用轴对称知识求线段和的最小值

用轴对称知识求线段和的最小值

求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质：

一、性质推导

例题：如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短？

首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1, 在直线L上任意定一点M，连接B B1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM＝B1M，

所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。

在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。

要使AM+ B1M最小，必须使A、M、B1三点共线， 也就是说，必须使点M，与A B1连线和L的交点N重合， 所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。

BAMONLB1

证明：M为L上的任意点 因为BM＝B1M

所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM大于B1A， 所以，结论成立 二、应用

1 ：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。求这个最小值。

解：作出A1B（作法如上图）

过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H， 在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米， 用勾股定理求得A1B的长度为4即PA+PB的最小值为4

22千米，

千米。

ABLCPDA1H图（1）

2、 如图（1），在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=__________________。

Y65P(5,5)Y65P(5,5)44321(2,1)Q321(2,1)Q-1O-1123456-1XO-112Q1M3456X图（1） 图（2）

解：如图（2），只要画出点Q关于x轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交x轴于点M，则M点即为所求。点M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。（也可以用勾股定理或相似三角形求出答案）。

3、 求函数y=解：方法（Ⅰ）

x6x102 +x6x342的最小值。

把原函数转化为y=

(x3)12 +(x3)522 ，因此可以理解为

在X轴上找一个点，使它到点（3，1）和（-3，5）的距离之和最小。（解法同上一题）。

方法（Ⅱ）

如图（9），分别以PM=（3-x）、AM=1为边和以PN=（x+3）、BN=5为边构建使（3-x）和（x+3）在同一直线上的两个直角△PAM、△PNB，两条斜边的长就是PA=(x3)12 和PB=(x3)522 ，因

此，求y的最小值就是求PA+PB的最小值，只要利用轴对称性质求出BA1的长，就是y的最小值。（6

2）。

B5A1M（3-X）A1P6图（9）N（X+3）1G

三、拓展

（一）三条线段的和最小的问题：

如图3，已知,甲站在∠AOB

内的P点，乙站在OA边上，丙站在OB边上，游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点P处。如果三人速度相同，试作图求出乙丙站在何处，他们比赛所用时间最短。

析解：三人的速度一定且相同，要使比赛时间最短，只需 三人所走的路程最短，因此可以利用轴对称知识，作点P关于 OA、OB的对称点P、P，连接PP，交OA于O，交OB 于O，则点O和点O应分别是乙、丙的位置。这样连接PO、

PO则三人行的路程和为POOOPOPOOOPOPP。

规律总结：轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不

变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。

（二）利用菱形的对称性，求线段和的最小值

1、如图（5），在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，∠BAD=1200,点P在BD上，则PE+PC的最小值是（ ） （A）6a , (B) 5a , (C) 4a , (D) 2

AAE1PDEC图（5）图（6）CBDEPB3a 。

解：如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC中点E关于对角线BD的对称点E一定落在AB的中点E1，只要连结CE1，CE1即为PC+PE的最小值。这时三角形CBE1是含有300角的直角三角

形，PC+PE=CE1=2

3a 。所以选（D）。

2、已知在菱形ABCD中，∠A=600，AD=8，M、N分别是AB，BC边上的中点，P是对角线AC上一动点，求PM＋PN的最小值。 分析：因为动点P在菱形ABCD的对角线AC上， 而CD边的中点G，是N关于对称轴AC的对应点 所以，PG＝PN，

因此求PM＋PN的最小值就转化为求PM＋PG的最小值，连接MG，在△PMG中，PM＋PG的最小值就是MG，即PM＋PG≥MG（仅当M、P、G三点共线时取得最小值）。

GDCPNBMA

解：取CD的中点G，连接PG ∵AC是菱形ABCD的对角线 ∴∠PCG＝∠PCN

又CB＝CD，N是BC边的中点 ∴CN＝CG 又PC＝PC，∴△PCG≌△PCN ∴PG＝PN 连接MG。∵ ∴四边形AMGD为平行四边形 ∴MG＝AD＝8

在△PMG中，（仅当P、M、G三点共线时取等号）

∴

即，故PM＋PN的最小值为8。

（三）利用正方形的对称性，求线段和的最小值

已知如图：正方形ABCD的边长是3,E点分边BC为2:1,P为对角线BD上一点,求PE+PC的最小值.

ADPBEC

分析:要想求PE+PC的最小值,关键是确定点P的位置,根据对称的知识我们知道点P的位置应是，点C关于直线BD的对称点和点E连线与BD的交点.

