一、选择题（每小题3分，共30分）
1．判断下列几组数据中，不可以作为三角形的三条边的是（ ） A．6，10，17
B．7，12，15
C．13，15，20
D．7，24，25
2．若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（ ） A．3
B．4
C．5
D．6
3．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（ ） A．2a+2b﹣2c
B．2a+2b
C．2c
D．0
4．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，点A、B、C、P均在格点上，则点P叫做△ABC的（ ）
A．内心 B．重心 C．外心 D．无法确定
6．如图所示，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∠ABC的平分线交AC于D，则图中共有等腰三角形（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，PE=2，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积=AC•BD，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．如图，AE∥DF，AE=DF．则添加下列条件还不能使△EAC≌△FDB．（ ）
A．AB=CD B．CE∥BF C．CE=BF D．∠E=∠F
10．如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）
A．甲＜乙＜丙
B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲=乙=丙
二、填空题（每小题2分，共12分）
11．如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，CB=10，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为 ．
12．已知三角形三边长分别为a+1，a+2，a+3，则a的取值范围是 ．
13．如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O、A、B在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有个 个．
14．如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是 ．
15．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，C的坐标为 ．
），则点
16．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是 ．
三、简答题（共72分）
17．（8分）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
18．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分EBAC． （1）若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度数． （2）若∠B﹣∠C=30°，则∠DAE= ．
（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）
19．（9分）如图，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等腰三角形．
20．（10分）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）证明：∠1=∠3．
21．（10分）在△ABC中，AB=BC，△ABC≌△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点，观察并猜想线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
23．（12分）如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，直角三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、CB相交于点C、D． （1）问PC与PD相等吗？试说明理由． （2）若OP=2，求四边形PCOD的面积．
24．（10分）如图，△ABC为等腰直角三角形，点D是边BC上一动点，以AD为直角边作等腰直角△ADE，分别过A、E点向BC边作垂线，垂足分别为F、G．连接BE． （ 1）证明：BG=FD； （ 2）求∠ABE的度数．
2019-2020学年湖北省八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．判断下列几组数据中，不可以作为三角形的三条边的是（ ） A．6，10，17
B．7，12，15
C．13，15，20
D．7，24，25
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【解答】解：根据三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得： A、6+10＜17，不可以作为三角形的三条边； B、7+12＞15，可以作为三角形的三条边； C、13+15＞20，可以作为三角形的三条边； D、7+24＞25，可以作为三角形的三条边． 故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，注意：组成三角形的简便判断方法是只需看两个较小数的和是否大于第三个数．
2．若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（ ） A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】由于任何一个多边形的外角和为360°，由题意知此多边形的内角和小于360°．又根据多边形的内角和定理可知任何一个多边形的内角和必定是180°的整数倍，则此多边形的内角和等于180°．由此可以得出这个多边形的边数． 【解答】解：设边数为n，根据题意得 （n﹣2）•180°＜360° 解之得n＜4．
∵n为正整数，且n≥3， ∴n=3． 故选：A．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解．
3．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0
【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．
【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长， ∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0， ∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b） =a+b﹣c+c﹣a﹣b=0． 故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
