2015-2016学年北京市人大附中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列四个图形中不是轴对称图形的是（ ）
A．2．若分式
B． C． D．
的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣2 B．4 C．﹣2或4 D．无法确定 3．在下列运算中，正确的是（ ）
A．a2+a3=2a5 B．（a2）3=a6 C．a6÷a2=a3 D．a2•a3=a6
4．）在直角坐标系中，点M（1，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ） A．（1，﹣2） B．（2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
5．如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．a（a﹣b）=a2﹣ab
6．若x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则n的值为（ ） A．﹣2 B．2 C．0 D．1
7．如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=8m，∠A=30°，则DE等于（ ）
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A．1m B．2m C．3m D．4m
8．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于E，若AB=BC，则下列结论中错误的是（ ）
A．BD⊥AC B．∠A=∠EDA C．2AD=BC D．BE=ED
9．将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图所示，在正五边形的对称轴直线l上找点P，使得△PCD、△PDE均为等腰三角形，则满足条件的点P有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题（19题后两空各1分，其余每空2分，共20分） 11．计算（π﹣3）0= ．
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12．如果分式13． 32016×
2015
有意义，那么的取值范围是 ． = ．
14．已知x+y=7，xy=7，则x2+y2的值是 ．
15．如图，四边形ABCD沿直线AC对折后重合，若AD=3，BC=2，则四边形ABCD周长为 ．
16．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△BCD和△ABC的周长分别为14和22，则AE长为 ．
17．如图，将正方形纸片对折，折痕为EF，展开后继续折叠，使点A落在EF上，折痕为GB，则∠AGB的度数为 ．
18．对于数a，b，c，d，规定一种运算么当
=ad﹣bc，如=1×（﹣2）﹣0×2=﹣2，那
=27时，则x= ．
19．平面直角坐标系中有一点A（1，1），对点A进行如下操作：
第一步，作点A关于x轴的对称点A1，延长线段AA1到点A2，使得2A1A2=AA1； 第二步，作点A2关于y轴的对称点A3，延长线段A2A3到点A4，使得2A3A4=A2A3；
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第三步，作点A4关于x轴的对称点A5，延长线段A4A5到点A6，使得2A5A6=A4A5； …
则点A2的坐标为 ，点A2015的坐标为 ．
若点An的坐标恰好为（4m，4n）（m、n均为正整数），请写出m和n的关系式 ．
三、解答题（每小题8分，共28分） 20．计算：
（1）x4÷x2+（x+6）（x﹣3）
（2）（2x+y）（2x﹣y）+（3x+2y）2． 21．分解因式： （1）5ax2﹣5ay2 （2）9m2n﹣6mn+n． 22．先化简，再求值：
（1）（7a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（3a+b），其中a=1.5，b=﹣1 （2）（2x+1）2﹣x（x﹣1）+（x+2）（x﹣2），其中4x2+5x﹣1=0． 23．尺规作图：请作出线段AB的垂直平分线CD，并说明作图依据． 结论： 作图依据： ．
四、解答题（每小题4分，共12分）
24．如图，AD=BC，AC与BD相交于点E，且AC=BD，求证：AE=BE．
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25．列方程解应用题：
如果一个正方形的边长增加4厘米，那么它的面积就增加40平方厘米，则这个正方形的边长是多少？
26．如图，点E为AC的中点，点D为△ABC外一点，且满足射线BD为∠ABC的平分线，∠ABC+∠ADC=180°，请判断DE和AC的位置关系，并证明．
27．阅读理解应用
待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为值等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．
待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解x3﹣1．
因为x3﹣1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．
故我们可以猜想x3﹣1可以分解成x3﹣1=（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a﹣1=0，b﹣a=0，﹣b=﹣1，可以求出a=1，b=1． 所以x3﹣1=（x﹣1）（x2+x+1）
