焦点弦两端点为　＾、Ｂ（当曲线是双曲线时，Ａ、Ｂ在职曲线的同一支　上）、其在对应的准线上的射影分别是Ｄ、Ｃ，四点＾、　点共线　性质２　焦直角梯　形ＡＢＣＤ中，若＾Ｂ的倾　茸、Ｃ、Ｄ所围成的四边形称之为圆锥曲线的焦直角梯　形．简称为焦直角梯形．如图ｌ，焦直角梯形ＡＢＣＤ　中、显然有ｌ　ＡＦｌ＝Ｐｌ　ＡＤ｝，ｌ　ＢＦｌ＝　ｌ　ｃｌ，其中　ｅ为离心宰．　性质１　焦直角梯　形ＡＢＣＤ中，　为焦点，　ＥＦ　ＣＤ于Ｅ、Ｐ为ＥＦ　、斜角为　，厂Ｉ可ＡＦＩ＝＾≠　（　＇则…ｓａ＝＾＿｛｛　夸ｌ　ＡＤｌ：小、ｌ　ｃＩ＝　，则ｌ　．图２　证明　若　为锐角、刚ａ＝　ＬＡ，作ＢＨ　ＡＤ于　ｌ　．ｊ　ＢＦｌ＝　的中点．则Ａ、Ｐ、ｃ、Ｂ、Ｐ、　Ｄ三　共线　　ＢＦｌ１　．且　：＾．　证明　连结ＡＣ交　（　图ｌ　在　ＢＨ中，…　…ｓＡ＝　，于Ｐ　（妞图１），设　Ｉ＾Ｄｌ＝Ｉｔ１．Ｉ　ＢＣ【＝　．　则ｌ　ＡＦｌ　。。，Ｉ　ＢＦＩ　ＥＦｆ　ＣＢ。　｝Ｃ　ｌ　　ＢＦｌｌ　ｎ　＿÷　＝『　　（＾　ｉ’，　即…ｓａ＝＾一　同理可证　为钝角时也成立　ＡＤ　Ｉ　ＥＰ。ｌ　—　一　而丽　丽｛ＡＦｌ　　性质３焦直角梯形ＡＢＣＤ中、ｌ　ＡＤ｝、ｌ　ＥＦ　ｌ　ＢＣｌ的例数成等差数列　证明　如图２，设ｌ　ＡＤｌ：ｍ，Ｉ　ＢＣｌ＿ｎ．　于　，　ｌ　Ｐ　Ｆｌ　ｘ。　’　，　王　：：　ｎ　Ｌ　Ｊｎ十　：Ｊ　　ＥＦｌ＝ｐ，ＢＨ变　１ＥＦ／￣．ＡＤ，．　而ＧＦＩ＝　ＥＰ。ｌ＝ｌ　Ｐ　ｌ，郎１。’与Ｐ重合　维普资讯 http://www.cqvip.com

２００２年第５期　数学教学研究　一　４３　即　二旦：—　一　，ｎ＋ｎ　ＡＢ的中点，ＡＢ的中垂线ＭＰ交ＥＦ延长线于Ｐ．则ｅ　ＡＢｌ＝２　ｌ，Ｐｌ　解得ｐ：　ｍ…，即　＋　：三　　Ｊ，【　ｐ　ｌＩ　性质４焦直角梯形ＡＢＣＤ中，　是ＣＤ中点，ＡＮ　量ｌ蓥　＝　证明　如图　４，作ＢＨ上ＡＤ于　，设ｌ　ＡＤｌ＝爪．｝ＣＢｌ＝ｎ．　交ＤＦ于Ｐ，ＢＮ交ＣＦ于口，则四边形ＮＱＦＰ是平行四　边形，且Ｐ口　ｌｅｏ　则Ｉ　ＡＦｌ　ｎｅ．１　Ａ　ｌ　１　ＢＦｌ：　．　ｌ一　证明　３）　△ＡＦＤ　延长ＤＦ交　、　△ＢＦＨ　８　ｌ；　１Ⅳ，ｌ＝ｌ　Ｍ　｝ＢＦｌ＿　一　ｃ　延长线于　（如图　图４　ｆ　ＡＢＨ一　ＰＦＭ　丽即　　丽　，　￡Ｉ　ＡＢＩ＝２Ｉ　ＦＰＩ．　图３　．推论　证明　抛物线的焦直角梯形ＡＢＣＤ中，中位线　如图５，作ＭＰ上ＡＢ交　轴于　由性质　１∞ｌ＝ｌ　｝　ＭⅣ交抛物线于Ｒ，别Ｉ　ＡＢ　ｌ＿４　Ｉ　ＲＦＩ．　为ＣＤ的中点，　ＢＮ∥ＤＨ．且｝ｃｑｌ＝ｌ　ｑＦｌ　同理可证　Ｃ，∥ＮＡ，且ｌ　ＤＰｌ＿ｌ　ＰＦＩ　５可知Ｉ　ＦＰＩ＝÷Ｉ　ＡＢＩ　叉一故四边形ⅣＱ，Ｐ是平行四边形．且Ｐ口　÷ｃＤ　‘　ｌ　＿ｖｌ＿　ＦＰ．　（１＾Ｄｌ＋ｌ　ＢＣ１）：　ＡＢｌ，　Ｍ　推论　抛物线的焦直角梯形ＡＢＣＤ中，Ⅳ是ＣＤ　故四边形ＮＦＰＭ是　平行四边形　的中点，ＡＮ交ＤＦ于Ｐ，ＢＮ交ＣＦ于口　则四边形　ＮＱＦＰ是矩形　证明　如图３，　ｐ，Ｐ为平行四边形．　１＝　２　则有ＮＦ∥ＭＰ，即　ＮＦ　Ｌ　ＡＢ　Ｉ　ＡＤＩ＝Ｉ　ＡＦＩ．．　在Ｒ１△ＮＦＭ中　’‘叉　ＡＤ∥　，，．　１＝　３　故　２＝　３　同理　４＝￡５　因而　３＋　４＝９０。，即ＮＱＦＰ是矩形　１　ｌ＝Ｉ　ＲＦ　１．　图５　ＲＭＩ＝Ｉ　ＲＦＩ．　１＿　ＲⅣＦ＝　ＲＦＮ．　故　Ｒ．　，＝　ＲＦＭ．得　ｌ埘Ｎ｝＝２　１　，　性质５　焦直角梯形ＡＢＣＤ中，　是　即Ｉ　ＡＢＩ：４Ｉ　ＲＦ　等比数列的一个性质　刘宗教　（甘肃省教县第一中学７４２３００）　容易得到　推论　若　。　Ｉ是等比数列，且有　６　＝　６　＝　性质　若等比数列｛。　Ｉ和　ｕ　的公比相同，　且有　＋　＝　＂＋ｎ，那，厶８，６，＝　６　ｋｌ！Ｉｔ￣　设　｝、ｂ　的首项分别为ｎ。、６　，公比　６。，则有　为ｑ，则　口　－６，＝　ｌ　ｑ　‘・６ｌ　ｑ　’　口　・６　＝。ｌｑ　一‘－６ｌ　｝＝昔＝昔　…＝昔　６。　６２　６３　６　’　目ｐ　口ｌ：口２：ｎ３：　：Ⅱ　＝６１：６２：６３：一　：６　０　ｓ＋ｌ　＋ｎ，故８．６　例　在△ＡＢＣ中，＾　、＾。、＾　分别表示三边ｎ、６、