椭圆与双曲线地经典性质100条

椭圆与双曲线的对偶性质100条

椭 圆

1．|PF1||PF2|2a

x2y22．标准方程：221

ab|PF1|3．e1

d14．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.

x2y29．椭圆221（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线

abx2y2交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

abx0xy0yx2y221. 1☆ 10．若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000222ababx2y2☆ 11．若P0(x0,y0)在椭圆221外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则

abxxyy切点弦P1P2的直线方程是02021.

abx2y2★ 12．AB是椭圆221的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则

abb2kOMkAB2.

ax2y221内，则被Po所平分的中点弦的方程是13．若P0(x0,y0)在椭圆2abx0xy0yx02y02222. a2babx2y21内，则过Po的弦中点的轨迹方程是14．若P0(x0,y0)在椭圆

a2b2x2y2x0xy0y222. 2ababx2y216．若椭圆221（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为

ab112a4A2b4B222AxBy1(AB0),则(1) 22AB;(2) L22.

abaAb2B2文档

实用标准文案

a2b22ab)17．给定椭圆C1：bxayab（a＞b＞0）, C2：bxay(2,2ab则(i)对C1上任意给定的点P0(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点

2222222222a2b2a2b2x,22y0). M((220abab''(ii)对C2上任一点P'0(x0',y0')在C1上存在唯一的点M,使得M的任一直角弦都经过

P0'点.

x2y2★ 18．设P0(x0,y0)为椭圆（或圆）C:221 (a＞0,. b＞0)上一点，P1P2为曲线C

ab的动弦,且弦P0P1, P0P2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点M(mx0,my0)(m1)1mb22. 的充要条件是k1k21max2y2★ 19．过椭圆221 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线

abb2x0交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2（常数）.

ay0x2y2★ 20．椭圆221 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点

abF1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为

2a222bSF1PF2btan，P(cbtan,tan) .

2c2c2x2y221．若P为椭圆221（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,

abactancot. PF1F2, PF2F1，则

ac22x2y2★ 22．椭圆221（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|aex0,|MF2|aex0 (F1(c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

2x2y223．若椭圆221（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当

ab0＜e≤21时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y224．P为椭圆221（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

ab2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立. x2y225．椭圆221（a＞b＞0）上存在两点关于直线l：yk(xx0)对称的充要条

ab(a2b2)22件是x02. 22abk26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

文档

实用标准文案

28．P是椭圆件是e2xacos（a＞b＞0）上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条

ybsin1. 21sinx2y2x2y229．设A,B为椭圆22k(k0,k1)上两点，其直线AB与椭圆221相

abab交于P,Q,则APBQ.

x2y230．在椭圆221中，定长为2m（o＜m≤a）的弦中点轨迹方程为

abx2y21(22)b2x22ab,其中tan22,当y0时, 90. mcos2sin2aya2b2x2y231．设S为椭圆221（a＞b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移

ab动，记|AB|=l，M(x0,y0)是AB中点，则当lS时，有ca2l2lSe(x0)max);当时，有(c2ab,

ac2ea(x0)max4b2l2,(x0)min0.

2bx2y232．椭圆221与直线AxByC0有公共点的充要条件是

abA2a2B2b2. C(xx0)2(yy0)21与直线AxByC0有公共点的充要条件是33．椭圆

a2b2A2a2B2b2(Ax0By0C)2.

x2y234．设椭圆221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上

ab任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有

since.

sinsina35．经过椭圆b2x2a2y2a2b2（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆

2上任一点的切线相交于P1和P2，则|PA1||PA2|b.

x2y236．已知椭圆221（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.

ab4a2b2111122

;（2）|OP|+|OQ|的最大值为22;（3）SOPQ的最（1）

ab|OP|2|OQ|2a2b2a2b2小值是2. 2ab37．MN是经过椭圆bxayab（a＞b＞0）过焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则|AB|2a|MN|.

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2222222实用标准文案

38．MN是经过椭圆b2x2a2y2a2b2（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦OPMN，则

21112. 22a|MN||OP|abx2y239．设椭圆221（a＞b＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的

ab任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的两顶

a2b2点)的交点N在直线l：x(或y)上.

mm40．设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP

和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

41．过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y243．设A、B、C、D为椭圆221上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为,，

ab|PA||PB|b2cos2a2sin2直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则. 2222|PC||PD|bcosasinx2y244．已知椭圆221（a＞b＞0）,点P为其上一点F1, F 2为椭圆的焦点，F1PF2ab的外（内）角平分线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是x2y2a2({b2y2[(ace)(xc)]2}(x2y2cx)2[ce(xc)]2).

