2020年安徽省芜湖市繁昌县中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）2020的倒数是（ ） A．
B．﹣
C．2020
D．﹣2020
2．（4分）计算（a3）2的结果是（ ） A．a5 B．a6 C．a8 D．a9
3．（4分）据2020年安徽省政府工作报告知：全省生产总值24117.9亿元，增长8.7%，其中24117.9亿元用科学记数法表示为（ ） A．2.41179×1011 B．2.41179×1012
C．2.41179×1013
D．2.41179×1014
4．（4分）如图，桌面上一个一次性纸杯，它的左视图应是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）方程3（x﹣3）2=2（x﹣3）的根是（ ） A．x=3 B．x=
C．x1=3，x2= D．x1=3，x2=
6．（4分）据官网统计，2014年我国微信平均“日登录用户”5亿，2016年达到5.7亿，如果设年平均增长率为x，那么x应满足的方程为（ ） A．5（x+1）=5.7
B．5.7（x﹣1）=5 C．5（x+1）2=5.7 D．5+5x=5.7
7．（4分）“五四”青年节期间，某团委举办了“我的中国梦”演讲知识竞赛，并将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些参加演讲的同学的中位数和平均数分别是（
）
A．94分，96分 B．96分，96分 C．94分，96.4分 D．96分，96.4分
8．（4分）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则AC的长是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
9．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P从起点B出发，按B→C→D的方向向左边BC和CD上匀速运动，设点P所走过的路程为x，则线段AP、AD与矩形的边所围成的封闭图形的面积为y，则下列图象中能大致反映y与x函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y=﹣n2+14n﹣24，则企业停产的月份为（ ） A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（5分）不等式2x﹣5＜7﹣x的解集是 ． 12．（5分）因式分解：3x2﹣27= ．
13．（5分）三角板是同学们熟悉的作图工具之一，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°．现将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边上时即停止．若BC=3，则点B转过的路径长为 ．
14．（5分）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=6，CD=8，E，F分别是边AB、CD的中点，DH⊥BC于H，现有下列结论； ①∠CDH=30°； ②EF=4；
③四边形EFCH是菱形； ④S△EFC=3S△BEC．
你认为结论正确的有 ．（填写正确的序号）
三、解答题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 15．（8分）计算：（）﹣2+（2020﹣16．（8分）解分式方程：
四、解答题（本题共2小题，每小题8分，共16分）
）0﹣．
tan30°．
17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×10的长方形网格中有一四边形，请你解决下列问题： （1）作出四边形关于直线AB的轴对称图形；
（2）将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转90°．
18．（8分）观察下列等式：
①2×=2+，②3×=3+，③4×=4+，… （1）猜想并写出第n个等式； （2）证明你写出的等式的正确性．
五、解答题（本题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）上完《解直角三角形》这章后，一次数学课外活动时，数学兴趣小组的张进、阿芬和晓晨等人在校园里测量如图所示的教学楼的高度AB． 张进：我站在D处测得教学楼顶端A的仰角为30°． 阿芬：我站在E处测得教学楼顶端A的仰角为60°．
晓晨：我发现你两所站的位置与教学楼AB正好在一条直线上．并测得你们的测角仪CD、EF都是1.5m，且你们相距40m．
请你根据这三位同学对话，计算教学楼AB的高度．
20．（10分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数
的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）求△AOC的面积．
六、解答题（本题共1小题，共12分）
21．（12分）为了对中小学进行传统文化教育，上级主管部门开展了“送戏下乡”活动，某九年一贯制学校为了了解本校1600名学生对“送戏下乡”的关注程度，以便做好引导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按年级人数和关注程度，分别绘制了条形统计图（图1）和扇形统计图（图
2）．
（1）如果把“特别关注”、“一般关注”、“偶尔关注”都统计成关注，那么全校关注本次“送戏下乡”的学生大约有多少名？
（2）在这次调查中，四年级共有甲、乙、丙、丁四人“特别关注”本次“送戏下乡”，
现准备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
七、解答题（本题共1小题，共12分）
22．（12分）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左侧），顶点为P，连接PA，PB，那么称△PAB为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的表达式（写出一个即可）；
