专题研究 平面向量的综合应用
1．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图像是一条直线，则必有( ) A．a⊥b C．|a|＝|b| 答案 A
解析 f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图像是一条直线，即f(x)的表达式是关于x的一次函数或常函数．而(xa＋b)·(a－xb)＝－xa·b＋(a－b)x＋a·b，故a·b＝0，即a⊥b，故应选A.
→→22
2．在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，则当(a＋b)＝(a－b)时，该平行四边形为( ) A．菱形 C．正方形 答案 B
→→→
解析 在平行四边形中，a＋b＝AB＋AD＝AC，
B．矩形 D．以上都不正确
2
2
2
B．a∥b D．|a|≠|b|
a－b＝AB－AD＝DB，∵|a＋b|＝|a－b|，∴|AC|＝|DB|，对角线相等的平行四边形为矩形，故选B.
3．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则|a－b|的最大值为( ) A．1 C.3 答案 B
解析 ∵a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，∴a－b＝(0，sinθ－cosθ)． ∴|a－b|＝0＋（sinθ－cosθ）＝1－sin2θ. ∴|a－b|最大值为2.故选B.
→→→
4．已知A，B是圆心为C半径为5的圆上两点，且|AB|＝5，则AC·CB等于( ) 5A．－ 2C．0 答案 A
→→→→→→
解析 由于弦长|AB|＝5与半径相同，则∠ACB＝60°⇒AC·CB＝－CA·CB＝－|CA|·|CB|·cos∠ACB＝－5
5·5·cos60°＝－.
2
→→→→→
5．(2017·保定模拟)若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状是( ) A．等腰三角形 C．等腰直角三角形 答案 B
→→→→→→→→→→→→→→解析 OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，
B．直角三角形 D．等边三角形 5B. 2D.53
2
2
2
→→→→→
B.2 D．2
小学+初中+高中
小学+初中+高中 →→→→→→2→→2→→
∴|AB＋AC|＝|AB－AC|⇒|AB＋AC|＝|AB－AC|⇒AB·AC＝0， ∴三角形为直角三角形，故选B.
→→
6．(2015·山东，理)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝( ) 32
A．－a
232
C.a 4答案 D
→→→→→→→→→→→→→→2
解析 在菱形ABCD中，BA＝CD，BD＝BA＋BC，所以BD·CD＝(BA＋BC)·CD＝BA·CD＋BC·CD＝a＋a×a×cos60°12322
＝a＋a＝a.
22
→→→
7．(2017·课标全国Ⅱ，理)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值是( ) A．－2 4C．－ 3答案 B
解析 如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴→
建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则PA＝(－x，→→→→→
3－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，所以PA·(PB＋PC)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x＋2(y－选B.
→→→
8．在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c，且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 答案 D
解析 因a，b，c均为非零向量，且a·b＝b·c，得b·(a－c)＝0⇒b⊥(a－c)． 又a＋b＋c＝0⇒b＝－(a＋c)，∴[－(a＋c)]·(a－c)＝0⇒a＝c，得|a|＝|c|. 同理|b|＝|a|，∴|a|＝|b|＝|c|. 故△ABC为等边三角形．
9．(2018·天津模拟)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长→→
到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为( ) 5A．－ 8小学+初中+高中
1B. 8
2
2
2
32
B．－a
432D.a 2
3B．－
2D．－1
32333→→→
)－，当x＝0，y＝时，PA·(PB＋PC)取得最小值，为－，2222
B．直角三角形 D．等边三角形
小学+初中+高中 1C. 4答案 B
D.
11 8
解析 如图以直线AC为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则 133
A(0，0)，C(1，0)，B(，)，F(1，)，
224
33→→1
∴AF＝(1，)，BC＝(，－)．
422→→131
∴AF·BC＝－＝，选B.
288
→→
10．(2018·安徽师大附中月考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量OA与OB关于y轴对称，向量a＝(1，0)，→2→
则满足不等式OA＋a·AB≤0的点A(x，y)的集合用阴影表示为( )
答案 B
→→→→2→22
解析 ∵A(x，y)，向量OA与OB关于y轴对称，∴B(－x，y)，AB＝(－2x，0)．∵OA＋a·AB≤0，∴x＋y－2x＝(x－1)＋y－1≤0，故满足要求的点在以(1，0)为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部．故选B. →→→→→→→→→
11．(2016·四川)在平面内，定点A，B，C，D满足|DA|＝|DB|＝|DC|，DA·DB＝DB·DC＝DC·DA＝－2，动点→→→→2
P，M满足|AP|＝1，PM＝MC，则|BM|的最大值是( ) 43A. 437＋63C.