（1）若x取任意值，等式x2+2x+3=x2+（3﹣a）x+s恒成立，则a= ； （2）已知多项式x4+x2+1有因式x2+x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式． （3）请判断多项式x4﹣x2+1是否能分解成的两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．
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28．已知，点D是△ABC内一点，满足AD=AC
（1）已知∠CAD=2∠BAD，∠ABD=30°，如图1，若∠BAC=60°，∠ACB=80°，请判断BD和CD的数量关系（直接写出答案）
（2）如图2，若∠ACB=2∠ABC，BD=CD，试证明∠CAD=2∠BAD．
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2015-2016学年北京市人大附中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分） 1．
【解答】解：A、不是轴对称图形，正确； B、是轴对称图形，错误； C、是轴对称图形，错误； D、是轴对称图形，错误． 故选A． 2．
【解答】解：由
，
解得x=4， 故选：B． 3．
【解答】解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故A错误； B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B正确； C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误； D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D错误；
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的值为0，得
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故选：B． 4．
【解答】解：点M（1，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，2）， 故选：C． 5．
【解答】解：根据题意得：（a+b）2=a2+2ab+b2， 故选：A． 6．
【解答】解：∵（x+n）（x+2）=x2+2x+nx+2n=x2+（2+n）x+2n， 又∵x+n与x+2的乘积中不含x的一次项， ∴2+n=0， ∴n=﹣2； 故选A． 7．
【解答】解：∵点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC， ∴点E是AC的中点，
∴DE是直角三角形ABC的中位线， 根据三角形的中位线定理得：DE=BC， 又∵在Rt△ABC中，∠A=30°，
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∴BC=AB=×8=4． 故DE=BC=×4=2m， 故选：B 8．
【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，AB=BC， ∴BD⊥AC，∠A=∠C，∠EBD=∠DBC， ∵DE∥BC，
∴∠C=∠EDA，∠EDB=∠DBC， ∴∠A=∠EDA，∠EBD=∠EDB， ∴BE=ED． 故选C． 9．
【解答】解：拿一张纸具体剪一剪，结果为A． 故选A． 10．
【解答】解：∵P点在直线L上， ∴此时PC=PD， 即△PCD是等腰三角形，
分为三种情况：①作DE的垂直平分线，交直线l于一点P，此时PE=PD； ②以D为圆心，以DE为半径，交直线l于两点，此时DP=DE；
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③以E为圆心，以DE为半径，交直线l于两点，此时EP=DE； 共1+2+2=5点． 故选B．
二、填空题（19题后两空各1分，其余每空2分，共20分） 11．【解答】解：（π﹣3）0=1， 故答案为：1．
12．【解答】解：分式x﹣5≠0． 解得x≠5， 故答案为：x≠5．
13．【解答】解：32016×故答案为：3． 14．
【解答】解：∵x+y=7，xy=7， ∴原式=（x+y）2﹣2xy=49﹣14=35． 故答案为：35． 15．
【解答】解：∵四边形ABCD沿直线AC对折后重合，
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2015
有意义，得
=3×（3×）2015=3．
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∴△ADC≌△ABC， ∴AB=AD=3，BC=DC=2，
∴四边形ABCD周长为：AB+BC+CD+AD=3+2+2+3=10， 故答案为：10． 16．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA=DC，
由题意得，BD+DC+BC=14，AB+BC+AC=22， 则AC=8，
∵DE是AC的垂直平分线， ∴AE=4， 故答案为：4． 17．
【解答】解：∵将正方形纸片对折，折痕为EF， ∴BF=AB，∠GAB=90°， ∴∠BAF=30°， ∴ABF=60°，
∵展开后继续折叠，使点A落在EF上，折痕为GB， ∴∠ABG=×（90°﹣60°）=15°， ∴∠AGB=90°﹣15°=75°． 故答案为：75°．
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18．【解答】解：根据运算规则：（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣1）（x+2）=27， 去括号得：﹣1﹣x+2=27， 移项合并同类项得：x=﹣26． 故填﹣26． 19．