（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等边三角形，求b的值； （3）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）不存在“抛物线三角形”，则a、b、c之间应满足怎样的关系式？请直接写出．
八、解答题（本题共1小题，共14分）
23．（14分）如图1，点D为射线BC上一动点且四边形ADEF是正方形，请阅读下
列
内
容
，
并
解
答
下
列
问
题
：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在在线段BC上运动，试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
2020年安徽省芜湖市繁昌县中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）（2020•湘潭）2020的倒数是（ ） A．
B．﹣
C．2020
D．﹣2020
【分析】依据倒数的定义求解即可． 【解答】解：2020的倒数是故选：A．
【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2．（4分）（2011•庆阳）计算（a3）2的结果是（ ） A．a5 B．a6 C．a8 D．a9
【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可求． 【解答】解：（a3）2=a6， 故选B．
【点评】本题考查了幂的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方公式．
3．（4分）（2020•繁昌县模拟）据2020年安徽省政府工作报告知：全省生产总值24117.9亿元，增长8.7%，其中24117.9亿元用科学记数法表示为（ ） A．2.41179×1011 B．2.41179×1012
C．2.41179×1013
D．2.41179×1014
．
【分析】根据科学记数法的方法可以用科学记数法表示题目中的数据． 【解答】解：24117.9亿=2411790000000=2.41179×1012， 故选B．
【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的方法．
4．（4分）（2020•繁昌县模拟）如图，桌面上一个一次性纸杯，它的左视图应是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看是一个下底在上的梯形， 故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5．（4分）（2020•繁昌县模拟）方程3（x﹣3）2=2（x﹣3）的根是（ ） A．x=3 B．x=
C．x1=3，x2= D．x1=3，x2=
【分析】移项后，提取公因式x﹣3，利用因式分解法求解可得． 【解答】解：∵3（x﹣3）2﹣2（x﹣3）=0，
∴（x﹣3）（3x﹣9﹣2）=0，即（x﹣3）（3x﹣11）=0， 则x﹣3=0或3x﹣11=0， 解得：x=3或x=故选：D
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6．（4分）（2020•繁昌县模拟）据官网统计，2014年我国微信平均“日登录用户”5亿，2016年达到5.7亿，如果设年平均增长率为x，那么x应满足的方程为（ ） A．5（x+1）=5.7
B．5.7（x﹣1）=5 C．5（x+1）2=5.7 D．5+5x=5.7 ，
【分析】设年平均增长率为x，根据题意可得，2014年我国微信平均“日登录用
户”数量×（1+平均增长率）2=2020年我国微信平均“日登录用户”数量，据此列方程．
【解答】解：设年平均增长率为x，依题意有 5（x+1）2=5.7． 故选C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
7．（4分）（2020•繁昌县模拟）“五四”青年节期间，某团委举办了“我的中国梦”演讲知识竞赛，并将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些参加演讲的同学的中位数和平均数分别是（ ）
A．94分，96分 B．96分，96分 C．94分，96.4分 D．96分，96.4分
【分析】首先利用扇形图以及条形图求出总人数，进而求得每个小组的人数，然后根据中位数的定义求出这些职工成绩的中位数，利用加权平均数公式求出这些职工成绩的平均数．
【解答】解：总人数为6÷10%=60（人）， 则94分的有60×20%=12（人）， 98分的有60﹣6﹣12﹣15﹣9=18（人），
第30与31个数据都是96分，这些职工成绩的中位数是（96+96）÷2=96； 这些职工成绩的平均数是（92×6+94×12+96×15+98×18+100×9）÷60 =（552+1128+1440+1764+900）÷60 =5784÷60 =96.4．
故选：D．
【点评】本题考查了统计图及中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．解题的关键是从统计图中获取正确的信息并求出各个小组的人数．同时考查了平均数的计算．
8．（4分）（2020•繁昌县模拟）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则AC的长是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【分析】延长线段BN交AC于E，易证△ABN≌△AEN，可得N为BE的中点；由已知M是BC的中点，可得MN是△BCE的中位线，由中位线定理可得CE的长，根据AC=AE+CE可得AC的长． 【解答】解：延长线段BN交AC于E． ∵AN平分∠BAC， ∴∠BAN=∠EAN， 在△ABN与△AEN中， ∵
，
∴△ABN≌△AEN（ASA）， ∴AE=AB=10，BN=NE，
又∵M是△ABC的边BC的中点， ∴CE=2MN=2×3=6， ∴AC=AE+CE=10+6=16． 故选C．
【点评】本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定及性质．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题．
