A.B.C.D.7.弹簧原长（不挂重物）弹簧总长 重物质量 当重物质量为A. ，弹簧总长 与重物质量 的关系如下表所示： （在弹性限度内）时，弹簧总长B.C.是（ ）．D.8.改革开放年以来，城乡居民生活水平持续快速提升．居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出．下图为北京市统计局发布的年和年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图．教育、文化和娱乐消费支出折线图元季度一二三四一二三四年年说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如与度与年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如年第一季度相比较．年第二季度年第二季根据上述信息，下列结论中错误的是（ ）．A.C.年第二季度环比有所提高年第一季度同比有所提高B.D.年第三季度环比有所提高年第四季度同比有所提高二、填空题（本题共8小题。每题2分，共16分）9.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．10.有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有一面的数字是偶数的概率为 ．这六个整数，投掷这个正方体一次，则向上11.能说明命题“若，则”是假命题的一个值是 ．/
12.如图，为的外接圆⊙的直径，若，则 ．13.《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大小器各容几何？”其大意是：今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个，小容器个，总容量为斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器容量为斛，小容器容量为斛，根据题意，可列方程组为 ．（斛：古量器名，容量单位）14.如图，在平行四边形，则中，点在的延长线上，且，连接交于点的值是 ．15.为方便市民出行，年北京地铁推出了电子定期票．电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路．电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表：种类单价（元/张）某人需要连续天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为 元．一日票二日票三日票五日票七日票16.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是，，，，均落在格点上．/
（1）（2）点点为 ．的中点，过点作直线，过点作于点，过点作于，则矩形的面积为 ．三、解答题（本题共68分）17.下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线“的尺规作图过程．已知如图，直线及直线外一点．求作：直线作法：如图，①直线，使得．上取一点，连接；②③点的平分线为圆心，．；长为半径画弧，交射线于点；④作直线所以直线就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．/
证明：∵∴∵∴∴∴平分．， ． ．．．（ ）（填推理的依据）18.计算：．19.解不等式组：．20.已知关于的一元二次方程（1）求的取值范围．有实数根．（2）当为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．21.如图，在，，连接中，，．平分，的垂直平分线分别交，，于点，（1）求证：四边形（2）若，是菱形．，，求的长．22.在平面直角坐标系（1）求及的值．（2）点中，直线与双曲线交于点．是轴正半轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．23.如图，，连接与⊙．相切于点，为上一点，且，连接并延长交⊙于点/
（1）求证：（2）若⊙．的半径为，，求的长．24.某年级共有名学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．.不同交通方式学生人数分布统计图如下：步行自行车公共交通私家车公共交通步行私家车自行车.采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如下（数据分成组：，，，，，）：频数学生人数时间分.采用公共交通方式单程所花费时间在这一组的是：根据以上信息，完成下列问题：（1）补全频数分布直方图．（2）采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为 分．（3）请你估计该年级采用公共交通方式上学的一共有 人，其中单程不少于有 人．/
分钟的25.如图，点在弦，设所对的优弧上，且，两点间的距离为．为半圆，，点是到弦上的动点，连接所在直线的距离为，．已知，，两点间的距离为小明根据学习函数的经验，分别对函数下面是小明的探究过程，请补充完整．，随自变量的变化而变化的规律进行了探究．（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值． （2）在同一平面直角坐标系，并画出函数，中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，的图像．（3）结合函数图像，解决问题：1连接，则，，的长约为 ．的长度约为 ．2当以为顶点组成的三角形是直角三角形时，26.在平面直角坐标系中，抛物线．（1）求抛物线的顶点坐标．（2）若抛物线与轴的两个交点分别为值．（3）已知四个点，，的取值范围．/
和（点在点的左侧），且，求的，，若抛物线与线段和线段都没有公共点，请直接写出27.如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是的中点，连接．（1）求的度数．（2）连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明．（3）连接，若正方形的边长为，请直接写出的面积最大值．28.在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．下图中的，两点即为“等距点”．（1）已知点的坐标为．1在点，，中，为点的“等距点”的是 ．2若点在直线上，且、两点为“等距点”，则点的坐标为 ．（2）直线：与轴交于点，与轴交于点．1若，是直线上的两点，且、为“等距点”，求的值．2当时，半径为的上存在一点，线段上存在一点，使得，两点为“等距点”，直接写出的取值范围．/