45．设△ABC内接于椭圆，且AB为的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中

点.

x2y246．过椭圆221（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦

ab|PF|e. MN的垂直平分线交x轴于P，则

|MN|2x2y2b2x147．设A（x1 ,y1）是椭圆221（a＞b＞0）上任一点，过A作一条斜率为2abay1的直线L，又设d是原点到直线 L的距离, r1,r2分别是A到椭圆两焦点的距离，则r1r2dab.

x2y2x2y2★ 48．已知椭圆221（ a＞b＞0）和22（01 ），一直线顺次与它

abab们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.

x2y249．已知椭圆221（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分

aba2b2a2b2x0线与x轴相交于点P(x0,0), 则. aa51．设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的

左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：xn于M，N两点,则

ama2MBN90. 22amb(na)文档

实用标准文案

x2y252．L是经过椭圆221（ a＞b＞0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是

ab椭圆两个焦点，e是离心率,点PL，若EPF，则是锐角且sine或

abarcsine（当且仅当|PH|时取等号）.

cx2y253．L是椭圆221（ a＞b＞0）的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点PL，

abe是离心率，EPF，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且sine或

abarcsine（当且仅当|PH|时取等号）.

cx2y254．L是椭圆221（ a＞b＞0）的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交

ab2点，点PL，EPF,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且sine或

b22ac时取等号）. arcsine2（当且仅当|PH|cx2y255．已知椭圆221（ a＞b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B

ab(2a2b2)22两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则b|F1A||F1B|（当且仅当AB2a⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号）.

x2y2PAB, 56．设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，

abPBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有2a2b22ab2|cos|2cot. (1)|PA|2.(2) tantan1e.(3) SPAB2222baaccosx2y257．设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外

ab部的两点，且xA、xB的横坐标xAxBa2，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则PBAQBA；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则

PBAQBA180.

x2y258．设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外

ab部的两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若B P交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且PBAQBA，则点A、B的横坐标xA、xB满足xAxBa2；（2）若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且PBAQBA180,则点A、B的横坐标满足xAxBa2.

x2y259．设A,A是椭圆221的长轴的两个端点，则直线AQQQ'是与AA'垂直的弦，

abx2y2''与AQ的交点P的轨迹是双曲线221.

abx2y260．过椭圆221（ a＞b＞0）的左焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD则

ab'文档

实用标准文案

8ab22(a2b2)|AB||CD|. 22abaacx2y261．到椭圆221（ a＞b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动

bab点M的轨迹是姊妹圆(xa)2y2b2.

acx2y262．到椭圆221（ a＞b＞0）的长轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）

baba2b22的动点M的轨迹是姊妹圆(x)y().

eeacx2y263．到椭圆221（ a＞b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为

baba2b22半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆(x2)y(2)（e为离心率）.

eex2y264．已知P是椭圆221（ a＞b＞0）上一个动点，A',A是它长轴的两个端点,

abx2b2y2''且AQAP,AQAP，则Q点的轨迹方程是241.

aa65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴

之长的比例中项.

x2y266．设椭圆221（ a＞b＞0）长轴的端点为A,A',P(x1,y1)是椭圆上的点过P

abb2x1作斜率为2的直线l，过A,A'分别作垂直于长轴的直线交l于M,M',则

ay1（1）|AM||AM|b.（2）四边形MAAM面积的最小值是2ab.

''2''x2y267．已知椭圆221（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点Fab的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的

中点.

(xa)2y221（ a＞0,b＞0）的两条互相垂直的弦，O为坐标原68．OA、OB是椭圆2ab2ab2,0).(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一个点，则（1）直线AB必经过一个定点(22abab222ab22交点Q的轨迹方程是(x22)y(22)(x0).

abab(xa)2y221（a＞b＞0）上一个定点，P A、P B是互相垂直69．P(m,n)是椭圆2ab2ab2m(a2b2)n(b2a2),2).（2）以P A、P B的弦，则（1）直线AB必经过一个定点(a2b2ab2为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是

ab2a2m2b2n2a2[b4n2(a2b2)](xm且yn). (x22)(y22)222abab(ab)70．如果一个椭圆短半轴长为b，焦点F1、F2到直线L的距离分别为d1、d2，那么（1）

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实用标准文案

d1d2b2，且F1、F 2在L 同侧直线L和椭圆相切.（2）d1d2b2，且F1、F2在L同

侧直线L 和椭圆相离，（3）d1d2b2，或F1、F2在L异侧直线L和椭圆相交.

x2y271．AB是椭圆221（a＞b＞0）的长轴，N是椭圆上的动点，过N的切线与过

abA、B的切线交于C、D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x24a2y21(y0).

x2y2x2y272．设点P(x0,y0)为椭圆221（ a＞b＞0）的内部一定点，AB是椭圆221abab过定点P(x0,y0)的任一弦，当弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时a2b2(a2y02b2x02)(|PA||PB|)max.当弦AB垂直于长轴所在直线时, 2ba2b2(a2y02b2x02)(|PA||PB|)min.

b273．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c. 77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.