9．（4分）（2020•繁昌县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P从起点B出发，按B→C→D的方向向左边BC和CD上匀速运动，设点P所走过的路程为x，则线段AP、AD与矩形的边所围成的封闭图形的面积为y，则下列图象中能大致反映y与x函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题需分两段讨论，即点P在BC段和CD段，按照面积公式分别列出面积y与x的函数关系．
【解答】解：①当点P由B运动到C时，
即0≤x≤3时，所围成的面积为梯形，y=（3﹣x+3）×4=12﹣2x； ②当点P由C运动到D时，
即3＜x≤7时，所围成的面积为三角形，y=×3×（7﹣x）=﹣x+∴y关于x的函数关系y=
所以，函数关系式对应A中的函数图象． 故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，三角形面积的计算，但需注意自变量的取值范围．
，
10．（4分）（2020•繁昌县模拟）某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y=﹣n2+14n﹣24，则企业停产的月份为（ ） A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
【分析】知道利润y和月份n之间函数关系式，求利润y大于0时x的取值． 【解答】解：由题意知，
利润y和月份n之间函数关系式为y=﹣n2+14n﹣24， ∴y=﹣（n﹣2）（n﹣12）， 当n=1时，y＜0， 当n=2时，y=0， 当n=12时，y=0，
故停产的月份是1月、2月、12月． 故选D．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，判断二次函数y＞0、y=0、y＜0，要把二次函数写成交点式，看看图象与x轴的交点，结合开口分析，进行判断．
二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）（2020•繁昌县模拟）不等式2x﹣5＜7﹣x的解集是 x＜4 ． 【分析】先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可． 【解答】解：移项得，2x+x＜7+5， 合并同类项得，3x＜12， 把x的系数化为1得，x＜4． 故答案为：x＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
12．（5分）（2020•扬州）因式分解：3x2﹣27= 3（x+3）（x﹣3） ．
【分析】先提取公因式3，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．注意分解要彻底．
【解答】解：原式=3（x2﹣9）=3（x+3）（x﹣3）， 故答案为3（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
13．（5分）（2020•繁昌县模拟）三角板是同学们熟悉的作图工具之一，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°．现将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边上时即停止．若BC=3，则点B转过的路径长为 π ．
【分析】根据题意求得旋转角的度数，然后结合弧长公式进行解答即可． 【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴∠A=60°，
结合旋转的性质得到CA=CA′， ∴∠A=∠AA′C=60°， ∴∠ACA′=30°， 即∠BCB′=60°，
∴点B转过的路径长为：故答案为：π．
【点评】本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了弧长的计算．
14．（5分）（2020•繁昌县模拟）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=6，CD=8，E，F分别是边AB、CD的中点，DH⊥BC于H，现有下
=π．
列结论； ①∠CDH=30°； ②EF=4；
③四边形EFCH是菱形； ④S△EFC=3S△BEC．
你认为结论正确的有 ①②③ ．（填写正确的序号）
【分析】①证出四边形ABHD是矩形，得出BH=AD=2，AB=DH，求出CH=BC﹣BH=4，得出CH=CD，得出∠CDH=30°，①正确；
②由梯形中位线定理得出EF∥BC，EF=（AD+BC）=4，②正确；
③证出四边形EFCH是平行四边形，再由EF=CF=4，得出四边形EFCH是菱形；④正确；求出S△EFC=2S△BEH．④错误；即可得出结论． 【解答】解：①∵AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC， ∴四边形ABHD是矩形， ∴BH=AD=2，AB=DH， ∴CH=BC﹣BH=6﹣2=4， ∵CD=8， ∴CH=CD，
∴∠CDH=30°；①正确；
②∵E，F分别是边AB、CD的中点，
∴CF=CD=4，EF∥BC，EF=（AD+BC）=4，②正确；
③∵EF∥BC，EF=CH=4，
∴四边形EFCH是平行四边形， 又∵EF=CF=4，
∴四边形EFCH是菱形；③正确；
④∵EF=4，BH=2， ∴S△EFC=2S△BEH．④错误； 故选：①②③．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、含30°角的直角三角形的判定、梯形中位线定理、平行四边形的判定以及三角形面积的计算；本题综合性强，有一定难度．
三、解答题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 15．（8分）（2020•繁昌县模拟）计算：（）﹣2+（2020﹣
）0﹣
tan30°．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=25+1﹣1=25．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（8分）（2020•繁昌县模拟）解分式方程：
．
