初三圆的知识点总结

1.垂径定理及推论: 几何表达式举例： 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理， ∵ CD过圆心 即“垂径定理”“中径定理”C “弧径定理”“中垂定理”. ∵CD⊥AB 平分优弧 ∴ AE=BE O过圆心 AC=BCE垂直于弦AB平分弦 AD=BD平分劣弧D 2.平行线夹弧定理： 圆的两条平行弦所夹的弧相等. A C 几何表达式举例： ∵ AB∥CD BOD∴ AC=BD3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中） B“等角对等弦”； “等弦对等角”； EA“等角对等弧”； “等弧对等角”； O“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； CF“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”. D 4．圆周角定理及推论: （1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半； （2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”； （4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图) （5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图) CCA DABOO BBC A（1） （2）（3） （4） 5．圆内接四边形性质定理: B圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角. A6．切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素，“知二可推一”； 需记忆其中四个定理. O（1）经过半径的外端并且垂直于这条 C半径的直线是圆的切线； A（2）圆的切线垂直于经过切点的半径； ※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 7．切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等；圆心和这一 P点的连线平分两条切线的夹角. AC几何表达式举例： (1) ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD ∴∠AOB=∠COD 几何表达式举例： 1∠AOB 2∴ …………… （2） ∵ AB是直径 ∴ ∠ACB=90° （3） ∵ ∠ACB=90° ∴ AB是直径 （4） ∵ CD=AD=BD ∴ ΔABC是RtΔ （1） ∵∠ACB=几何表达式举例： ∵ ABCD是圆内接四边形 ∴ ∠CDE =∠ABC ∠C+∠A =180° 几何表达式举例： （1） ∵OC是半径 ∵OC⊥AB ∴AB是切线 （2） ∵OC是半径 ∵AB是切线 ∴OC⊥AB （3） …………… 几何表达式举例： ∵ PA、PB是切线 ∴ PA=PB ∵PO过圆心 DEB是半径垂直是切线OB ∴∠APO =∠BPO 8．弦切角定理及其推论: （1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角； （2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； （3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图） AD CEFABDBC几何表达式举例： （1）∵BD是切线，BC是弦 ∴∠CBD =∠CAB （2） EF=AB∵∵ ED，BC是切线 ∴ ∠CBA =∠DEF 几何表达式举例： （1） ∵PA·PB=PC·PD ∴……… （2） ∵AB是直径 ∵PC⊥AB 2∴PC=PA·PB 9．相交弦定理及其推论: （1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等； （2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项. DC A PBAOPBC 10．切割线定理及其推论: （1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； （2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. BB A ADP CPC几何表达式举例： （1） ∵PC是切线， PB是割线 2∴PC=PA·PB （2） ∵PB、PD是割线 ∴PA·PB=PC·PD 11．关于两圆的性质定理: （1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦； （2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上. A AO1O2 O1O2B（1） （2） 12．正多边形的有关计算: （1）中心角n ，半径RN ， 边心距rn ， D 边长an ，内角n ， 边数n； （2）有关计算在RtΔAOC中进行. 2．关于圆的常见辅助线：

OCO几何表达式举例： （1） ∵O1，O2是圆心 ∴O1O2垂直平分AB （2） ∵⊙1 、⊙2相切 ∴O1 、A、O2三点一线 公式举例： n RnAErnanCBn 360； n180(2) n 2n(1) n =COOABOACB 已知弦构造RtΔ. ABAB 已知弦构造弦心距. 已知直径构造直角. DAPOBAOPBC已知切线连半径，出垂直. ADOABCPOBCDP 圆外角转化为圆周角. 圆内角转化为圆周角. C 构造垂径定理. D构造相似形. MAO201MABNMMD02BAO102AO2C01DNO1CEE 两圆内切，构造外公切线与垂直. 两圆内切，构造外公切两圆外切，构造内公切线与平行. 线与垂直. N N 两圆外切，构造内公切线与平行. ACEDBOO1AC02AABPCOEODB 两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB. 两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线. B C PA、PB是切线，构造双垂图形和全等. 相交弦出相似. BAOAADEAECODBOPCBF 一切一割出相似, 并且构造弦切角. PBPC两割出相似,并且构造圆周角. 双垂出相似,并且构造直角. C 规则图形折叠出一对全等，一对相似. DFECHADOEAAOABG BC OFDCOEB 圆的外切四边形对边和相等. 若AD ∥BC都是切BCD 线，连结OA、OB可证∠AOB=180°，即 A、O、B三点一线. 等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心 和切点,并构造相似形. AB RtΔABC的内切圆半径：r=abc. 2CAOC 补全半圆. o1o2o1o2B 2AB=O1O22(Rr). 2AB=O1O22 (Rr). ADCGACODBP PAOBMF 作AN⊥BC，可证出: BDNEC PC过圆心，PA是切线，构造 双垂、RtΔ.

O是圆心，等弧出平行和相似. GFAM. BCAN