【解答】解：由题意得，A1（1，﹣1），A2（1，﹣2）， A3（﹣1，﹣2），A4（﹣2，﹣2）， A5（﹣2，2），A6（﹣2，4）， A7（2，4），A8（4，4）， ∵2015÷8=251余7，
∴点A2015为第252循环组的第一象限的倒数第二个点， ∴A2015（2504，2505），
点An的坐标恰好为（4m，4n）（m、n均为正整数），请写出m和n的关系式m=n． 故答案为：（1，﹣2）；（2504，2505），m=n．
三、解答题（每小题8分，共28分） 20．
【解答】解：（1）x4÷x2+（x+6）（x﹣3） =x2+x2﹣3x+6x﹣18 =2x2+3x﹣18；
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=27可化为：
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（2）（2x+y）（2x﹣y）+（3x+2y）2 =4x2﹣y2+9x2+12xy+4y2 =13x2+12xy+3y2． 21．
【解答】解：（1）原式=5a（x2﹣y2）=5a（x+y）（x﹣y）； （2）原式=n（9m2﹣6m+1）=n（3m﹣1）2． 22．
【解答】解：（1）（7a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（3a+b） =7a2﹣2ab﹣b2﹣3a2﹣ab﹣3ab﹣b2 =4a2﹣6ab﹣2b2，
当a=1.5，b=﹣1时，原式=4×1.52﹣6×1.5×（﹣1）﹣2×（﹣1）2=16；
（2）（2x+1）2﹣x（x﹣1）+（x+2）（x﹣2） =4x2+4x+1﹣x2+x+x2﹣4 =4x2+5x﹣3， ∵4x2+5x﹣1=0， ∴4x2+5x=1， ∴原式=1﹣3=﹣2． 23．
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【解答】解：如图，CD为所作．
故答案为CD为所作，垂直平分线的性质定理的逆定理．
四、解答题（每小题4分，共12分） 24．
【解答】解：在△ABC和△BAD中，
∴△ABC≌△BAD（SSS）， ∴∠CAB=∠DBA， ∴AE=BE． 25．
【解答】解：设这个正方形的边长为x， 根据题意得：（x+4）2=x2+40， 整理得：x2+8x+16=x2+40， 移项合并得：8x=24， 解得：x=3．
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则这个正方形的边长是3． 26．
【解答】解：∵∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠BAC+∠BCD=180°， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴∠ABD=∠ACD，∠DBC=∠DAC， ∵射线BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠DAC=∠DCA， ∴△ADC为等腰三角形， ∵点E为AC的中点， ∴DE⊥AC（三线合一）． 27．
【解答】解：（1）∵x2+2x+3=x2+（3﹣a）x+s， ∴3﹣a=2，a=1；
（2）设x4+x2+1=（x2+ax+1）（x2+x+1）=x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1， a+1=0，a=﹣1，
多项式的另一因式是x2﹣x+1； （3）能，
∵设x4﹣x2+1=（x2+ax+1）（x2+bx+1）=x4+（a+b）x3+（ab+2）x2+（a+b）x+1， ∴a+b=0，ab+2=﹣1，
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解得：a=或﹣，则b=﹣x+1）（x2﹣
或，
∴x4﹣x2+1=（x2+ 28．
x+1）．
【解答】解：（1）BD和CD的数量关系是BD=CD； 理由：∵在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=80°， ∴∠ABC=40°， ∵∠CAD=2∠BAD， ∴∠CAD=40°，∠BAD=20°， 又∵AD=AC， ∴∠ADC=∠ACD=70°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=40°﹣30°=10°，∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=80°﹣70°=10°， ∴∠DBC=∠DCB， ∴DB=DC；
（2）作∠EBC=∠ACB，使EB=AC，连接ED、EA，则四边形AEBC是等腰梯形， ∴AE∥BC， ∴∠EAB=∠ABC， ∵BD=CD， ∴∠DBC=∠DCB， ∴∠EBD=∠ACD， 在△EBD和△ACD中
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∴△EBD≌△ACD（SAS）， ∴ED=AD，
∵∠ACB=2∠ABC，∠EBC=∠ACB， ∴∠EBC=2∠ABC， ∴∠ABE=∠ABC， ∴∠EAB=∠ABE， ∴BE=AE， ∵AD=AC=EB， ∴EA=ED=AD，
∴△AED是等边三角形， ∴∠EAD=60°，
∴∠BAD=60°﹣∠EAB=60°﹣∠ABC， ∴2∠BAD=120°﹣2∠ABC=120°﹣∠ACB， ∵AE∥BC，
∴∠ACB+∠EAC=180°， ∴∠ACB=180°﹣∠EAC， ∵∠EAC=60°+∠DAC，
∴2∠BAD=120°﹣（180°﹣60°﹣∠DAC）=∠DAC， ∴∠DAC=2∠BAD．
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