【分析】观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘（x+1）（x﹣1），得 2（x﹣1）=x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1）， 2x﹣2=x2+x﹣x2+1， 2x﹣x=1+2， 解得x=3．
检验：把x=3代入（x+1）（x﹣1）=8≠0． ∴原方程的解为：x=3．
【点评】本题考查了解分式方程．注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
四、解答题（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）（2020•繁昌县模拟）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×10的长方形网格中有一四边形，请你解决下列问题： （1）作出四边形关于直线AB的轴对称图形；
（2）将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转90°．
【分析】（1）分别作出各点关于直线AB的对称点，再顺次连接即可； （2）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可． 【解答】解：（1）如图，四边形ODEF即为所求；
（2）如图所示，图中的图形即为旋转后的图形．
【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．
18．（8分）（2020•繁昌县模拟）观察下列等式： ①2×=2+，②3×=3+，③4×=4+，… （1）猜想并写出第n个等式； （2）证明你写出的等式的正确性．
【分析】（1）根据等式中数字的变化，找出猜想；
（2）利用完全平方公式以及通分，可将等式左右两边变形为可得出等式成立，即猜想成立．
【解答】解：（1）∵2=1+1，3=2+1，4=3+1，…， ∴猜想第n个等式为：（n+1）×
，由此即
=n+1+．
（2）证明：左边=（n+1）×右边=n+1+
=
=
=，
=，
∵左边=右边， ∴（n+1）×
=n+1+
，即猜想成立．
【点评】本题考查了规律型中数字的变化类以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据等式的变化找出变化规律；（2）利用完全平方公式以及通分将等式
左右两边变形为
．
五、解答题（本题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）（2020•繁昌县模拟）上完《解直角三角形》这章后，一次数学课外活动时，数学兴趣小组的张进、阿芬和晓晨等人在校园里测量如图所示的教学楼的高度AB．
张进：我站在D处测得教学楼顶端A的仰角为30°． 阿芬：我站在E处测得教学楼顶端A的仰角为60°．
晓晨：我发现你两所站的位置与教学楼AB正好在一条直线上．并测得你们的测角仪CD、EF都是1.5m，且你们相距40m．
请你根据这三位同学对话，计算教学楼AB的高度．
【分析】在Rt△AFG中，根据锐角三角函数的定义得出FG=理可得出CG=论．
【解答】解：在Rt△AFG中， ∵tan∠AFG=∴FG=
， =
．
，
=
=，同
AG，再由CG﹣FG=40求出AG的长，进而可得出结
在Rt△ACG中，tan∠ACG=∴CG=
=
AG， AG﹣
又∵CG﹣FG=40，即∴AG=20
，
=40，
∴AB=20+1.5（米）．
+1.5）米．
答：这幢教学楼的高度AB为（20
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
20．（10分）（2020•繁昌县模拟）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数
的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）求△AOC的面积．
【分析】（1）根据m=xy=1×4=n×（﹣2），求m、n的值，再根据“两点法”求一次函数解析式；
（2）根据一次函数解析式求C点坐标，确定△AOC的底边OC，则A点的横坐标的绝对值为高，由此求出△AOC的面积．
【解答】解：（1）由反比例函数解析式可知，m=xy=1×4=n×（﹣2），解得m=4，n=﹣2，
将A（﹣2，﹣2），B（1，4）代入y=kx+b中，得
∴反比例函数解析式为y=，一次函数解析式为y=2x+2；
，解得，
（2）由直线y=2x+2，得C（0，2）， ∴S△AOC=×2×2=2．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数
中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理
解k的几何意义．
六、解答题（本题共1小题，共12分）
21．（12分）（2020•繁昌县模拟）为了对中小学进行传统文化教育，上级主管部门开展了“送戏下乡”活动，某九年一贯制学校为了了解本校1600名学生对“送戏下乡”的关注程度，以便做好引导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按年级人数和关注程度，分别绘制了条形统计图（图1）和扇形统计图（图
2）．
（1）如果把“特别关注”、“一般关注”、“偶尔关注”都统计成关注，那么全校关注本次“送戏下乡”的学生大约有多少名？
（2）在这次调查中，四年级共有甲、乙、丙、丁四人“特别关注”本次“送戏下乡”，现准备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【分析】（1）根据扇形统计图找出关注“送戏下乡”活动的百分比，乘以1600即可得到结果；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是甲与乙的情况，即可确定出所求概率．
【解答】解：（1）1600×（1﹣45%）=880（人）． ∴该校关注本次“送戏下乡”的学生大约有880人． （2）画树状图，如图所示：
由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好是甲和乙的有2种结果． ∴P（恰好是甲和乙）=