4．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，故此选项错误； 故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形定义．
5．已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，点A、B、C、P均在格点上，则点P叫做△ABC的（ ）
A．内心 B．重心 C．外心 D．无法确定
【分析】根据正方形网格图、三角形的重心的概念解答．
【解答】解：由正方形网格图可以看出，点E、F、D分别是AC、AB、BC的中点，
∴点P叫做△ABC的重心， 故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键．
6．如图所示，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∠ABC的平分线交AC于D，则图中共有等腰三角形（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】由已知条件，根据等腰三角形的定义及等角对等边先得出∠ABC的度数，由∠ABC的平分线交AC于D，得到其它角的度数，然后进行判断． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A=36°，∠C=72° ∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=72°=∠C ∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形 BD平分∠ABC交AC于D， ∴∠ABD=∠DBC=36°
∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形 ∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C ∴△BDC是等腰三角形 ∴共有3个等腰三角形 故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质及三角形内角和定理；求得各角的度数是正确解答本题的关键．
7．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，PE=2，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点
M是OP的中点，则DM的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据角平分线的性质得到PD=PE=2，根据直角三角形中，30°的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DM=DP，得到答案． 【解答】解：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE=2，
∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°， ∴∠POD=30°， ∵PD⊥OA， ∴PD=OP，
∵PD⊥OA，点M是OP的中点， ∴DM=OP， ∴DM=DP=2， 故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积=AC•BD，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．
【解答】解：在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS）， 故①正确； ∴∠ADB=∠CDB， 在△AOD与△COD中，
，
∴△AOD≌△COD（SAS）， ∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC， ∴AC⊥DB， 故②正确；
四边形ABCD的面积=故③正确； 故选：D．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明△ABD与△CBD全等和利用SAS证明△AOD与△COD全等．
9．如图，AE∥DF，AE=DF．则添加下列条件还不能使△EAC≌△FDB．（ ）
=AC•BD，
A．AB=CD B．CE∥BF C．CE=BF D．∠E=∠F
【分析】判定三角形全等的方法主要有SAS、ASA、AAS、SSS等，根据所添加的条件判段能否得出△EAC≌△FDB即可．
【解答】解：（A）当AB=CD时，AC=DB，根据SAS可以判定△EAC≌△FDB； （B）当CE∥BF时，∠ECA=∠FBD，根据AAS可以判定△EAC≌△FDB； （C）当CE=BF时，不能判定△EAC≌△FDB；
（D）当∠E=∠F时，根据ASA可以判定△EAC≌△FDB； 故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．解题时注意：判定两个三角形全等时，必须有边相等的条件，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）
A．甲＜乙＜丙 B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲=乙=丙
【分析】延长ED和BF交于C，如图2，延长AG和BK交于C，根据平行四边形的性质和判定求出即可．
【解答】解：图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度； 延长AD和BF交于C，如图2，
∵∠DEA=∠B=60°， ∴DE∥CF， 同理EF∥CD，
∴四边形CDEF是平行四边形， ∴EF=CD，DE=CF，
即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长； 延长AG和BK交于C，如图3，
与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK，
即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长； 即甲=乙=丙， 故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等．
二、填空题（每小题2分，共12分）
11．如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，CB=10，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为 16 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，所以△ACE的周长=BC+AC，解答出即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∵CB=10，AC=6，
∴△ACE的周长=BC+AC=10+6=16； 故答案为：16
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
12．已知三角形三边长分别为a+1，a+2，a+3，则a的取值范围是 a＞0 ．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，即只需保证较小的两边和大于第三边就可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得 a+1+a+2＞a+3， 解得a＞0． 故答案为：a＞0