2019年北京东城区初三一模数学试卷(详解)一、选择题（本题共8小题。每题2分，共16分）1.下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）．A.B.C.D.【答案】D【解析】A 选项：主视图为三角形．B 选项：主视图为矩形．C 选项：主视图为梯形．D 选项：主视图为圆．故选 D .2.于年中国北京世界园艺博览会于月人次．将日在北京延庆举行，会期共天．预计参观人数不少用科学记数法表示应为（ ）．A.【答案】B【解析】故选：．B.C.D.，3.已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）．A.【答案】DB.C.D./
【解析】．．．．故选．，故，错误；，，故错误；，故错误；，故正确．4.如图，将一张矩形纸片折叠，若，则的度数是（ ）．A.【答案】A【解析】B.C.D.∵∴∴由折叠知故选．，，，，．5.若一个多边形的每个内角均为A.四边形【答案】C【解析】每个内角该多边形边数故选．，则该多边形是（ ）．B.五边形C.六边形D.七边形，则每个外角为．．/
6.如果A.【答案】B【解析】原式，那么代数式的值为（ ）．B.C.D.，，，代入式得原式故选．，7.弹簧原长（不挂重物）弹簧总长 重物质量 当重物质量为 ，弹簧总长 与重物质量 的关系如下表所示： （在弹性限度内）时，弹簧总长是（ ）．A.【答案】B【解析】设得得∴ 时，故选．，B.C.D. ，将 ， ， 代入，，．8.改革开放年以来，城乡居民生活水平持续快速提升．居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出．下图为北京市统计局发布的年和年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图．教育、文化和娱乐消费支出折线图/
元季度一二三四一二三四年年说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如与度与年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如年第一季度相比较．年第二季度年第二季根据上述信息，下列结论中错误的是（ ）．A.C.年第二季度环比有所提高年第一季度同比有所提高B.D.年第三季度环比有所提高年第四季度同比有所提高【答案】C【解析】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：故选 C .第一季度支出元，第二季度支出元，元，故正确；第二季度，第三季度支出分别为第一季度支出第四季度支出元，元，元，故正确；元，故错误；元，故正确．第一季度支出第四季度支出二、填空题（本题共8小题。每题2分，共16分）9.若式子【答案】在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．【解析】由题意得：要使二次根式有意义，根号内的数非负，所以，．10.有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有一面的数字是偶数的概率为 ．【答案】这六个整数，投掷这个正方体一次，则向上/
【解析】偶数有、、一共个数字，偶数向上概率为故答案为：．．11.能说明命题“若【答案】【解析】，则”是假命题的一个值是 ．（答案不唯一），则．错误，只需即可．故答案为：12.如图，为的外接圆⊙的直径，若，则 ．【答案】【解析】连接，∵∴∵∴∴为⊙的直径，，，，．．故答案为13.《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大小器各容几何？”其大意是：今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个，小容器个，总容量为斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器容量为斛，小容器容量为斛，根据题意，可列方程组为 ．（斛：古量器名，容量单位）/
【答案】【解析】由题意知．14.如图，在平行四边形，则中，点在的延长线上，且，连接交于点的值是 ．【答案】【解析】∵∴∵∴设∴∵∴∴．为平行四边形，，，，则，，，，15.为方便市民出行，年北京地铁推出了电子定期票．电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路．电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表：种类单价（元/张）某人需要连续天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为 元．/
一日票二日票三日票五日票七日票【答案】【解析】张一日票需张二日票需故答案为：．元；张一日票和张五日票需（元），张三日票需（元）．（元）．16.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是，，，，均落在格点上．（1）（2）点点为 ．的中点，过点作直线，过点作于点，过点作于，则矩形的面积为 ．【答案】（1）（2）【解析】（1）（2）设直线交∵为，∴∵∴由∴，，知，，．，，于点中点，，．三、解答题（本题共68分）17.下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线“的尺规作图过程．/
已知如图，直线及直线外一点．求作：直线，使得．作法：如图，①直线上取一点，连接；②的平分线；③点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；④作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，1）用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）2）完成下面的证明．证明：∵平分．∴．∵，∴ ．∴ ．∴．（ ）（填推理的依据）【答案】（1）画图见解析．（2），，内错角相等，两直线平行．【解析】（1）（2）∵平分，（（/
