运用三线合一的性质

【典型例题】

利用“三线合一”证明两角相等

例1 已知：如图所示，在ABC中，ABCACB，BE、CF相交于O，连结AO并延长交BC于D．若OB=OC，12．求证：AD平分BAC．

B F O 1 2 D C E A BEAC,EFAD，例2 已知：如图所示，AD是ABC的角平分线，垂足为F．求

证：AEFBEF．

例3 已知：如图所示，点D、E、F在ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，DF=FE．求证：

B F D C E

A BADCAE．

A B D F E C

例4 已知：如图所示，AD∥BC，AE平分DAB，E为DC的中点．求证：BE平分ABC．

例5 如图，在△ABC中，ACBC,ACB900,D是AC上一点，AEBD交BD的延长线于E，且AE

利用“三线合一”证明线段垂直

例5 如图所示，在ABC中，AB=AC，ADBC，DEAB于E，DFAC于F．求证：ADEF．

A D E B C

1BD。求证：BD是ABC的角平分线。 2A E D C B A

E B D F C

例6-1 已知：如图所示，AB=AE，BE，BCED，F是CD的中点．求证：

AFCD．

例6-2 如图，在五边形ABCDE中，BE，CD,BCDE,M为CD中点，求证：AMCD。

例7 如图所示，已知：ABC是直角三角形，ABC90，ABD和BCE是等边三角形，连结CD、CE．求证：BDCE．

A

B

E

C D

A

B

E

C M D

C A

B

E D

例8 如图所示，已知在ABC中，BFAC，CGAB，F、G是垂足，D、E分别是BC、FG的中点，求证：DEFG．

利用“三线合一”证明线段相等

例9 如图所示，已知ABC中，D、E为BC边上的点，且AD=AE，BD=EC．求证：AB=AC．

例10 已知：如图所示，12，34，AB与CD交于点O．求证：OC=OD．

1 2 A G E F B D C

A

B D E C C O 3 4 D

例11 如图所示，已知等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，CE=CD，

DFBC于F，求证：F是BE的中点．

例12 已知：如图所示，AB=AD，AC=AE，BACDAE．DB交AC于F，且AF平分BD，CE交AD于G．求证：CG=GE．

例13 已知：如图所示，AB=AC，DB=DC，AD的延长线交BC于点E．求证：BE=EC．

A D B F C

E

B

F C A

G E

D A D B C

E

A40，ACB70，DFBC例14 已知：如图所示，BD是ABC的角平分线，

于F，E是BC延长线上的一点，CE=CD．求证：BF=FE．

例15 如图所示，已知线段AB长10cm，点D在AB上，在AB同侧作等边ACD，BDE，则CE的最小值为（ ） A、3cm

A D B F C E

B、4cm C、5cm D、6cm

E C A D B

【大展身手】

1．如图所示，已知EFBC,1E,BDCD，求证：AD平分BAC．

2．已知：如图所示，在ABC中，D是BC延长线上的一点，且CD=AC，F是AD的中点，CE平分ACB，交AB于E点．求证：CECF．

3．求证：等腰三角形底边上的中点，到两腰的距离相等．

E

A

G B F

1 D C

A E F D

B C

4.已知：如图所示，在ABC中，AB=AC，BD=CD．求证：ADBC．

5．如图所示，已知AB=AD，BC=DC，求证：ACBD．

A D B C D A C

B

【小试锋芒】

1 已知：如图所示，AB=AC，BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相交于点O，延长AO交BC于D．求证：ADBC．

2 如图所示，在四边形ABCD中，AC平分DAB，AC平分DCB，求证：ACBD．

C B D

A B D C F O E A