【点评】考查了三角形的三边关系，能够熟练解不等式，是综合题型，但难度不大． 13．如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O、A、B在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有个 3
个．
【分析】求得AB的长，根据三角形的面积公式即可确定C所在直线，从而确定C的位置． 【解答】解：AB=3，设C到AB的距离是a，则×3a=3， 解得a=2，
则C在到AB的距离是2，且与AB平行是直线上，则在第四象限满足条件的格点有3个． 故答案是：3．
【点评】本题考查了了三角形的面积，确定C所在的直线是关键．
14．如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是 2 ．
【分析】如图，通过观察，寻找未知与已知之间的联系．AO=1，则OC=2．证明△AOP≌△COD求解．
【解答】解：∵∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP， ∴∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°， ∴∠CDO=∠AOP． ∴△ODC≌△POA． ∴AP=OC．
∴AP=OC=AC﹣AO=2． 故答案为：2．
【点评】解决本题的关键是利用全等把所求的线段转移到已知的线段上． 15．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，C的坐标为 （﹣，1） ．
），则点
【分析】如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E，先证明△COE≌△OAF，推出CE=OF，OE=AF，由此即可解决问题．
【解答】解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．
∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OC，∠AOC=90°，
∵∠COE+∠AOF=90°，∠AOF+∠OAF=90°， ∴∠COE=∠OAF， 在△COE和△OAF中，
，
∴△COE≌△OAF， ∴CE=OF，OE=AF， ∵A（1，
），
，
∴CE=OF=1，OE=AF=∴点C坐标（﹣
，1），
故答案为（﹣，1）．
【点评】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 16．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是 50° ．
【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC=40°，以及∠OBC=∠OCB=40°，再利用翻折变换的性质得出EO=EC，∠CEF=∠FEO，进而求出即可． 【解答】解：连接BO，
∵∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O， ∴∠OAB=∠ABO=25°，
∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°， ∴∠ABC=∠ACB=65°， ∴∠OBC=65°﹣25°=40°，
∵，
∴△ABO≌△ACO， ∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=40°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合， ∴EO=EC，∠CEF=∠FEO， ∴∠CEF=∠FEO=故答案为：50°．
=50°，
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键．
三、简答题（共72分）
17．（8分）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【分析】连接BC，根据三角形的内角和定理即可证得∠A+∠D=∠DBC+∠ACB，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠DBC+∠ACB+∠DBF+∠ACE+∠E+∠F=∠FBC+∠BCE+∠E+∠F，根据四边形的内角和定理即可求解． 【解答】解：连接BC．
∵在△BOC和△AOD中，∠1=∠2， ∴∠A+∠D=∠DBC+∠ACB，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠DBC+∠ACB+∠DBF+∠ACE+∠E+∠F=∠FBC+∠BCE+∠E+∠F=360°．
【点评】本题考查了三角形的内角和以及四边形的内角和定理，正确证明∠A+∠D=∠DBC+∠ACB是关键．
18．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分EBAC． （1）若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度数． （2）若∠B﹣∠C=30°，则∠DAE= 15° ．
（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）
【分析】根据垂直定义由AD⊥BC得∠ADC=90°，再利用角平分线定义得∠EAC=∠BAC，然后根据三角形内角和定理得∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∠DAC=90°﹣∠C，则∠DAE=（∠B﹣∠C），
（1）把∠B=70°，∠C=40°代入∠DAE=（∠B﹣∠B）中计算即可； （2）把∠B﹣∠C=30°代入∠DAE=（∠B﹣∠C）中计算即可；
（3）把∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C）代入∠DAE=（∠B﹣∠C）中计算即可； 【解答】解：∵AD⊥BC于D， ∴∠ADC=90°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC=∠BAC，
而∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C， ∴∠EAC=90°﹣∠B﹣∠C， ∵∠DAC=90°﹣∠C，
∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=90°﹣∠C﹣[90°﹣∠B﹣∠C] =（∠B﹣∠C），
（1）若∠B=70°，∠C=40°，则∠DAE=（70°﹣40°）=15°； （2）若∠B﹣∠C=30°，则∠DAE=×30°=15°； （3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），则∠DAE=α； 故答案为15°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
19．（9分）如图，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等腰三角形．
【分析】先用SSS证△ADB≌△BCA，得到∠DBA=∠CAB，利用等角对等边知AE=BE，从而证得△EAB是等腰三角形．