78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.

81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.

82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.

83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.

84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.

85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.

86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线. 88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.

x2y289. 已知椭圆221(a0,b0)(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线

abbbyx及yx的平行线，与直线OP分别交于R,Q,O为原点，则：.

aa222222（1）|OM||ON|a；（2）|OQ||OR|b.

bb90. 过平面上的P点作直线l1:yx及l2:yx的平行线，分别交x轴于

aa2M,N，交y轴于R,Q.（1）若|OM2，则P的轨迹方程是||ON2|a文档

实用标准文案

x2y22221(a0,b0).(2)若，则P的轨迹方程是|OQ||OR|b22abx2y21(a0,b0). a2b2x2y291. 点P为椭圆221(a0,b0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，

abb过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于M,N，交直线yx于Q,R，记 OMQaab与ONR的面积为S1,S2，则：S1S2.

292. 点P为第一象限内一点，过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于M,N，

bab交直线yx于Q,R，记 OMQ与ONR的面积为S1,S2，已知S1S2，则Pa2x2y2的轨迹方程是221(a0,b0).

ab

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实用标准文案

双曲线

1．||PF1||PF2||2a

x2y22．标准方程：221

ab|PF1|3．e1

d14．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

5．PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.

8．设A1、A2为双曲线的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.

x2y29．双曲线221（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的

abx2y2直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

abx2y210．若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程

abxxyy是02021. abx2y211．若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切

abxxyy线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02021.

abx2y212．AB是双曲线221（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB

abb2的中点，则kOMkAB2.

ax2y213．若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方

abx0xy0yx02y02程是2222.

ababx2y214．若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程

abx2y2x0xy0y是2222. ababx2y215．若PQ是双曲线221（b＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则

ab11112(r1|OP|,r2|OQ|). 222r1r2ab文档

实用标准文案

x2y216．若双曲线221（b＞a ＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为

ab112a4A2b4B222AxBy1(AB0),则(1) 22AB;(2) L2222.

ab|aAbB|a2b22222222222bxay(22ab)2,17．给定双曲线C1：, C2：bxayab（a＞b＞0）

ab则(i)对C1上任意给定的点P0(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点a2b2a2b2x0,22y0). M((2ab2ab''(ii)对C2上任一点P'0(x0',y0')在C1上存在唯一的点M,使得M的任一直角弦都经过

P0'点.

x2y218．设P0(x0,y0)为双曲线221（a＞0,b＞0）上一点，P1P2为曲线C的动弦,且

ab弦P0P1, P0P2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点M(mx0,my0)(m1)的充要条1mb22. 件是k1k21max2y219．过双曲线221（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直

abb2x0线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2（常数）.

ay0x2y220．双曲线221（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意

ab2Sbcot一点F，则双曲线的焦点角形的面积为，PFF1PF21222a222bP(cbtan,cot) . c2c2x2y221．若P为双曲线221（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2

abcacaatncottancot）是焦点, PF1F2, PF2F1，则（或. ca22ca22x2y222．双曲线221（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(c,0) , F2(c,0)

ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

x2y223．若双曲线221（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当

ab1＜e≤21时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中

项.

x2y224．P为双曲线221（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定

abP和A,F2在y轴同侧时，点，则|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且

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等号成立.

x2y225．双曲线221（a＞0,b＞0）上存在两点关于直线l：yk(xx0)对称的充

ab(a2b2)22要条件是x02.

ab2k226．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

xasec28．P是双曲线（a＞0，b＞0）上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的

ybtan12充要条件是e. 21tanx2y229．设A,B为双曲线22k（a＞0,b＞0，k0,k1）上两点，其直线AB与双

abx2y2曲线221相交于P,Q,则APBQ.

abx2y230．在双曲线221中，定长为2m（m）0）的弦中点轨迹方程为

abx2y21(22)b2x22ab,其中tan22,当y0时, 90. mcos2sin2aya2b2x2y231．设S为双曲线221（a＞0,b＞o）的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲

ab线上移动，记|AB|=l，M(x0,y0)是AB中点，则当lS时，有

caa2l2224b2l2. (x0)min(cab,e);当lS时，有(x0)mina2bc2ex2y232．双曲线221（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条件是

abA2a2B2b2C2.