∴∵∴∴∴，．．．．（内错角相等，两直线平行）18.计算：【答案】【解析】原式．．．19.解不等式组：．【答案】【解析】由．，得，由得．∴不等式组的解集为．20.已知关于的一元二次方程（1）求的取值范围．有实数根．（2）当为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．【答案】（1）（2）．，．/
【解析】（1）∵∴∴（2）∵∴．有实数根，为最大整数，，，，，．∴方程为∴∴21.如图，在，，连接中，，．平分，的垂直平分线分别交，，于点，（1）求证：四边形（2）若，是菱形．，，求的长．【答案】（1）证明见解析．（2）【解析】（1）∵∴∴∵∴在和平分，，中，，∴∴∴四边形（2）作于≌，是菱形．，，．为的垂直平分线的一部分，，，，，/
∵∴∵∴∴是菱形，，，，，，，，，∵∴∴∴，，，．22.在平面直角坐标系（1）求及的值．（2）点中，直线与双曲线交于点．是轴正半轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．【答案】（1）（2）【解析】（1）∵∴∴∵直线∴代入得∴（2）．或或．，过，，；或在，．或上，．23.如图，，连接与⊙．相切于点，为上一点，且，连接并延长交⊙于点/
（1）求证：（2）若⊙．的半径为，，求的长．【答案】（1）证明见解析．（2）【解析】（1）∵∴∵∴∵∴∴∵∴∴∴∴（2）作．于，，，，，与⊙切于点，，．，，，，，为半径，∵∴∵∴∵∴∵，，，，，，，，/
，∴∵∴∴即∴∴，，，．，，，，24.某年级共有名学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．.不同交通方式学生人数分布统计图如下：步行自行车公共交通私家车公共交通步行私家车自行车.采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如下（数据分成组：，，，，，）：频数学生人数时间分.采用公共交通方式单程所花费时间在这一组的是：根据以上信息，完成下列问题：（1）补全频数分布直方图．（2）采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为 分．/
（3）请你估计该年级采用公共交通方式上学的一共有 人，其中单程不少于有 人．【答案】（1）画图见解析．（2）（3） ; （人），的人数为（人）．分钟的【解析】（1）公共交通总人数为采用公共交通单程花费时间频数学生人数时间分（2）将人用时从小到大排序应为第名和第名平均数，可知中位数在∴中位数为故答案为：．内的第名和第名平均数，（分）．（3）该年级采用公共交通工具人数为单程不少于故答案为：分钟的人数为；．（人），（人）．25.如图，点在弦，设所对的优弧上，且，两点间的距离为．为半圆，，点是到弦上的动点，连接所在直线的距离为，．已知，，两点间的距离为小明根据学习函数的经验，分别对函数下面是小明的探究过程，请补充完整．，随自变量的变化而变化的规律进行了探究．/
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值． （2）在同一平面直角坐标系，并画出函数，中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，的图像．（3）结合函数图像，解决问题：1连接，则，，．的长约为 ．的长度约为 ．2当以【答案】（1）为顶点组成的三角形是直角三角形时，（2）画图见解析．（3）12或时，．【解析】（1）测量知（2）解析见图片．如图所示：（3）12当当为直径，当最大时，即或．长约为．为直角三角形时，为直径时，恰为直径．/
当为直径时，，此时．26.在平面直角坐标系中，抛物线．（1）求抛物线的顶点坐标．（2）若抛物线与轴的两个交点分别为值．和（点在点的左侧），且，求的（3）已知四个点，，的取值范围．，，若抛物线与线段和线段都没有公共点，请直接写出【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）∴顶点为故答案为：．．．或．，．，，，，．．两点，，在左侧，对称轴，（2）∵抛物线与轴交于∴将得∴故答案为：（3），代入yxO123456当，当过时，代入得，此时过过时，代入得，此时过，/当由图象知抛物线与线段故答案为：或、过时，代入得均无交点时，或，．．27.如图，在正方形于直线的对称点为中，是边上的一动点（不与点并延长交直线于点，，重合），连接是，点关．，连接的中点，连接（1）求（2）连接（3）连接的度数．，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明．的面积最大值．，若正方形的边长为．，请直接写出【答案】（1）（2）证明见解析．（3）．，，【解析】（1）由轴对称知∵∴∴∵∴∴∴（2）作交．为是正方形，，，中点，，，，，，证明如下：延长线于，连，/
∵∴∴∴∴∴∵∴∴（3），，，，，为等腰直角三角形，，为正方形，，，．，故在以为圆心，为半径的优弧上，∵∴当∴与，交于最大值，时，此时以为底，高最大．，28.在平面直角坐标系等于点中，对于，两点给出如下定义：若点，到、轴的距离中的最大值，两点即到、轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．下图中的为“等距点”．/
（1）已知点1在点的坐标为，在直线．，上，且、中，为点的“等距点”的是 ．的坐标为 ．2若点两点为“等距点”，则点，与轴交于点、．（2）直线：1若，与轴交于点是直线上的两点，且上存在一点，线段为“等距点”，求的值．上存在一点，使得，两2当时，半径为的点为“等距点”，直接写出的取值范围．【答案】（1）12、（2）12或．．、与是“等距点”．故答案为、．【解析】（1）1由定义知2点到、轴距离中的最大值为，以线为正方形中心，为边长画正方形，且边与坐标轴平行，正方形与直交点为所求．故点，，．时，时，得时，得，此时舍去．，此时，符合题，符合题意．的坐标为，．（2）1由题意得：∵∴当当当意．/
综上2或．．y4321x–4–3–2–1O–112345–2–3–4
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