浅析解析几何中的数形结合意识

浅析解析几何中的数形结合意识

解析几何是高中数学课程中的重要内容之一，也是高考的重要内容。它体现了解析方法和代数方法在刻画平面曲线方面的强大作用，反映了数形结合的重要思想.然而笔者在高中数学教学过程中发现学生对解析几何中的数形结合意识的学习变成了经验主义。

这个问题以前见过，现在照猫画虎能解决；那个问题以前没有见过，就素手无策了。在高中教学过程当中，笔者在解析几何教学中尝试将解析几何中对于数形结合思想的应用由旧有的经验教学转变为模式化的可操作的思维模式。基于几道常见例题给出如下见解。

一、形与数的一 一对应

【例】1、动圆 与圆 外切，与圆 内切，求动圆圆心 的轨迹方程。

【思考】利用两圆位置关系判定的条件找出点 点满足的几何条件，结合圆锥曲线定义求解. 然而数形结合思想对于学生而言常常是只可意会不可言传的感性认知。如何在教学过程中引导学生正确切入，寻找数形结合的方向成为教师教学的主要难点。

【解】设动圆 的半径为 ，则由已知知

又 又因为， 故而有双曲线的定义知 的轨迹是以 为焦点的双曲线右支。而后由待定系数法求得 的轨迹方程为 。

【反思】本题采用数形结合沟通双曲线定义，确定求解 轨迹方程的办法为待定系数法。而值得思考的是数形结合的形式是将几何图形中圆的相切关系转化为具体代数式 从而沟通双曲线的定义。即用代数式描述几何特征，体现数与形的一一对应特征。特殊图形位置一定对应着代数式上的特征。比如直线与圆锥曲线位置关系中相离对应联立二次方程判别式小于零；相切对应判别式等于零；两交点相交判别式大于零；一交点相交二次项系数等于零。

二、图形与点坐标间的对应

【例2】已知抛物线 ，动弦 长为2，求弦 中点 到 轴的最小距离。

如图：

【分析】记 要求得 中点 到 轴的最距离实际为 点的纵坐标最小值，即为梯形 的中位线长度。借助于抛物线的定义沟通为点到准线距离求解。然而抛物线的定义在具体解题中的优势是什么呢？如何将图形中的几何信息转化为抛物线的定义式呢？

【解】：设 ， 中点 。抛物线 的焦点 ，准线 。设 ﹑ ﹑ 到准线的垂足分别为 ﹑ ﹑ ，则

所以 即 。

故而 中点 到 轴的最距离为 。

【反思】本题的亮点在于巧妙使用抛物线的定义转化点到准线的距离为点到焦点的距离。而切入点的选择就在于将距离的问题理解为坐标最值，实际上抛物线的定义之所以能简化运算就在于将线段的长度与动点的坐标完成沟通。抛物线定义解题运算量小就在于点到准线距离为垂直坐标轴的直线，它的长度与点坐标有直接关系。因此在后续的教学实践中，对于垂直或平行坐标轴的线段要使学生建立坐标的意识。

三、图形与曲线方程参数的对应

【例3】、过双曲线 的焦点 作圆 的切线，切点为 .延长 交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的离心率是多少？

如图：

【分析】利用向量 关系知道 为 中点， 则 ，借助于双曲线的定义寻找参数之间的关系，进一步求得离心率。值得思考的是，图形中的中位线特征如何与双曲线的参数产生联系的呢？

【解】设右焦点为 ，连结 。由圆的方程 知半径为 ，易知 为 中点，则 。由双曲线的定义知 ，则 。由 垂直 得 垂直 。借助于勾股定理知 ，即 。从而得到双曲线的离心率为 。

【反思】本题的亮点是利用双曲线的定义巧妙构建方程组，得到参数 ， 关系达到求解离心率的目的。然而更关键的一点在于 作为圆的半径与双曲线参数 有直接关系，才使得双曲线的参数与图形中的线段沟通起来，从而达到数形结合的目的。因此教师在教学过程中应当点出参数与图形中的线段之间的关系。使学生自主审题时有寻找图形中哪些线段与圆锥曲线参数有关的意识，使数形结合不在流于感性认知。

总之，要让学生真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，并且理解数形结合的结合点是什么。能够从数形结合的结合点上选择切入，达到灵活运用数形结合思想的目的。而不是说积累了一些常见的数形结合实例并能解决此类熟知的题型就行了。