【解答】证明：在△ADB和△BCA中，AD=BC，AC=BD，AB=BA， ∴△ADB≌△BCA（SSS）． ∴∠DBA=∠CAB． ∴AE=BE．
∴△EAB是等腰三角形．
【点评】本题考查了三角形全等判定及性质和等腰三角形的性质；三角形的全等的证明是正确解答本题的关键．
20．（10分）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）证明：∠1=∠3．
【分析】（1）由已知角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；
（2）利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由对顶角相等及内角和定理即可得证． 【解答】证明：（1）∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CBE=∠2+∠CBE，即∠ABE=∠CBD， 在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）； （2）∵△ABE≌△CBD，
∴∠A=∠C， ∵∠AFB=∠CFE， ∴∠1=∠3．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
21．（10分）在△ABC中，AB=BC，△ABC≌△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点，观察并猜想线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【分析】根据等边对等角的性质可得∠A=∠C，再根据旋转的性质可得∠ABE=∠C1BF，AB=BC=A1B=BC1，然后利用“角边角”证明△ABE和△C1BF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=BF，从而得解． 【解答】解：EA1=FC．理由如下： ∵AB=BC， ∴∠A=∠C， ∵△ABC≌△A1BC1 ∴∠A=∠A1=∠C=∠C1 ∴AB=A1B=BC=BC1 ∠ABC=∠A1B C1，
∴∠ABC﹣∠A1B C=∠A1B C1﹣∠A1B C ∴∠ABE=∠C1BF 在△ABE与△C1BF中，
∴△ABE≌△C1BF， ∴BE=BF；
∴A1B﹣BE=BC﹣BF ∴EA1=FC
【点评】本题考查了旋转的性质，主要利用了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合
一的性质，难度不大，利用好旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，找出相等的线段是解题的关键．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
【分析】（1）由已知条件，证明ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC；
（2）同（1），先证ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC．
【解答】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE， ∴∠ADB=∠AEC=90°， 在Rt△ABD和Rt△ACE中， ∵
，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°． ∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE． ∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC， ∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°， ∴AB⊥AC．
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，借助全等三角形的性质得到相等的角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌握、应用．
23．（12分）如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，直角三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、CB相交于点C、D． （1）问PC与PD相等吗？试说明理由． （2）若OP=2，求四边形PCOD的面积．
【分析】（1）过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分线的性质易得PE=PF，然后由同角的余角相等证明∠1=∠2，即可由ASA证明△CFP≌△DEP，从而得证． （2）只要证明四边形PCOD的面积=正方形OEPF的面积即可； 【解答】解：（1）：结论：PC=PD．
理由：过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F， ∴∠CFP=∠DEP=90°， ∵OM是∠AOB的平分线， ∴PE=PF，
∵∠1+∠FPD=90°，∠AOB=90°， ∴∠FPE=90°，
∴∠2+∠FPD=90°， ∴∠1=∠2，
在△CFP和△DEP中，
，
∴△CFP≌△DEP（ASA）， ∴PC=PD．
（2）∵四边形PCOD的面积=正方形OEPF的面积， ∴四边形PCOD的面积=×2×2=2．
【点评】此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
24．（10分）如图，△ABC为等腰直角三角形，点D是边BC上一动点，以AD为直角边作等腰直角△ADE，分别过A、E点向BC边作垂线，垂足分别为F、G．连接BE． （ 1）证明：BG=FD； （ 2）求∠ABE的度数．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据余角的性质得到∠FAD=∠GDE，根据全等三角形的性质得到DG=AF，根据等腰直角三角形的性质得到AF=BF，于是得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=45°，根据全等三角形的性质得到DF=EG，推出△BGE是等腰直角三角形，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵△ADE为等腰直角三角形， ∴AD=DE，∠ADE=90°， ∵AF⊥BC，EG⊥BC， ∴∠AFD=∠DGE=90°，
∴∠DAF+∠ADF=∠ADF+∠EDG=90°， ∴∠FAD=∠GDE，
在△ADF与△DEG中，∴△ADF≌△DEG， ∴DG=AF，
∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AF=BF， ∴BF=DG， ∴BG=DF；
，
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°， ∵△ADF≌△DEG， ∴DF=EG， ∴BG=EG， ∵BG⊥EG，
∴△BGE是等腰直角三角形， ∴∠GBE=45°， ∴∠ABE=90°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形性质是解题的关键，
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容