二次函数系数a、b、c与图像的关系

二次函数系数a、b、c与图像的关系

知识要点

二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：

（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．

（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．

（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．

（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．

（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号． （6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．

一．选择题（共9小题）

1．（2014•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法： ①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠1）．

其中正确的个数是（ ） A．1

B． 2

C． 3

D． 4

2．（2014•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（ ）

﹣

A．③④ 列四个结论：

B． ②③ C． ①④ D． ①②③

3．（2014•南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④ A．1个

B． 2个

C． 3个

D． 4个

＜0中，正确的结论有（ ）

4．（2014•襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论： ①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确结论的个数为（ ）

A．1 B． 2 C． 3 D． 4

5．（2014•宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：

①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．

其中说法正确的是（ ）

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A．①② B． ②③ C． ②③④ D． ①②④

6．（2014•莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（ ）

A．m＞2 B． m＜3 C． m＞3 D． 2＜m＜3

7．（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0． 其中正确结论的个数是（ ）

A．1个

B． 2个 C． 3个 D． 4个

8．（2014•乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与 y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论： ①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4． 其中正确的是（ ）

A．①② B． ③④ C． ①③ D． ①③④

9．（2014•齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（ ）

①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0． A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 10、（2011•重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）

A、a＞0 B、b＜0 C、c＜0 D、a+b+c＞0 11、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（ ） A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤ 12、（2011•孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

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答案

一．选择题（共9小题）

1．（2014•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：

①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）． 其中正确的个数是（ ）

A．1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 二次函数图象与系数的关系．

分析： 由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对

所得结论进行判断．

解答： 解：抛物线与y轴交于原点，

c=0，（故①正确）；

该抛物线的对称轴是：直线x=﹣1，（故②正确）；

当x=1时，y=a+b+c ∵对称轴是直线x=﹣1， ∴﹣b/2a=﹣1，b=2a， 又∵c=0， ∴y=3a，（故③错误）；

，

x=m对应的函数值为y=am2+bm+c， x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c， 又∵x=﹣1时函数取得最小值，

∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm， ∵b=2a，

∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）． 故选：C．

点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对

称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．

2．（2014•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（ ）

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A．③④ B． ②③ C． ①④ D． ①②③

考点： 二次函数图象与系数的关系． 专题： 数形结合．

分析： 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x

轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答： 解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；

②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1， ∴y=a﹣b+c＜0， 故②正确；

③由抛物线的开口向下知a＜0，

∵对称轴为0＜x=﹣∴2a+b＜0， 故③正确； ④对称轴为x=﹣

＜1，

＞0，a＜0

∴a、b异号，即b＞0，

由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0 ∴abc＜0， 故④错误；

∴正确结论的序号为②③． 故选：B．

点评： 二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：

（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0； （2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣

判断符号；

（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；

（4）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．

3．（2014•南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论： ①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④

＜0中，正确的结论有（ ）

A． 1个 B． 2个

考点： 二次函数图象与系数的关系． 专题： 数形结合．

C． 3个 D． 4个

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分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛

物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答： 解：①∵图象开口向下，∴a＜0；故本选项正确；

②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴，∴c＞0；故本选项正确；

③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点，∴根的判别式△=b2﹣4ac＞0；故本选项正确； ④∵对称轴x=﹣

＞0，∴

＜0；故本选项正确；

综上所述，正确的结论有4个． 故选D．

点评： 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定，做

题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．

4．（2014•襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论： ①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确结论的个数为（ ）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 二次函数图象与系数的关系． 分析： 由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0；当x=3时，y=9+3b+c=3；

当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．

解答： 解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，

∴b2﹣4ac＜0；

故①正确；

当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0， 故②错误；

∵当x=3时，y=9+3b+c=3， ∴3b+c+6=0； ③正确；

∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值， ∴x2+bx+c＜x， ∴x2+（b﹣1）x+c＜0．

故④正确． 故选C．

点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 5．（2014•宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：

①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2． 其中说法正确的是（ ）

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A．①② B． ②③ C． ②③④ D． ①②④

考点： 二次函数图象与系数的关系．

分析： 根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=2a＞0，则2a﹣b=0，则可对②进行判断；根据

抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x=﹣2时，y＜0，则

得到4a﹣2b+c＜0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（2，y2）离对称轴的远近对④进行判断．

解答： 解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0，

∵抛物线对称轴为直线x=﹣

=﹣1，

∴b=2a＞0，则2a﹣b=0，所以②正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0，

∴abc＜0，所以①正确； ∵x=2时，y＞0，

∴4a+2b+c＞0，所以③错误；

∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（2，y2）离对称轴要远， ∴y1＞y2，所以④正确． 故选D．

点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口

方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a

共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

6．（2014•莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（ ）

A．m＞2 B． m＜3 C． m＞3 D． 2＜m＜3

考点： 二次函数图象与系数的关系．

分析： 由于二次函数的对称轴在y轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m的不等式，由图象交y轴于负半

轴也可得到关于m的不等式，再求两个不等式的公共部分即可得解．

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解答： 解：∵二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，

∴m﹣3＜0， 解得m＜3，

∵对称轴在y轴的右侧， ∴x=

，

解得m＞2， ∴2＜m＜3． 故选：D．

点评： 此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与y轴的交点解决问题． 7．（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：

①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0． 其中正确结论的个数是（ ）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 二次函数图象与系数的关系．

分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛

物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答： 解：∵抛物线的开口方向向下，

∴a＜0；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确； 由图象可知：对称轴x=

=﹣1，

∴2a=b，2a+b=4a， ∵a≠0，

∴2a+b≠0，②错误； ∵图象过点A（﹣3，0）， ∴9a﹣3b+c=0，2a=b，

所以9a﹣6a+c=0，c=﹣3a，③正确；

∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0

由图象可知：当x=1时y=0， ∴a+b+c=0，④正确． 故选C．

点评： 考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物

线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．

8．（2014•乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与 y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：

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①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4． 其中正确的是（ ）

A．①② B． ③④ C． ①③ D． ①③④

考点： 二次函数图象与系数的关系．

分析： ①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项

①作出判断；

②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；

③根据两根之积=﹣3，得到a=，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；

④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．

解答： 解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，

∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），

∴根据图示知，当x＞3时，y＜0． 故①正确；

②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0． ∵对称轴x=

=1，

∴b=﹣2a，

∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0． 故②错误；

③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0）， ∴﹣1×3=﹣3， =﹣3，则a=

．

∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）， ∴2≤c≤3， ∴﹣1≤故③正确； ④根据题意知，a=∴b=﹣2a=

，

，

=1，

≤

，即﹣1≤a≤

．

∴n=a+b+c=c． ∵2≤c≤3， ≤

≤4，≤n≤4．

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故④正确．

综上所述，正确的说法有①③④． 故选D．

点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛

物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．

9．（2014•齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（ ）

①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0． A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 二次函数图象与系数的关系．

分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛

物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答： 解：①∵y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，

∴对称轴在y轴的右侧， 即：﹣

＞0，

∵a＞0

∴b＜0，故①正确；

②显然函数图象与y轴交于负半轴， ∴c＜0正确；

③∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0）， ∴a﹣b+c=0， 即a+c=b， ∵b＜0，

∴a+c＜0正确；

④∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），且a＞0，

∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0， 故④正确， 故选D．

点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程

之间的转换，根的判别式的熟练运用．

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