法律分析：
事业单位员工醉酒驾驶的，会构成刑事犯罪，被判处拘役后，事业单位可以作出开除的处分，终止其与事业单位的人事关系。
法律依据：
《中华人民共和国事业单位工作人员处分暂行规定》 第二十二条 事业单位工作人员被依法判处刑罚的，给予降低岗位等级或者撤职以上处分。其中，被依法判处有期徒刑以上刑罚的，给予开除处分。
行政机关任命的事业单位工作人员，被依法判处刑罚的，给予开除处分。
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