=．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图以及求随机事件的概率问题的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
七、解答题（本题共1小题，共12分）
22．（12分）（2020•繁昌县模拟）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左侧），顶点为P，连接PA，PB，那么称△PAB为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的表达式（写出一个即可）；
（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等边三角形，求b的值； （3）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）不存在“抛物线三角形”，则a、b、c之间应满足怎样的关系式？请直接写出．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质可知P点的纵坐标为AB的一半，据此可设出P、A、B的坐标，可写出抛物线的表达式；
（2）过点P作PH⊥AB于H，由等边三角形的性质可得到PH=示出P点坐标，则可得到关于b的方程，可求得b的值；
（3）由条件可知P、A、B三点不能构成三角形，则可知A、B重合或没有A、B两点，即抛物线与x轴有一个或没有交点，则可得到a、b、c的关系． 【解答】解：
AH，再用b表
（1）不妨设抛物线的对称轴为y轴，即设抛物线解析式为y=﹣x2+c（c＞0）， 则P（0，c），A（﹣
，0），B（
，0），
∵△PAB为等腰直角三角形， ∴OP=OA=OB，即c=
，解得c=1，
∴“抛物线三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的表达式可以为y=﹣x2+1；
（2）如图，过点P作PH⊥AB于H，
∵△PAB是等边三角形， ∴PH=
AH，
），
∵抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的顶点坐标为（，∴
=，解得b=2；
（3）当抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）不存在“抛物线三角形”，
则P、A、B三点不能构成三角形，即抛物线与x轴有一个或没有交点， ∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根或没有实数根， ∴b2﹣4ac≤0．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、一元二次方程与抛物线的关系等知识．在（1）（2）中利用抛物线线三角形的定义结合直角三角形得到P点纵坐标和AB的关系是解题的关键，在（3）中确定出抛物线满足的条件是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大，关系是理解抛物线三角形的定义．
八、解答题（本题共1小题，共14分）
23．（14分）（2020•繁昌县模拟）如图1，点D为射线BC上一动点且四边形ADEF
是正方形，请阅读下列内容，并解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD之间的位置关系为 CF⊥BD ，数量关系为 CF=BD ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在在线段BC上运动，试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
【分析】（1）①结论：CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等； 只要证明△BAD≌△CAF，即可解决问题．
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．证明方法类似；
（2）结论：当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图1）．过点A作AG⊥AC交BC于点G，理由（1）中的结论即可解决问题．
【解答】解：（1）①结论：CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等； 理由如下： 如图乙中，
∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵∠BAC=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF， 在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°， ∵∠ACB=45°， ∴∠FCB=90°， ∴CF⊥BD，CF=BD， 故答案为CF⊥BD，CF=BD；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立． 理由：如图丙中，
由正方形ADEF得 AD=AF，∠DAF=90°． ∵∠BAC=90°， ∴∠DAF=∠BAC， ∴∠DAB=∠FAC， 又AB=AC， ∴△DAB≌△FAC， ∴CF=BD，∠ACF=∠ABD． ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即 CF⊥BD；
（2）结论：当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图1）．
理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G， ∴AC=AG
由（1）可知：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45°， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°． 即CF⊥BD；
【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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