(xx0)2(yy0)21（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点33．双曲线

a2b2的充要条件是A2a2B2b2(Ax0By0C)2.

x2y234．设双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双

ab曲线上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有

since.

(sinsin)ax2y235．经过双曲线221（a＞0,b＞0）的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线

ab2上任一点的切线相交于P1和P2，则|PA1||PA2|b.

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x2y236．已知双曲线221（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且

ab4a2b2111122

;（1）（2）|OP|+|OQ|的最小值为2;（3）OPOQ.SOPQ|OP|2|OQ|2a2b2ba2a2b2的最小值是2.

ba2x2y237．MN是经过双曲线221（a＞0,b＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是

ab经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则|AB|22a|MN|.

x2y238．MN是经过双曲线221（a＞b＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线

ab2111. 中心O的半弦OPMN，则

a|MN||OP|2a2b2x2y239．设双曲线221（a＞0,b＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的

ab任一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点)的交

a2点N在直线l：x上.

m40．设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

41．过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y242．设双曲线方程221,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：ykxabb2''的共轭直线ykx上,而且kk2.

ax2y243．设A、B、C、D为双曲线221（a＞0,b＞o）上四点,AB、CD所在直线的倾

ab斜角分别为,，直线AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,则

|PA||PB|b2cos2a2sin2. 2222|PC||PD|bcosasinx2y244．已知双曲线221（a＞0,b＞0）,点P为其上一点F1, F 2为双曲线的焦点，

abF1PF2的外（内）角平分线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个双曲线时，R、

S形成的轨迹方程是

x2y2a2({a3b(xc)[(a2b2)xb2c]}2[a4c2(xc)y]2(ab3c2y2)2).

45．设△ABC三顶点分别在双曲线上，且AB为的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与双曲线相切的充要条件

是D为EF的中点.

x2y246．过双曲线221（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N

ab|PF|e. 两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则

|MN|2文档

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x2y2b2x147．设A（x1 ,y1）是双曲线221（a＞0,b＞0）上任一点，过A作一条斜率为2abay1的直线L，又设d是原点到直线 L的距离, r1,r2分别是A到双曲线两焦点的距离，则r1r2dab.

x2y2x2y248．已知双曲线221（a＞0,b＞0）和22（01 ），一条直线顺

abab次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.

x2y249．已知双曲线221（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直

aba2b2a2b2平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0或x0.

aax2y250．设P点是双曲线221（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其

ab2b22Sbcot|PF||PF|焦点记F，则(1).(2) . PFPF1F2121221cos51．设过双曲线的实轴上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线

实轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：xn于M，N两点,则

ama2MBN90. 2amb(na)2x2y252．L是经过双曲线221（a＞0,b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是双

ab1曲线实轴的两个焦点，e是离心率,点PL，若EPF，则是锐角且sin或

e1abarcsin（当且仅当|PH|时取等号）.

ecx2y253．L是经过双曲线221（a＞0,b＞0）的实轴顶点A且与x轴垂直的直线，E、

abF是双曲线的准线与x轴交点,点PL，e是离心率，EPF，H是L与X轴的交点c

11ab是半焦距，则是锐角且sin或arcsin（当且仅当|PA|时取等号）.

eecx2y254．L是双曲线221（a＞0,b＞0）焦点F1且与x轴垂直的直线，E、F是双曲

ab线准线与x轴交点，H是L与x轴的交点，点PL，EPF,离心率为e，半焦距为c，

11b22ac时取等号）. 则为锐角且sin2或arcsin2（当且仅当|PF1|eecx2y255．已知双曲线221（a＞0,b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交

ab(2a2b2)2于A、B两点，将A、B与双曲线左焦点F1连结起来，则|F1A||F1B|（当且2a仅当AB⊥x轴时取等号）.

x2y256．设A、B是双曲线221（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，

abPAB, PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有

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2a2b22ab2|cos|2cot. (1)|PA|2.(2) tantan1e.(3) SPAB2222ba|accos|x2y257．设A、B是双曲线221（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦

ab点的区域）、外部的两点，且xA、xB的横坐标xAxBa2，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则PBAQBA；（2）若过B引直线与双曲线这一支相交于P、

Q两点，则PBAQBA180.

x2y258．设A、B是双曲线221（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦

ab点的区域），外部的两点，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，（若B P交双曲线这一支于两点，则P、Q不关于x轴对称），且PBAQBA，则点A、B的横坐标xA、xB满足xAxBa2；（2）若过B点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，且

PBAQBA180,则点A、B的横坐标满足xAxBa2.

x2y2'59．设A,A是双曲线221的实轴的两个端点，QQ'是与AA垂直的弦，则直线

abx2y2''AQ与AQ的交点P的轨迹是双曲线221.

abx2y260．过双曲线221（a＞0,b＞0）的右焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD,则

ab8ab2|AB||CD|.

|a2b2|cax2y261．到双曲线221（a＞0,b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）

bab的动点M的轨迹是姊妹圆(xec)2y2(eb)2.