4答案 B
→→→→→→→→→
解析 由|DA|＝|DB|＝|DC|知，D为△ABC的外心．由DA·DB＝DB·DC＝DC·DA知，D为△ABC的垂心，所以△ABC11→
为正三角形，易知其边长为23.取AC的中点E，因为M是PC的中点，所以EM＝AP＝，所以|BM|max＝|BE|
22
B.D.49
4
37＋233
4
2
2
小学+初中+高中
小学+初中+高中 17→249
＋＝，则|BM|max＝，选B. 224
→→22
12．(2015·山东，文)过点P(1，3)作圆x＋y＝1的两条切线，切点分别为A，B，则PA·PB＝________． 3答案 2
解析 在平面直角坐标系xOy中作出圆x＋y＝1及其切线PA，PB，如图所示．连接OA，π→→→→
OP，由图可得|OA|＝|OB|＝1，|OP|＝2，|PA|＝|PB|＝3，∠APO＝∠BPO＝，则PA，PB
6ππ3→→→→
的夹角为，所以PA·PB＝|PA|·|PB|·cos＝.
332
→→
13．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB的长为________． 1答案 2
→→→
解析 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC＝AB＋AD， 1→→→→→
BE＝BC＋CE＝－AB＋AD.
2
1→→1→21→21→→→→→→21→→→
所以AC·BE＝(AB＋AD)·(－AB＋AD)＝－|AB|＋|AD|＋AB·AD＝－|AB|＋|AB|＋1＝1，解方程得|AB|
2222411→
＝(舍去|AB|＝0)，所以线段AB的长为. 22
→→→→→→214．设F为抛物线y＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝________． 答案 6
→→→
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1，0)，所以FA＋FB＋FC＝(x1＋x2＋x3－3，y1＋y2＋y3)＝0，→→→
得x1＋x2＋x3＝3.又由抛物线定义可得|FA|＋|FB|＋|FC|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＝6. ︵
15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若→→
OA＝6，则MC·ND＝________． 答案 26
→→→→→→→→→→→→→→
解析 连接OC、OD、MC、ND，则MC·ND＝(MO＋OC)·(NO＋OD)＝MO·NO＋MO·OD＋NO·OC＋OC·OD＝－4＋6＋6＋18＝26.
16．(2014·陕西)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成→→→
的区域(含边界)上，且OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)． 2→
(1)若m＝n＝，求|OP|；
3
(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值． 答案 (1)22 (2)1
2
2
小学+初中+高中
小学+初中+高中
2→→
解析 (1)∵m＝n＝，AB＝(1，2)，AC＝(2，1)，
32→2
∴OP＝(1，2)＋(2，1)＝(2，2)．
33→22
∴|OP|＝2＋2＝22.
→
(2)∵OP＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)， ∴
x＝m＋2n，
y＝2m＋n.
两式相减，得m－n＝y－x.令m－n＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.
17．(2017·江西上饶中学调研)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，
n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C.
(1)求角C的大小；
→→→
(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且CA·(AB－AC)＝18，求c边的长． π
答案 (1) (2)6
3
解析 (1)m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)， 对于△ABC，A＋B＝π－C，0 ∴sin2C＝sinC，cosC＝，C＝. 23 (2)由sinA，sinC，sinB成等差数列，可得2sinC＝sinA＋sinB， 由正弦定理得2c＝a＋b. →→→→→ ∵CA·(AB－AC)＝18，∴CA·CB＝18， 即abcosC＝18，ab＝36. 由余弦定理得c＝a＋b－2abcosC＝(a＋b)－3ab， ∴c＝4c－3×36，c＝36， ∴c＝6. 1．(2017·浙江)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交→→→→→→ 于点O.记I1＝OA·OB，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则( ) A．I1 2 2 2 2 2 2 小学+初中+高中 答案 C 解析 如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO 较I1与I3的大小．作AG⊥BD于G，又AB＝AD，∴OB 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容