解:因为四边形ABCD为正方形,所以点C关于BD的对称点为A,连接AE交BD于P点,则此时 PE+PC的最小值最小,最小值为: PE+PC=AE=

13

（四）利用等腰梯形的对称性，求线段和的最小值

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC＋PD的最小值为_____________。

MADBNCP

分析：在梯形ABCD中，因为AB＝CD＝AD，易知梯形ABCD是等腰梯形，又直线MN是梯形ABCD的对称轴，所以直线MN是底边AD、BC的垂直平分线，连接PA，由线段垂直平分线上任一点，到已知线段两端的距离相等知，PA＝PD，所以求PC＋PD的最小值就转化为求PC＋PA的最小值，即求AC的长度即可。 解：连接PA

∵AB＝CD＝AD＝1，∴梯形ABCD是等腰梯形 又直线MN是梯形ABCD的对称轴 ∴PA＝PD

过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥BC，E、F为垂足，易证△ABE≌△DCF，∴BE＝CF

在Rt△ABE中，∵∠B＝60°，AB＝1

在Rt△ABC中，由勾股定理，得

即PA＋PC的最小值为（当A、P、C三点共线时取得最小值）

也可这样求AC的值：

过A点作CD的平行线，交BC于G，则BG＝AB＝1,GC＝AD＝1 ∴BC＝2

而角BCA＝DAC＝DCA，∴角BCA＝30,角BAC＝90度 在三角形ABC中，可求得AC

（五）利用圆的对称性，求线段和的最小值

已知如图,AB是⊙○的直径,AB=2cm,OC⊥AB,点D是弧AC的三等分点,P是OC上一动点,求PA+PD的最小值.

ADOPC图（16）B

ADEOPFBC

分析：圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆上任意一点的关于直径所在直线的对称点都在圆上。 解:作点D关于OC的对称点F,连接AF,此时PA+PD的最小值为AF. 因为AB是圆O的直径,OC⊥AB，则弧AC的度数为900，因为D是弧AC的三等分点，所以弧AD的度数是600，弧DC的度数是300，因为点D与点F关于OC的对称，所以且弧DC与弧CF相等,都为300，∴∠AOF=1200，作OE⊥AF，则∠AOE=600。在Rt△AOE中，AO= 1cm，∠AOE=600，则AE=，∴AF=

3。

（六）利用坐标系的对称性，求线段和的最小值

如图,在直角坐标系中, 有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），求四边形ABCD周长最短时的值。

86B4B'A2C-10-5D510-2A'-4-6-8

分析：因为A、B是定点且长度不变，四边形ABCD的周长最短，需使AD+CD+BC 的值最小，由于C、D两点未知，所以本题关键是找C、D两点，可考虑用轴对称的方法将BC、CD、AD这三条折线拉直。 解：分别作A点关于x轴、B点关于y轴的对称点 A/（-8，-3）、B/（4，5），连接A/B/分别交x轴、y轴于 D、C点。设直线A/B/的解析式为y=kx+b，把x=-8，y=-3；x=4，y=5分别代入得：

-8k+b=-3 4k+b =5

解得k和b值，得到A/B/的解析式为:3y=2x+7 令x=0，求得y，得到C点 令y＝0，求得x，得到D点

由以上几例可以看出，当求线段和的最小值时，常常借助轴对称将两条线段转化到一条直线上，再利用“两点之间线段最短”进行求解。

四、链接

看这样一题：要在一条河上架一座桥（桥须与河岸垂直，两河岸平行），请提供一种设计方案，使从A地到B地的路径最短，请说明理由。

AB

请思考：1、这题为什么不能用轴对称知识解决？(认真理解我推导出的性质就可明白)

2、如何用平移知识解决此题？

3、类似我推导出的轴对称性质，平移的知识能否推导出类似的性质？

五、练习

1、（2002湖北黄岗竞赛题）如图（10），∠AOB=450，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是___________________ 。当ΔPQR周长最小时，∠QPR的度数=____________。

AQP10OR图（10）B

P1AQPORBP2

提示：画点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，

∵ ∠AOB=450，∴ΔP1OP2是等腰直角三角形，P1P2=10

2。

又问:当ΔPQR周长最小时，∠QPR的度数=____________。（答案：900）

2、已知点A（-2，1），点B（3，4）。在X轴上求一点P，使得PA+PB的值最小。这个最小值是__________________。（同例2）

3、（北京市竞赛题）如图（11），在矩形ABCD中，AB=20㎝，BC=10㎝，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求

这个最小值。

DM图（11）CANB

提示：要使BM+MN的值最小，应设法把折线BM+MN拉直，从而想到用轴对称性质来做。画出点B关于直线AC的对称点B1，则B1N的长就是最小值；

又因为N也是动点，所以，当B1N⊥AB时这个值最小，利用勾股定理和三角形面积公式可以求得这个最小值为16。初三的同学也可以用射影定理和面积公式求解。

4、如图（12）在菱形ABCD中，∠DAB=1200，点E平分BC，点P在BD上，且PE+PC=1，那么边长AB的最大值是________________。

APDECB图（12）

提示：因为当PE+PC最小时，AB=CD达到最大，这个最大值是

233。

5、如图（15），在河湾处M点有一个观察站，观察员要从M点

出发，先到AB岸，再到CD岸然后返回M点，则该船应该走的最

短路线是————————（先画图，再用字母表示）。

DCMA图 (15)B

6、求代数式x24x13 +x24x614

1452） 的最小值。（答案：