'cax2y262．到双曲线221（a＞0,b＞0）的实轴两端点的距离之比等于（c为半

bab焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆(xa)2y2b2.

cax2y263．到双曲线221（a＞0,b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c

babb222为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆(xa)y()（e为离心率）.

ex2y264．已知P是双曲线221（a＞0,b＞0）上一个动点，A',A是它实轴的两个端

abx2b2y2''点,且AQAP,AQAP，则Q点的轨迹方程是241.

aa65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实

轴之长的比例中项.

x2y2'66．设双曲线221（a＞0,b＞0）实轴的端点为A,A,P(x1,y1)是双曲线上的

abb2x1''点过P作斜率为2的直线l，过A,A分别作垂直于实轴的直线交l于M,M,则

ay1文档

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''（1）|AM||AM|b2.（2）四边形MAAM面积的最小值是2ab.

''x2y267．已知双曲线221（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右

ab焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经

过线段EF 的中点.

(xa)2y221（a＞0,b＞0,且ab）的两条互相垂直的弦，68．OA、OB是双曲线

a2b2ab2,0).(2) 以O A、O B为直径的两O为坐标原点，则（1）直线AB必经过一个定点(22baab222ab22圆的另一个交点Q的轨迹方程是(x22)y(22)(x0).

baba(xa)2y221（a＞0,b＞0）上一个定点，P A、P B是互相69．P(m,n)是双曲线

a2b2ab2m(b2a2)n(a2b2),2).（2）以P 垂直的弦，则（1）直线AB必经过一个定点(A、222babaP B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是

ab2a2m2b2n2a2[b4n2(a2b2)](xm且yn). (x2)(y2)ba2ba2(b2a2)270．如果一个双曲线虚半轴长为b，焦点F1、F2到直线L的距离分别为d1、d2，那么（1）d1d2b2，且F1、F 2在L 同侧直线L和双曲线相切,或L是双曲线的渐近线.（2）

（3）d1d2b2，或F1、F2在Ld1d2b2，且F1、F2在L同侧直线L 和双曲线相离，

异侧直线L和双曲线相交.

x2y271．AB是双曲线221（a＞0,b＞0）的实轴，N是双曲线上的动点，过N的切

ab线与过A、B的切线交于C、D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x24a2y21(y0).

x2y272．设点P(x0,y0)为双曲线221（a＞0,b＞0）的内部(（含焦点的区域）)一

ab定点，AB是双曲线过定点P(x0,y0)的任一弦.

(1)如ab,则当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时

(b2x02a2y02)a2b2(|PA||PB|)min. 2a(2)如ab,则当弦AB平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时,

(b2x02a2y02)a2b2(|PA||PB|)min.

b273．双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切. 74．双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 75．双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与a-c. 76．双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.

77．双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.

78．双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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80．双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.

81．双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.

82．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.

83．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长.

84．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点.

85．双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.

86．双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线. 87．双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线. 88．双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.

x2y2 89. 已知双曲线221(a0,b0)上有一点P，过P分别引其渐近线的平行线，

ab分别交x轴于M,N，交y轴于R,Q， O为原点，则：

（1）|OM||ON|a2； （2）|OQ||OR|b2.

bbx及l2:yx的平行线，分别交x轴于aa，则P的轨迹方程是M,N，交y轴于R,Q.（1）若|OM||ON|2a90. 过平面上的P点作直线l1:yx2y221(a0,b0).(2)若|OQ||OR|b2，则P的轨迹方程是2abx2y21(a0,b0). a2b2x2y291. 点P为双曲线221(a0,b0)在第一象限的弧上任意一点，过P引x轴、

abby轴的平行线，交y轴、x轴于M,N，交直线yx于Q,R，记 OMQ与ONR的

aab面积为S1,S2，则：|S1S2|.

292. 点P为第一象限内一点，过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于M,N，交直线ybabx于Q,R，记 OMQ与ONR的面积为S1,S2，已知|S1S2|，则P的a2x2y2y2x2轨迹方程是221(a0,b0)或221(a0,b0).

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